27 janvier 2013

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Echelles et TGV

François Sauvageot

Mathématicien. Enseignant, chercheur et acteur de science populaire. (page web)

Hier, en rentrant d’une passionnante réunion du comité de rédaction d’Images des Maths, j’ai pris le TGV avec un paquet de copies à corriger.

Le TGV est assez idéal pour corriger des copies, pour peu qu’on arrive à se concentrer. En tout cas ce n’est pas moins asocial que de téléphoner sans bouger de sa place ou d’avoir les yeux rivés sur un écran.

Presqu’arrivé à Nantes, et aussi au bout de mon paquet de copies, mon voisin de gauche a eu la gentillesse de me communiquer un problème de géométrie : « Vous avez l’air de vous y connaitre en maths ... J’ai un ami qui m’a posé un problème que je n’arrive pas à résoudre. Peut-être pourriez-vous m’aider ? ».

J’étais très content (ce qui a eu l’air de le surprendre). Ben oui : d’une part ça me permettait de sortir un peu de la monotonie qui gagne fatalement lors de la correction de copies, d’autre part en général face à des copies de maths (et de la personne qui les corrige), les réactions sont souvent distantes, voire gênées ou agacées ...

De loin le problème ressemblait à quelques pépites de géométrie « à l’ancienne » comme on peut en trouver dans des petits livres ou d’anciens manuels [1]. Au bout de quelques minutes de géométrie plane, puis de trigonométrie, j’en suis venu aux mains : c’est-à-dire que j’ai mis le problème en équation.

Je fus alors un peu déçu de constater qu’il ne s’agissait pas d’un problème de géométrie que l’on peut résoudre par un argument esthétique. Non, il fallait résoudre une équation du quatrième degré et donc, finalement, donner une réponse pas plus satisfaisante que celle donnée par un mètre d’arpenteur, une maquette ou un dessin assez précis ...

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Voici l’énoncé

Entre deux murs (verticaux) parallèles, on place deux échelles en les croisant. La première fait 3m de long, la seconde 2m. On constate qu’elles se croisent à une hauteur de 1m. Quelle est la distance entre les deux murs ?

Une solution parmi d’autres [2]

Avec un peu de trigonométrie, on obtient une mise en équation de cette distance $d$ sous la forme : $d=2\sin(\alpha)=3\sin(\beta)$ et $\frac1{2\cos(\alpha)}+\frac1{3\cos(\beta)}=1$.

Il reste à résoudre $\frac1{\sqrt{4-d^2}}+\frac1{\sqrt{9-d^2}}=1$, ce que l’on peut faire par approximations successives, en se ramenant à une équation du quatrième degré et en utilisant une méthode de résolution par radicaux (formules de Ferrari) ou approchée, ou encore en utilisant un ordinateur. C’est un peu décevant, mais c’était tout de même une manière agréable de terminer ce voyage en train !

Notes

[1Je conseille par exemple Coxeter et Greitzer, Redécouvrons la géométrie.

[2Il y a bien d’autres façons d’obtenir une mise en équations, mais elles aboutissent toutes à une équation du quatrième degré.

Affiliation de l'auteur

François Sauvageot : Lycée Georges Clemenceau - Académie de Nantes

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Pour citer cet article : François Sauvageot, « Echelles et TGV »Images des Mathématiques, CNRS, 2013.

En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Echelles-et-TGV.html

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