Echelles et TGV

27 janvier 2013  - Rédigé par  François Sauvageot Voir les commentaires (4)

Hier, en rentrant d’une passionnante réunion du comité de rédaction d’Images des Maths, j’ai pris le TGV avec un paquet de copies à corriger.

Le TGV est assez idéal pour corriger des copies, pour peu qu’on arrive à se concentrer. En tout cas ce n’est pas moins asocial que de téléphoner sans bouger de sa place ou d’avoir les yeux rivés sur un écran.

Presqu’arrivé à Nantes, et aussi au bout de mon paquet de copies, mon voisin de gauche a eu la gentillesse de me communiquer un problème de géométrie : « Vous avez l’air de vous y connaitre en maths ... J’ai un ami qui m’a posé un problème que je n’arrive pas à résoudre. Peut-être pourriez-vous m’aider ? ».

J’étais très content (ce qui a eu l’air de le surprendre). Ben oui : d’une part ça me permettait de sortir un peu de la monotonie qui gagne fatalement lors de la correction de copies, d’autre part en général face à des copies de maths (et de la personne qui les corrige), les réactions sont souvent distantes, voire gênées ou agacées ...

De loin le problème ressemblait à quelques pépites de géométrie « à l’ancienne » comme on peut en trouver dans des petits livres ou d’anciens manuels [1]. Au bout de quelques minutes de géométrie plane, puis de trigonométrie, j’en suis venu aux mains : c’est-à-dire que j’ai mis le problème en équation.

Je fus alors un peu déçu de constater qu’il ne s’agissait pas d’un problème de géométrie que l’on peut résoudre par un argument esthétique. Non, il fallait résoudre une équation du quatrième degré et donc, finalement, donner une réponse pas plus satisfaisante que celle donnée par un mètre d’arpenteur, une maquette ou un dessin assez précis ...

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Voici l’énoncé

Entre deux murs (verticaux) parallèles, on place deux échelles en les croisant. La première fait 3m de long, la seconde 2m. On constate qu’elles se croisent à une hauteur de 1m. Quelle est la distance entre les deux murs ?

Une solution parmi d’autres [2]

Avec un peu de trigonométrie, on obtient une mise en équation de cette distance $d$ sous la forme : $d=2\sin(\alpha)=3\sin(\beta)$ et $\frac1{2\cos(\alpha)}+\frac1{3\cos(\beta)}=1$.

Il reste à résoudre $\frac1{\sqrt{4-d^2}}+\frac1{\sqrt{9-d^2}}=1$, ce que l’on peut faire par approximations successives, en se ramenant à une équation du quatrième degré et en utilisant une méthode de résolution par radicaux (formules de Ferrari) ou approchée, ou encore en utilisant un ordinateur. C’est un peu décevant, mais c’était tout de même une manière agréable de terminer ce voyage en train !

Notes

[1Je conseille par exemple Coxeter et Greitzer, Redécouvrons la géométrie.

[2Il y a bien d’autres façons d’obtenir une mise en équations, mais elles aboutissent toutes à une équation du quatrième degré.

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Pour citer cet article :

François Sauvageot — «Echelles et TGV» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Commentaire sur l'article

  • Echelles et TGV

    le 28 janvier 2013 à 10:36, par Pierre Colmez

    A vrai dire, je ne suis pas sûr de comprendre la signification de
    « Non, il fallait résoudre une équation du quatrième degré et donc, finalement, donner une réponse pas plus satisfaisante que celle donnée par un mètre d’arpenteur, une maquette ou un dessin assez précis ... »

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    • Echelles et TGV

      le 28 janvier 2013 à 21:37, par claudie

      Je crois comprendre ce que François veut dire ici. Ce qui est un peu triste, dans ce problème assez classique (on le trouve par exemple dans Gardner), c’est qu’il n’y a pas une jolie solution géométrique qu’on pourrait tirer du chapeau. On est obligé de mettre les mains dans le cambouis et de se lancer dans une solution calculatoire.
      La simplicité de l’énoncé laissait espérer mieux qu’une équation du 4ème degré.
      Mais c’est comme ça, c’est la vie…
      Claudie

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      • Echelles et TGV

        le 16 août 2014 à 13:20, par Philip_Marlowe

        Il y a une jolie solution géométrique. Traçons une parallèle au sol passant par l’intersection des deux droites obliques, soit donc à une distance h du sol. Désolé de ne pas pouvoir tracer ici la figure.
        On se trouve avec deux triangles rectangles semblables avec des côtés parallèles de longueurs respectives h et (b - h). Les deux autres côtés respectifs de l’angle droit constituent deux hauteurs respectives des triangles semblables de côtés parallèles a et b et dont les deux autres côtés respectifs se « croisent » à la hauteur h.
        On montre facilement que les rapports a/h et b/(b-h) sont égaux. La suite est triviale.

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  • Echelles et TGV

    le 30 janvier 2013 à 03:43, par Jean-Paul Allouche

    C’est un joli... turbo-article (le mot turbo-prof semble tombé en désuétude) ! Il semble que ce problème soit un classique. Je suis tombé en particulier sur cette URL où l’on peut trouver un post (en français « samizdat » ? ou... billet) de Kent Holing. Cet article donne la plus ancienne référence que son auteur connaît à ce sujet (1907 pour deux échelles). Il donne aussi plusieurs liens dont un vers un article de Kent Holing qui reprend ce qu’il a publié en norvégien dans la revue Nordisk Matematisk Tidskrift (la revue est accessible en ligne à cette adresse mais la version électronique semble ne contenir que les articles depuis 2003). On notera que l’auteur écrit : Since a quartic equation can be solved exactly by algebra, these problems are in a sense trivial : The main reason for the great interest in these problems in recreational mathematics is the challenge to avoid to solve a quartic equation, using the exact solution method which involves cumbersome
    algebra with cube root extractions.
    Cette remarque contient en germe une réponse à deux commentaires ci-contre : à condition de ne pas oublier qu’on a tendance à considérer que les symboles « racine nième » sont exacts, alors qu’ils ne reviennent qu’à privilégier les solutions d’équations algébriques particulières, à savoir xn = a.

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