Écrire les imaginaires

Piste rouge 12 janvier 2015  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu Voir les commentaires (1)

J’explique pour quelle raison il peut être dangereux d’écrire sous la forme « $\sqrt{-1}$ » le nombre imaginaire « $i$ », symbole fondamental de la théorie des nombres complexes.

N’avez-vous jamais étudié les nombres « complexes », ou bien ne vous en souvenez-vous que vaguement ? Alors ne vous effrayez pas si la définition suivante vous paraît hermétique, car l’un des buts de cet article est de vous faire sentir une partie de la complexité du cheminement historique y aboutissant :

Définition : Un nombre complexe est un nombre qui peut s’écrire sous la forme $a + i \cdot b$, où $a$ et $b$ désignent des nombres réels et le symbole « $i$ » vérifie l’équation $i^2 =-1$.

Ces nombres simplifient bien des questions « complexes ». Par exemple [1], les calculs de grandeurs physiques importantes dans l’étude des circuits électriques, comme les tensions et les intensités de courant. Raison pour laquelle on y utilise plutôt la lettre $j$ que $i$, cette dernière étant réservée dans ce contexte-là aux intensités.

Mais en mathématiques on tient à l’utilisation de la lettre $i$, d’abord par inertie — tiens, c’est aussi l’initiale de ce mot-ci ! — mais aussi parce que c’est l’initiale d’« imaginaire » et que les nombres complexes durent d’abord être imaginés, avant que l’on parvienne à montrer qu’ils existaient bien quelque part.

Qu’il faille faire preuve d’imagination lorsqu’on fait des mathématiques est une évidence pour tout mathématicien, fier de cet aspect créatif de son métier. Hélas, de l’extérieur on ne perçoit pas souvent ce côté imaginatif, alors les mathématiciens sont heureux de pouvoir le rappeler grâce à cette lettre « $i$ ».

Son utilisation dans ce contexte semble remonter à un article de Leonhard Euler écrit en 1777 [2]. Voici la phrase dans laquelle il introduisit cette notation :

$ \ $

$\ $

Le symbole « $i$ » utilisé comme racine carrée de $-1$ ne s’est répandu qu’au XIX-ème siècle, à la suite de son emploi systématique par Carl Friedrich Gauss. Auparavant, on écrivait plutôt « $\sqrt{-1}$ », ce qui avait l’avantage de rappeler de manière immédiate qu’il s’agissait d’une racine carrée de $-1$. On contemple ainsi un magnifique exemple de créativité mathématique : là où un raisonnement logique simple indiquait qu’il n’existe aucun nombre connu qui, élevé au carré, donne $-1$, on a imaginé un nombre d’une nouvelle sorte qui a cette propriété [3].

Pourquoi a-t-on changé de notation, en passant de « $\sqrt{-1}$ » à « $i$ » ? Simple effet d’entraînement du choix de notation de quelques grands mathématiciens ? La raison est plus subtile. Mais pour la comprendre, il nous faudra d’abord parler des règles du jeu avec ces nombres imaginaires.

Pourquoi parlait-on de nombres « imaginaires » ?

Au sujet des racines des équations du troisième degré, René Descartes écrivit dans le Livre troisième de sa « Géométrie », parue en 1637 :

$\ $

$ \ $

Descartes appelle « vraies » les racines réelles positives et « fausses » les négatives. Ce qui est sous-entendu est que l’inconnue désigne une grandeur géométrique qui ne peut être que positive, les racines négatives devant être rejetées en tant que fausses solutions du problème qui a mené à l’équation étudiée.

Il y a des équations du troisième degré qui ont $3$ racines réelles, mais d’autres n’en ont qu’une. C’est à leur sujet que Descartes affirme que l’on peut très bien en imaginer deux autres, afin de rendre toujours vrai le fait que l’équation a autant de racines que son degré. Il donne l’exemple de l’équation :
\[ x^3 - 6 x^2 + 13 x -10 =0, \]
dont $2$ est la seule racine réelle. Pourtant on peut en imaginer deux autres,
que l’on savait même représenter par une drôle de formule :
\[ 2 \pm \sqrt{-1}. \]
Que signifie le fait que ces deux « nombres », $2 + \sqrt{-1}$ et $2 - \sqrt{-1}$,
sont racines de l’équation de départ ? Eh bien, on remplace $x$ par chacun d’entre eux dans le polynôme donné, on calcule comme s’il s’agissait de nombres réels et on voit que l’on tombe sur $0$.

