Dynamique diophantienne

15 octobre 2004  - Ecrit par  Serge Cantat Voir les commentaires

Comme souvent, un problème de nature arithmétique mène à des
questions qui relèvent des systèmes dynamiques. Il s’agit de
décrire les trajectoires de transformations polynomiales sur
l’espace des solutions de certaines équations algébriques.

Géométrie diophantienne et dynamique

{}La géométrie diophantienne s’attache à décrire les
solutions en nombres entiers d’équations polynomiales. L’exemple le
plus connu est l’équation de Pierre de Fermat
\[ x^n+y^n=z^n, \]
$n$ étant un entier positif fixé, $x$, $y$ et $z$ étant les
inconnues. Lorsque $n$
vaut $2,$ l’équation correspond à la relation de Pythagore pour
les côtés d’un triangle rectangle ; il existe alors une infinité
de solutions, notamment
\[ x=p^2-q^2,\quad y=2pq, \quad z=p^2+q^2, \]
où $p$ et $q$ parcourent l’ensemble des nombres entiers. Par contre,
lorsque $n$ est supérieur ou égal à $3,$ Andrew Wiles a
récemment démontré qu’il n’existe aucune solution en nombres
entiers strictement positifs. Un deuxième exemple, moins médiatique
mais tout aussi important, est fourni par l’équation d’Andreï A. Markov
\[ x^2+y^2+z^2=3xyz. \]
Là encore, il existe une infinité de solutions en
nombres entiers. Le triplet $(1,1,1)$ est une solution
évidente et A. A. Markov a montré que toutes les autres s’obtiennent à
partir de cette solution particulière en appliquant les trois
transformations
\[ \left\{ \begin{array}{ccc} \alpha(x,y,z) & = & (3yz-x,y,z) \\ \beta(x,y,z) & = & (x,3zx-y,z) \\ \gamma(x,y,z) & = & (x,y,3xy-z) \end{array} \right. . \]
En guise d’illustration, appliquons successivement les
transformations $\alpha,$ $\beta$ et $\gamma$ et itérons ce
procédé deux fois. La solution obtenue est
\[ (433,37666,48928105). \]

Une partie importante des équations polynomiales qui possèdent une
infinité de solutions entières relèvent de la même philosophie
que l’équation de Markov : des transformations polynomiales
(analogues à $\alpha,$ $\beta$ et $\gamma$) produisent une
infinité de solutions à partir d’une seule. Le lecteur curieux (ou
savant) pourra d’ailleurs s’assurer que les triplets pythagoriciens
entrent dans ce cadre. Pour ce type d’équations, l’arithmétique
rejoint la dynamique : comprendre la structure des solutions
entières de l’équation revient, en partie, à décrire l’action
des transformations polynomiales. C’est cette relation entre dynamique
et arithmétique que nous voulons illustrer ici. Des constructions
de nature arithmétique permettent en effet d’obtenir des résultats
sur la dynamique.

Dans la suite, nous emploierons le vocabulaire géométrique
présenté dans le paragraphe ci-dessous intitulé variétés
projectives
. La variété étudiée sera
projective et l’étude de ses points entiers sera donc
équivalente à celle de ses points rationnels. La surface définie
par l’équation de Markov n’entre pas dans ce cadre et nous donnerons
des énoncés spécifiques à son cas.

Variétés projectives

Par définition, l’ensemble des solutions $(x_0, ..., x_k)$ d’un système d’équations polynomiales est une
variété algébrique (affine) et chaque solution est
un point de la variété. En fait, une équation donne
simultanément naissance à plusieurs variétés suivant que l’on
considère les solutions en nombres entiers, rationnels, réels,
complexes, ... Nous préciserons en indice l’espace dans lequel
varient les solutions qui nous intéressent, par exemple
$V_{\mathbf{C}}$ pour les points complexes de la variété $V.$
Lorsque les équations qui déterminent la variété $V$ sont
homogènes, tout point $(x,y,...)$ de $V$ est associé à une
infinité de solutions $(a x, a y, ...)$ où $a$ varie dans
${\mathbf{Z}}$ (ou dans ${\mathbf{Q}},$ ${\mathbf{R}},$
...). Autrement dit, si $m$ est un point de $V,$ la droite joignant
l’origine à $m$ est contenue dans $V.$ L’objet naturel est donc
l’ensemble des droites passant par l’origine et contenues dans $V.$ Il
s’agit d’une partie de l’espace projectif (l’espace de toutes
les droites vectorielles) ; on parle donc de variété
projective
. Les coordonnées $[x:y: ... ]$ d’un point de l’espace
projectif ${\mathbf{P}}^k$ sont déterminées à un facteur
multiplicatif « $a$ » près. Un point à coordonnées
rationnelles est donc équivalent à un point à coordonnées
entières : il suffit de multiplier chaque coordonnée par le
produit de leurs dénominateurs.

Compter les points, et les itérer

Les variétés projectives qui possèdent une infinité
de points rationnels en possèdent une quantité dénombrable. En
ce sens, elles ont toutes exactement le même nombre de points.
Certaines en ont cependant plus que d’autres et, pour
s’en convaincre, nous allons les compter.

Chaque point rationnel $m$ de l’espace projectif peut être
représenté par des coordonnées entières sans facteur
premier commun. Il y a exactement deux écritures de
ce type, $[x:y: ...]$ et $[-x:-y: ...],$ ce qui permet
de définir la hauteur (multiplicative)
de $m$ par la formule
\[ H(m)= \max \left(|x|,|y|, ...\right) \]
et sa hauteur logarithmique (ou additive) $h(m)=\log (H(m)).$ Si $V$ est une variété projective, le nombre de points de
$V_{\mathbf{Z}}$ dont la hauteur multiplicative est plus petite que
$B$ est noté $N_V(B).$ Ceci définit la fonction de comptage
de $V_{\mathbf{Z}}.$ Lorsque $V_{\mathbf{Z}}$ possède une infinité
de points, cette fonction croît avec $B$ jusqu’à l’infini. Plus
cette croissance est rapide, plus il y a de points rationnels.

L’exemple le plus simple est celui de l’espace projectif
$V={\mathbf{P}}^k.$ En notant $\zeta(q)$ la somme des inverses des
puissances $q^{emes}$ des nombres entiers positifs, Stephen H. Schanuel a
montré que
\[ N_{{\mathbf{P}}^k}(B)\simeq \frac{2^k}{\zeta(k+1)}B^{k+1} \] avec une erreur majorée par $B^{k}$ (ou $B\log(B)$ si $k=1$).
Pour la surface de Markov $M$, le dénombrement des points entiers de
hauteur plus petite que $B$ a été effectué par Don Zagier,
\[ N_M(B)\simeq \gamma \log ^2 (3B), \, {\mbox{où}} \, \gamma\simeq 0.18 \]
avec une erreur majorée par $\log(B)\log(\log(B))$. Des conjectures
précises relatives au comportement asymptotique de la fonction de
comptage $N_V(B)$ ont été formulées par Victor V. Batyrev,
Yuri I. Manin et Emmanuel Peyre lorsque la géométrie de $V$
ressemble à celle de l’espace projectif, c’est-à-dire, en termes
techniques, lorsque le fibré canonique de $V$ est suffisamment
négatif.

Revenons maintenant aux variétés projectives dont les points
rationnels sont permutés par une transformation $ f:V\to V $ qui est
polynomiale. Le décompte des points rationnels de $V$ peut alors
être scindé en deux calculs distincts : compter le nombre de
trajectoires de $f$ et évaluer la hauteur des points le long de
chaque trajectoire $m,$ $f(m),$ $f(f(m))$ ... Concentrons nous sur
cette deuxième étape, car c’est elle qui
nous conduira à des questions intéressantes de systèmes
dynamiques. Nous avons déjà vu un exemple au premier paragraphe
avec la transformation $f=\alpha \circ \beta \circ \gamma$ sur la
surface de Markov : le point $(1,1,1),$ de hauteur égale à $1,$
s’élève à la hauteur
\[ H(f^2(1,1,1))=48 928 105 \] après $2$ itérations et à la hauteur approximative $35\, . 10^{47200}$ après seulement $8$ itérations.