C’est là un point essentiel : au XVI-ème siècle, en Italie, furent introduites comme un jeu des expressions insensées telles que $2+ \sqrt{-1}$ ou $3 - \sqrt{-5}$ [4].
On ne savait pas les interpréter, mais on pariait qu’on calculait avec elles comme avec les nombres réels. En particulier, on pariait que les règles suivantes, toujours vraies pour les nombres réels, le restaient encore lorsque l’on calcule avec des nombres imaginaires [5] :

Règles de calcul : \[ \begin{array}{l} \bullet \: \: x + (y + z) = (x + y ) + z \mbox{ (associativité de l'addition)}, \\ \bullet \: \: x + y = y + x \mbox{ (commutativité de l'addition)}, \\ \bullet \: \: x \cdot(y + z) = x \cdot y + x \cdot z \mbox{ (distributivité à gauche de la multiplication sur l'addition)}, \\ \bullet \: \: (y + z) \cdot x= y \cdot x + z \cdot x \mbox{ (distributivité à droite de la multiplication sur l'addition)}, \\ \bullet \: \: x \cdot y = y \cdot x \mbox{ (commutativité de la multiplication)}, \\ \bullet \: \: x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y ) \cdot z \mbox{ (associativité de la multiplication).} \end{array} \]

Voici comment une partie de ces règles — voyez-vous desquelles on a vraiment besoin ? — permettent de calculer le carré de $2 + \sqrt{-1}$,
ce qui est indispensable si on veut vérifier que ce nombre est bien une
solution de l’équation considérée par Descartes :
\[ (2 + \sqrt{-1})^2= 2 \cdot (2 + \sqrt{-1}) + \sqrt{-1} \cdot (2 + \sqrt{-1}) = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{-1} + (\sqrt{-1})^2 = 4 + 4 \cdot \sqrt{-1} -1 = 3 + 4 \cdot \sqrt{-1}. \]

Pourtant, parier que les règles de calcul valables pour les nombres réels s’étendent sans problèmes aux nombres imaginaires peut mener à des contradictions.

Dangers de l’expression « $\sqrt{-1}$ »

Voici la manière la plus simple d’arriver à une telle contradiction. Nous avons convenu d’imaginer un « nombre », noté $\sqrt{-1}$, qui soit une racine carrée de $-1$. Donc :
\[ (\sqrt{-1})^2 = -1. \]
Mais :
\[ (\sqrt{-1})^2 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1)\cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1, \]
d’où $1 = -1$, contradiction !

Que se passe-t-il ? Avons-nous cru un instant que le mathématicien était libre d’imaginer de nouveaux êtres et, orgueilleux de ce côté « artiste », nous sommes-nous gonflés d’importance comme la grenouille de la fable, jusqu’à la crevaison ?
Ce $\sqrt{-1}$ imaginé n’était-il que chimère, comme celle du logo de l’article ?

Heureusement, non. Ce que le raisonnement précédent nous montre en fait est que la règle :
\[ \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y}, \]
vraie lorsque $x$ et $y$ sont des nombres réels positifs, ne s’étend pas aux nouveaux nombres imaginaires. Remplacer la notation « $\sqrt{-1}$ » par « $i$ » a l’avantage d’empêcher de faire l’erreur précédente lorsqu’on est emportés par les automatismes du calcul avec les nombres réels !

Mais alors, puisque l’on pourrait arriver de manière analogue à une contradiction en manipulant avec trop de désinvolture l’expression « $\sqrt{-2}$ », faut-il introduire une nouvelle lettre pour noter « $\sqrt{-2}$ » ? Et une autre pour « $\sqrt{-3}$ », puis pour « $\sqrt{-4}$ », puis ... ? Il faudrait une infinité de lettres !

Heureusement, cela n’est pas nécessaire [6]. Pour le comprendre, réfléchissons à ce que devrait signifier « $\sqrt{-2}$ » : un nombre dont le carré vaut $-2$. Mais $i \cdot \sqrt{2}$ est un tel nombre ! En effet :
\[ (i \cdot \sqrt{2})^2 = i^2 \cdot ( \sqrt{2})^2 = (-1) \cdot 2 = -2. \]

Ah, mais non, me direz-vous, comment sait-on que la relation
$x^2 \cdot y^2 = (x \cdot y)^2$ est encore valable lorsque l’on manipule des nombres imaginaires, vu que nous nous sommes brûlés avec l’égalité $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y}$ ?

Eh bien, pour le moment il faut parier qu’elle est vraie, et voir ce qui en découle. Ce que le calcul précédent nous montre est que, dès que l’on a fixé une racine carrée imaginaire de $-1$, et qu’on l’a notée $i$, on peut exhiber aussi une racine carrée de $-2$ :
\[ i \cdot \sqrt{2}. \]
On pourrait la noter $\sqrt{-2}$, mais cela serait dangereux, pour la même raison qu’avant, car on aurait à nouveau envie d’utiliser l’égalité $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y}$. Et alors :
\[ - \sqrt{2} = i \cdot (i \cdot \sqrt{2}) = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-2} = \sqrt{(-1)\cdot (-2)} = \sqrt{2}, \]
ce qui est à nouveau une contradiction.

Ce point subtil a même trompé Euler. En effet, il commit le même type
d’erreur dans ses « Éléments d’Algèbre » [7] :

$\ $

$\ $

La prudence a décidé alors les mathématiciens d’éviter toute utilisation des symboles $\sqrt{-a}$, lorsque $a$ est un nombre réel positif, et d’écrire à la place $ \pm i \sqrt{a}$ afin d’indiquer les deux racines carrées possibles de $-a$.

Attendez, s’il y a deux racines carrées de $-a$, comment sait-on les différencier
l’une de l’autre ? Eh bien, on ne peut pas, il y a une symétrie parfaite entre les
deux, et c’est là une autre raison de l’ambiguïté du symbole $\sqrt{-a}$ ! C’est Galois qui s’est rendu compte que ce phénomène de symétrie
est très général, et il a introduit un nouveau type d’objet, les groupes,
pour mesurer la structure
de cette symétrie, chaque fois qu’on se donne une équation polynomiale, et pas seulement lorsqu’il s’agit d’équations de la forme $x^2 = -a$. Mais cela
est une autre histoire [8].

En fait, comme on le verra plus bas au sujet des « quaternions », on peut imaginer sans contradiction qu’il y a plus de deux racines carrées de $-1$. Mais on peut montrer que si les nombres imaginaires que l’on manipule vérifient les règles précédentes, et que de plus chaque nombre a un opposé pour l’addition et chaque nombre non-nul un inverse pour la multiplication (on dit dans ce cas que les nombres forment un corps commutatif), alors il y a au plus deux racines carrées de chaque nombre.

Extraire les racines carrées est une « opération » à plusieurs valeurs

En revenant à une question laissée en suspens, comment sait-on que l’égalité $x^2 \cdot y^2 = (x \cdot y)^2$ ne mène pas à des contradictions dans notre nouveau contexte imaginaire ? Eh bien, regardons quel est ce nouveau contexte : on a introduit un nouveau symbole $i$, et on a permis de le multiplier par un nombre réel $b$, en obtenant des « nombres » de la forme $i\cdot b$. Si l’on additionne de tels « nombres » aux nombres réels, on obtient des « nombres » de la forme $a + i \cdot b$, où $a$ et $b$ sont simultanément réels. On peut alors prouver qu’il y a une seule manière d’additionner et de multiplier les nombres de ce type si on veut respecter les règles de calcul écrites précédemment.
L’égalité $x^2 \cdot y^2 = (x \cdot y)^2$ s’en déduit pour tous les choix de « nombres complexes » $x$ et $y$.