Afin d’énoncer des résultats précis, nous allons maintenant
décrire ce qui se produit pour les exemples de l’encadré $1$ et de
l’encadré $2$. Il y a une différence essentielle entre ces deux
exemples : la transformation $f$ de l’encadré $1$ est inversible,
c’est-à-dire que tout point $m$ est l’image par $f$ d’un unique
point $f^{-1}(m), $ la transformation $g$ ne l’est pas. Les
constructions valables pour $f$ et $g$ le seront donc pour $f^{-1}.$
La dynamique de ces transformations est très riche. La première
façon de mesurer cette complexité est de regarder la suite des
degrés des polynômes obtenus en itérant ces transformations.
Pour cela, nous noterons $\lambda_F$ le nombre positif réel
\[ \lambda_F=\limsup_{n\to \infty} \{ \text{deg} (F^n)^{1/n}\}, \] $F$ étant $f,$ $f^{-1}$ ou $g$ et $\text{deg}(F^n)$ désignant le
degré des polynômes qui définissent la transformation $F^{n}.$ Il se
trouve que, sur ces exemples, $\lambda_F$ est strictement plus grand
que $1$ (voir encadré 1 et encadré 2).

Une astuce classique introduite par André Néron et John Tate dans
ce cadre permet d’évaluer la hauteur le long des trajectoires : on
change la fonction de hauteur pour l’adapter à la dynamique. En
pratique, il s’agit de poser
\[ h^+(m)= \lim_{n\to \infty} \left( \frac{1}{(\lambda_F)^n} h(F^n(m)) \right) \] où $F$ doit être remplacée par $f$ ou $g.$ Puisque
$f$ est inversible, $F$ peut également être remplacée par
$f^{-1}$ ce qui définit une seconde hauteur $h^{-}.$ Ces nouvelles
fonctions de hauteur vérifient l’équation fonctionnelle $h^+\circ F = \lambda_F h^+$ ; en particulier, le long d’une trajectoire on obtient
\[ h^{+}(F^n(m))=(\lambda_F)^n h^{+}(m). \]
Gregory S. Call et Joseph H. Silverman ont montré que ces hauteurs
adaptées à la dynamique sont bien définies et permettent de
retrouver l’essentiel de la hauteur usuelle $h.$ Ainsi, dans le cas de
$f,$ la différence entre $h$ et la somme $h^{+} + h^{-}$ est
bornée. Le long des trajectoires infinies de $f,$
$h(f^n(m))$ croît donc comme $(\lambda_f)^n.$

Le second point important est que $h^+$ est nulle précisément sur
les points rationnels qui ont une orbite finie. Une relation
intéressante apparaît donc entre arithmétique et
dynamique. Nous allons maintenant décrire une application bien plus
délicate de ces hauteurs mais, auparavant, expliquons la
signification dynamique du nombre $\lambda_F.$

Encadré 1

Surfaces triplement de degré $2$

Reprenons les notations de l’introduction concernant la surface de
Markov, munie des trois involutions $\alpha,$ $\beta$ et $\gamma.$
L’équation de cette surface est
\[ x^2+y^2+z^2=3xyz. \] Nous noterons $M$ la partie de cette surface constituée des
points dont toutes les coordonnées sont positives. On peut
paramétrer $M$ par l’intérieur d’un triangle : si $(u,v,w)$ sont
les coordonnées barycentriques d’un point du triangle, l’élément
de la surface de Markov est $(\Delta u, \Delta v, \Delta w)$ où
$\Delta=(u^2+v^2 +w ^2)/(3uvw).$ Ce changement de variables permet donc
de visualiser la dynamique des transformations $\alpha,$ $\beta$ et
$\gamma$ en faisant des dessins dans un triangle.