Au fait, il y a une manière de rendre aussi l’égalité
$ \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y} $ toujours vraie, même lorsque $x$ et $y$ sont des nombres complexes. Elle consiste à dire que le symbole $ \sqrt{x}$ désigne non pas un seul nombre, mais l’ensemble des deux racines carrées de $x$ ! Par exemple, $\sqrt{-1}$ désignerait alors l’ensemble $\{i, -i \}$ et $\sqrt{-4}$ désignerait $\{i \cdot 2, -i \cdot 2 \}$. Leur produit serait, par définition, l’ensemble formé des produits de deux éléments, pris dans chaque ensemble. On obtient :
\[ \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-4} = \{2, -2 \} = \sqrt{4} = \sqrt{(-1) \cdot(-4)}. \]
Euler lui-même avait résolu de cette manière plusieurs paradoxes concernant les logarithmes des nombres imaginaires [9], en disant que ceux-ci ne devaient pas être interprétés comme des nombres, mais comme une infinité de nombres :

$\ $

$\ $

Mais il est beaucoup plus difficile de manipuler dans les calculs des symboles de nombres qui désignent plusieurs nombres simultanément. Pour cette raison, on a préféré choisir une racine carrée fondamentale de $-1$, que l’on a notée $i$, et dire que les nombres avec lesquels on travaille sont ceux de la forme $a + i \cdot b$, une expression dans laquelle $a$ et $b$ désignent des nombres réels.

N’empêche que, même si on définit de cette manière les nombres « complexes », il faudra toujours faire attention lorsque l’on extrait leurs racines carrées : il y en a $2$ parmi les nombres complexes. Donc, à la différence de l’opération d’élévation au carré, qui prend une seule valeur pour chaque nombre complexe, celle d’extraction de la racine carrée en prend deux.

Pourquoi parle-t-on de nombres « complexes » ?

Les nombres de la forme $a + i \cdot b$ sont déterminés par deux nombres réels $a$ et $b$, et c’est en ce sens que Gauss les appela « complexes » [10] :

$ \ $

$ \ $

Une tradition remontant au XVII-ème siècle appelait « grandeur complexe » les polynômes [11], car ces derniers étaient perçus comme des arrangements complexes de grandeurs plus simples, les constantes et les variables. Par exemple, le polynôme du membre gauche de l’exemple de Descartes est un arrangement « complexe » des constantes $1$, $-6$, $13$, $-10$ et de la variable $x$. De même, un nombre « complexe » est perçu comme un arrangement de deux nombres réels ...

Mais deux nombres réels permettent aussi de repérer les points dans le plan, à l’aide d’un système de coordonnées cartésiennes. Donc les nombres complexes peuvent se représenter par un point du plan, $a+ i\cdot b$ correspondant au point de coordonnées cartésiennes $(a,b)$. Et voilà, l’interprétation géométrique des nombres complexes [12] est toute simple, faisant correspondre $i$ au point de coordonnées cartésiennes $(0,1)$.

Cette interprétation géométrique a été rendue possible par la constatation qu’il vaut mieux éviter des expressions du type $\sqrt{-1}$, $\sqrt{-2}$, $\sqrt{-3}$, etc. et de ne travailler qu’avec des nombres de la forme $a + i \cdot b$.

En fait, la réduction à l’écriture $a + i\cdot b$ ne peut se faire que si on rajoute les nouveaux nombres imaginaires à tous les nombres réels. Par contre, si on les rajoute uniquement aux nombres rationnels, alors on est obligé d’utiliser beaucoup plus de paramètres que $2$ pour écrire les nombres imaginaires, et même une infinité.

Par exemple, il n’y a pas de racine de $-2$ de la forme $a + i \cdot b$ avec $a$ et $b$ tous les deux rationnels [13]. Il faut donc rajouter un nouveau symbole — disons « $i_2$ », tel que $i_2^2 = -2$ — si l’on veut travailler simultanément avec une racine carrée de $-1$ et une racine carrée de $-2$. Il en faudra un autre pour une racine carrée de $-3$, et plus généralement un nouveau symbole « $i_p$ » chaque fois qu’on veut extraire la racine carrée de l’opposé $-p$ d’un nombre premier $p$. Alors, si on veut travailler en rajoutant aux rationnels toutes ces racines carrées simultanément, on obtient un monde de nombres complexes de la forme :
\[ a + i \cdot b_1 + i_2 \cdot b_2 + i_3 \cdot b_3 + i_5 \cdot b_5 + \cdots + i_2 i_3 \cdot b_{2,3} + \cdots \]
On a bien une infinité de coefficients rationnels indéterminés $a, b_1, b_2, ..., b_{2,3}, b_{2, 5}, ..., b_{2,3,5}, ...$. L’interprétation géométrique se ferait ici dans un espace cartésien de dimension infinie, dont on ne considérerait que les points à coordonnées rationnelles [14].