PNG - 68.1 ko
Les trois
involutions envoient le « pavé » central délimité par trois
arcs de cercles sur les trois zones hachurées adjacentes ; en
composant successivement ces involutions entre elles, ce « pavé »
engendre ainsi un pavage biscornu du triangle.
(Figure réalisée par Benoit Kloeckner)

Voici maintenant une façon de déformer l’exemple de Markov pour
obtenir une dynamique compliquée sur des surfaces algébriques
réelles. Soit $P(x,y,z)$ un polynôme en trois variables dont le
degré par rapport à chacune des variables est égal à $2.$
Autrement dit, lorsque l’on fixe deux des variables, on obtient un
polynôme de degré $2$ par rapport à la variable restante.

Notons $S_0(P)$ la variété associée à l’équation $P,$ et
considérons son adhérence (compacte) $S(P)$ dans
${\mathbf{P}}^1\times{\mathbf{P}}^1 \times{\mathbf{P}}^1.$ Ceci
détermine une surface projective, car
${\mathbf{P}}^1\times{\mathbf{P}}^1 \times{\mathbf{P}}^1$ est une
variété projective. Nous supposerons que cette surface est
lisse. Ce n’est pas une hypothèse anodine ; elle est vérifiée
pour la plupart des polynômes $P$ mais ne l’est pas pour la surface
de Markov.

Puisque le degré de $P$ par rapport à $x$ est égal à $2,$
chaque point $(x,y,z)$ est associé à un second, $ \alpha(x,y,z)=(x',y,z), $ où $x'$ est la seconde solution de $P$
lorsque $y$ et $z$ sont fixés. Ceci détermine une transformation
polynomiale de $S$ qui est involutive : $\alpha\circ \alpha = {\mbox{id}}_S.$ De même, en privilégiant respectivement $y$ et
$z,$ on définit deux autres involutions $\beta$ et $\gamma.$ Par
composition, $\alpha,$ $\beta$ et $\gamma$ engendrent un groupe de
transformations polynomiales de $S.$ Lorsque les coefficients de
$P$ sont rationnels, ces transformations polynomiales sont
définies par des polynômes à coefficients rationnels :
elles permutent donc les points de $S(P)_{\mathbf{Q}}.$

Nous noterons $f$ la
transformation obtenue en composant successivement les trois
involutions :
\[ f=\alpha \circ \beta \circ \gamma. \]
La dynamique de cette transformation est extrèmement complexe,
comme on peut le voir sur la figure suivante :

PNG - 140.5 ko
Plusieurs orbites (réelles) pour la transformation
$f.$ Sur cet exemple, le polynôme $P$ est à coefficients
rationnels et nous avons tracé des orbites de points réels. La
surface $S_{\mathbf{R}}$ est homéomorphe à un tore. Les orbites
ont été tracées en entier (certaines passent donc du côté
« caché » de la surface).

Une façon de mettre en évidence la complexité de cette
dynamique est de regarder les polynômes qui définissent les
transformations $f^n,$ $n=1,2, ...$ Il se trouve que leur degré
croît comme $(9+4\sqrt{5})^n.$ Ce nombre $\lambda_f=9+4\sqrt{5}$
joue un rôle crucial dans l’étude des propriétés dynamiques de
$f$ (voir le corps du texte).

Le facteur $\lambda_F$ donne l’entropie

Lorsqu’on dispose d’un système dynamique un tant soit peu
compliqué, il est illusoire de vouloir décrire l’évolution de
toutes les trajectoires. La première stratégie est alors de
décrire les orbites les plus simples, à savoir les orbites
périodiques. La seconde consiste à adopter un point de vue
probabiliste ; il s’agit de décrire le comportement asymptotique de
presque toute trajectoire. En ce qui nous concerne, les deux points de
vue vont se rejoindre.

Avant toute chose, il convient d’interpréter en termes dynamiques le
coefficient $\lambda_F$ qui décrivait l’évolution de la hauteur le
long d’une trajectoire. Définissons pour cela l’entropie
topologique
de la transformation $F.$ Soit $\epsilon$ un nombre
réel, strictement positif mais très petit ; ce nombre représente
la précision à laquelle nous observons le système, plus
$\epsilon$ est petit plus la précision est grande. Pour tout entier
positif $n,$ notons $T(n,\epsilon)$ le nombre maximum de trajectoires
de longueur $n$ qui peuvent être distinguées à la précision
$\epsilon$ : les trajectoires des points $ m_1 $ et $ m_2 $ sont
discernables s’il existe un instant $k$ compris entre $0$ et $n$ pour
lequel $F^k(m_1)$ et $F^k(m_2)$ sont à une distance supérieure à
$\epsilon.$ En général, la suite $T(n,\epsilon)$ croît
exponentiellement vite avec $n.$ On pose donc
\[ \mbox{h}_\epsilon(F)=\lim_{n\to \infty} \left( \frac{1}{n} \log (T(n,\epsilon))\right) \] et l’on définit l’entropie topologique
${\mbox{h}}_{top}(F)$ en prenant la limite de ${\mbox{h}}_\epsilon(F)$
lorsque la précision devient infiniment grande (i.e.
$\epsilon$ tend vers $0$). L’entropie topologique mesure donc « le
nombre asymptotique de trajectoires distinctes ».

Lorsque $F$ coïncide avec l’une des transformations $f$ ou $g$ des
encadrés 1 et 2, les travaux de Yosi Yomdin et Mickael Gromov montrent
que l’entropie est égale au logarithme du nombre $\lambda_F$ :
\[ \mbox{h}_{top}(F)=\log(\lambda_F) \]
($F$ étant une transformation de $V_{\mathbf{C}}$). En d’autres
termes, prenez un point entier,
itérez le et regardez à quelle vitesse ses coordonnées tendent
vers l’infini, vous obtenez alors le « nombre asymptotique de
trajectoires » de $F.$

Dans les cas qui nous préoccupent, l’entropie topologique est
strictement positive, car $\lambda_F$ est strictement supérieur à
$1.$ La dynamique est donc très riche, en particulier $F$ possède
une infinité de points périodiques hyperboliques (si $F=f$) ou
répulsifs (si $F=g$). C’est pour comprendre la répartition de ces
points périodiques que les hauteurs adaptées vont être
utiles. Pour cela, il est nécessaire de séparer la hauteur $h^+$
construite au deuxième paragraphe en une somme de hauteurs
locales
$h^+_p$ ...

Points périodiques

Un point $m$ est dit périodique s’il existe
un entier $k$ strictement positif tel que $F^k(m)=m.$
Le plus petit entier $k$ qui convient s’appelle la
période de $m.$

Le point est de type hyperbolique si le module des valeurs
propres de la différentielle de $F^k$ au point $m$
sont, pour une part, strictement plus grands que $1$
et, pour une autre part, strictement plus petits que $1.$
Le point est répulsif si tous les modules des
valeurs propres sont plus grands que $1.$

La formule du produit

Soit ${\mathcal{P}}$ l’ensemble des nombres premiers et $p$ un
élément de ${\mathcal{P}}.$ Si $q$ est un nombre entier, sa
valuation $p$-adique ${{v}}_p(q)$ est définie comme le plus
grand nombre entier positif $k$ tel que $p^k$ divise $q.$ Ainsi,
\[\begin{equation} q=\prod_{p\in {\mathcal{P}}} p^{{{v}}_p(q)}. \label{equation_1} \end{equation}\]
Nous utiliserons également la norme $p$-adique
$\parallel \! q \! \parallel_p= (1/p)^{ {{v}}_p(q) }.$ Cette norme
est égale à $1$ si $p$ ne divise pas $q$ et est d’autant plus
petite que $p$ divise $q.$ Les entiers $p$-adiques sont définis en
complétant ${\mathbf{Z}}$ relativement à cette norme. Autrement
dit, on adjoint aux entiers les limites de suites qui convergent dans
la norme $p$-adique, par exemple le nombre $3$-adique
\[ \lim_{n\to \infty} \left(1+ 3^2+3^4+ ...+ 3^{2^n} \right). \] Les nombres réels peuvent être introduits de manière analogue
en complétant les nombres rationnels pour la valeur absolue usuelle,
à savoir $\parallel \!\! q \!\! \parallel_{\infty}=|q|.$ Lorsqu’une
variété $V$ est définie par des équations à coefficients
entiers, on peut donc la considérer alternativement comme une
variété sur les réels $V_{\mathbf{R}}$ ou sur les $p$-adiques
$V_{{\mathbf{Q}}_p}.$

Dans le contexte simple où nous nous plaçons, la formule du
produit
consiste à évaluer la valeur absolue d’un entier $q$ à
l’aide de la formule de décomposition en facteurs premiers
($\ref{equation_1}$) :
\[ \parallel q \parallel_\infty = \prod_{p\in {\mathcal{P}}}(\parallel q\parallel_p)^{-1}. \] On en déduit sans peine que la hauteur $h(m)$ d’un point
$m=[x:y:...]$ de l’espace projectif est une somme $h(m)=\sum_{p\in {\mathcal{P}}\cup \infty} h_p(m)$ de hauteurs locales $h_p(m)$
valant chacune
\[ \max(\log(\parallel\! x\! \parallel_p),\log(\parallel\! y\! \parallel_p), ...). \] De même, les
hauteurs adaptées à une transformation polynomiale ont leurs
analogues locaux : $h^+_p,$ $h^-_p.$ Chacune de ces fonctions de
hauteur devrait être utile pour décrire la dynamique induite par
la transformation polynomiale $F$ sur les points $p$-adiques de la
variété. Pour l’instant, seul le cas non arithmétique $p=\infty$
a été suffisament étudié. C’est ce que nous allons maintenant
expliquer.

Encadré 2


Endomorphismes de l’espace projectif

L’un des premiers exemples de transformation polynomiale
dont la dynamique a été étudiée en détails est
celui des transformations $z\mapsto z^2+c$
où $c$ est un paramètre complexe. En coordonnées
homogènes, on obtient une transformation polynomiale
$[x:y]\mapsto$
$ [x^2+cy^2:y^2]$ de la droite projective
${\mathbf{P}}^1_{\mathbf{C}}.$ Plus généralement,
si les $P_i,$ $i=0,1, ..., n,$ sont des polynômes
homogènes de même degré $d$ qui ne s’annulent pas
simultanément en dehors de l’origine, la transformation
$g:[x_0:x_1:...:x_n]\mapsto [P_0:P_1:$
$...:P_n]$
détermine une transformation polynomiale de ${\mathbf{P}}^n.$
On parle d’endomorphisme de degré $d.$

Nous supposerons toujours que le degré $d$ est supérieur ou égal
à $2.$ C’est bien sûr le cas de $z\mapsto z^2+c.$ Lorsqu’on
itère la transformation $g,$ on obtient une suite de transformations
polynomiales de l’espace projectif, $g,$ $g^2=g\circ g,$ ... ; le
degré des polynômes homogènes qui définissent $g^k$ est alors
égal à $d^k.$ Il y a donc une croissance exponentielle des degrés
par itération.

Hauteurs et mesure d’entropie maximale

Sur la variété complexe où a lieu la dynamique
(${\mathbf{P}}^k_{\mathbf{C}}$ ou $S(P)_{\mathbf{C}}$), considérons
les Laplaciens de Monge-Ampère des fonctions de hauteurs adaptées
à la dynamique :
\[ \partial\overline{\partial} h^+_\infty, \quad \partial\overline{\partial} h^-_\infty. \]
Bien souvent, $h^+_\infty$ et $h^-_\infty$ ne sont pas
différentiables et les Laplaciens $\partial\overline{\partial} h^+_\infty$ et
$\partial\overline{\partial} h^-_\infty $ doivent être pris au sens
des distributions, ou plus précisément au sens des courants. Cependant,
les hauteurs adaptées $h^+_\infty$ et $h^-_\infty$
sont continues et « pluri-sous-harmoniques », ce qui
permet de multiplier ces distributions entre elles. Lorsque $F=f,$ on
construit ainsi une mesure de probabilité
\[ \mu_f=(\partial\overline{\partial} h^+_\infty)\wedge (\partial\overline{\partial} h^-_\infty) \] sur la surface $S(P)_{\mathbf{C}}$ (voir l’encadré 1). Lorsque
$F=g,$ il faut prendre la puissance $k^{eme}$ de
$\partial\overline{\partial} h^+_\infty$ pour définir une mesure
$\mu_g$ sur ${\mathbf{P}}^k_{\mathbf{C}}.$

Ces mesures de probabilité jouissent de propriétés dynamiques
optimales. Tout d’abord, $\mu_F$ est invariante par $F$ : si $A$ est un
ensemble mesurable et si $F^{-1}(A)$ désigne l’ensemble des points
de $V_{\mathbf{C}}$ dont l’image appartient à $A,$ alors
\[ \mu_F(F^{-1}(A))=\mu_F(A). \]
En outre, $\mu_F$ est l’unique mesure d’entropie maximale et les points
périodiques de $F$ s’équirépartissent vis-à-vis de $\mu_F.$ La
première de ces deux propriétés est fondamentale mais un peu
technique et nous n’en parlerons pas. Que signifie la seconde ?

Pour tout entier $N,$ notons ${\mbox{Per}}_F(N)$ l’ensemble des points
périodiques de $F$ dont la période n’excède pas $N$ et $\nu_N$
la mesure de comptage associée à cet ensemble : par définition,
si $A$ est une partie de $V_{\mathbf{C}},$ $\nu_N(A)$ est égale à
la proportion de points de $ {\mbox{Per}}_F(N)$ situés dans $A.$
L’équirépartition des points périodiques de $F$ vis-à-vis de
$\mu_F$ signifie que $\nu_N$ converge vers $\mu_F$ lorsque la taille
des périodes $N$ tend vers l’infini. Autrement dit, $\mu_F$ décrit
la répartition asymptotique des points périodiques de $F.$

L’histoire ne s’arrête pas là. Au lieu de regarder le système
dynamique $F:V_{\mathbf{C}} \to V_{\mathbf{C}}$ dans son ensemble,
concentrons nous sur la partie qui recèle l’essentiel de la
dynamique, à savoir l’adhérence des point périodiques de $F.$
Notons $X_F$ ce sous-ensemble de $V_{\mathbf{C}}$ ; il s’agit d’un
espace compact invariant par $F$ qui est muni d’une mesure de
probabilité $\mu_F$ elle aussi $F$-invariante. Le théorème le
plus frappant obtenu actuellement affirme que le système est
semblable à un jeu de pile ou face. En termes techniques, il
existe un changement de variable mesurable $m'=\Psi(m),$ qui
conjugue le triplet $(X_F,\mu_F,F)$ à un décalage de Bernoulli :
quitte à négliger les ensembles de mesure nulle pour $\mu_F,$ la
dynamique est donc aussi aléatoire qu’un jeu de pile ou face.

Tous ces résultats de nature dynamique sont le fruit d’une lente
progression dont les acteurs principaux sont Eric Bedford, Jean-Yves
Briend, Julien Duval, Michael Lyubich, Ricardo Ma$\tilde{\mbox{n}}$e, Nessim
Sibony, John Smillie, ... et bien d’autres encore !

Conclusion

{}Historiquement, les fonctions de hauteurs adaptées
$h^+_\infty$ ne sont pas apparues au sein des systèmes dynamiques
via leur construction arithmétique. Elles ont d’abord été
introduites par des méthodes de théorie du potentiel. Les
relations entre arihmétique et dynamique que nous avons décrites
dans ce texte enjolivent donc un peu l’histoire et en cachent une
partie importante. Si nous avons choisi cette présentation des
faits, c’est pour illustrer les liens qui existent entre deux domaines
a priori éloignés. De nombreuses questions à la frontière de
ces domaines restent actuellement sans réponse.
Nous espérons que ces liens se renforceront dans les
années à venir.

Références


Hindry (M.), Silverman (J. H.)
Diophantine Geometry, an Introduction Springer Verlag, GTM 2000


Cerveau (D.), Ghys (É.), Sibony (N.), Yoccoz (J.-C.)
Dynamique et Géométrie complexe Société mathématique de France, Panoramas et Synthèse 1999

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Pour citer cet article :

Serge Cantat — «Dynamique diophantienne » — Images des Mathématiques, CNRS, 2004

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