Cela illustre le fait que l’étude des nombres apparemment les plus simples qui soient, ceux qu’on a coutume d’appeler « naturels », peut obliger à élargir l’imagination géométrique jusqu’à admettre des espaces de dimension infinie. Il ne m’est hélas pas possible d’expliquer en peu de mots pourquoi cet élargissement est utile dans la quête des propriétés cachées de ces nombres. Mais je voudrais, pour finir, expliquer que même si l’on part des nombres complexes $a + i \cdot b$, avec $a$ et $b$ parcourant
tous les nombres réels, on peut encore leur rajouter d’autres nombres imaginaires.

Il y a des nombres encore plus complexes !

Celui qui a découvert que l’on pouvait encore élargir le monde des nombres
complexes est William Rowan Hamilton.
Il essayait de trouver un système de « nombres »
de la forme $a + i \cdot b + j \cdot c$ dont les règles de multiplication permettent de calculer simplement les composées de rotations dans l’espace euclidien. Ici
« $j$ » désignait une racine carrée de $-1$ qui soit différente à la fois de
$i$ et de $-i$ [15]. Il cherchait ce que devait valoir le produit $i \cdot j$, mais aucune formule de la forme :
\[ i \cdot j = j \cdot i = \alpha + i \cdot \beta + j \cdot \gamma \]
avec $\alpha$ et $\beta$ désignant des nombres réels ne permettait de modéliser les rotations ...

Et il essayait de nouvelles possibilités, et il calculait, et il échouait ... jusqu’à ce qu’un beau jour, lors d’une promenade, il comprit qu’il devait abandonner la règle $i \cdot j = j \cdot i$ !
Et il vit qu’il devait en même temps introduire encore une racine carrée de $-1$,
qu’il nota $k$, et que les règles de calcul avec les nouveaux nombres complexes de
la forme :
\[ a + i \cdot b + j \cdot c + k \cdot d \]
pouvaient être résumées ainsi :
\[ i^2 = j^2 = k^2 = i \cdot j \cdot k = -1. \]
Il fut tellement enthousiasmé d’avoir imaginé ces formules qu’il les grava sur le pont
Broom
sur lequel l’avaient amené ses pas. Le temps effaça ces traces de vandalisme provoquées par l’enivrement de l’imagination mathématique, mais une plaque [16] rappelle encore pour quelque temps ce moment d’illumination :

$ \ $

$ \ $

Comme il fallait quatre coefficients pour écrire de tels nombres, il les baptisa
« quaternions ». Une condition préalable de leur découverte avait été de renoncer à écrire « $\sqrt{-1}$ » : comment différencier entre elles trois racines carrées de -1, si on les écrit toutes « $\sqrt{-1}$ » ?

Il y avait donc d’autres nombres au-delà des nombres complexes ! Cette découverte produisit une forte impression sur ses contemporains, et, presque simultanément
John Graves et Arthur Cayley découvrirent un autre élargissement des nombres complexes, les « octonions ». Mais, si pour calculer avec les quaternions il fallait abandonner la règle de commutativité de la multiplication :
\[ x \cdot y = y \cdot x, \]
avec les octonions il fallait abandonner de plus celle de son associativité :
\[ x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y ) \cdot z. \]

Ce furent les premiers exemples de « systèmes de nombres hypercomplexes ». Mais d’autres suivirent, et en fait il y en eut tellement de découverts, obtenus en abandonnant à tour de rôle diverses règles de calcul valables pour les nombres réels, qu’on sentit le besoin de nommer de manière plus courte que cela ces diverses extensions des nombres réels. Cela devint simplement des « algèbres » [17].

Le lecteur curieux de découvrir les incroyables développements entraînés il y a déjà plus d’un siècle par cette idée de rajouter des nombres imaginaires aux nombres déjà connus pourra consulter l’article « Nombres complexes » d’Eduard Study et Elie Cartan [18].

Dans ce texte j’ai voulu expliquer qu’il faut de l’imagination pour créer les « nombres » qui peuplent chaque « algèbre », et du sens critique pour trouver les bonnes notations qui permettront ensuite de calculer sans se tromper. Ce n’est qu’ainsi qu’on se retrouve avec un outil performant d’algébrisation [19] de situations diverses et variées.

Post-scriptum :

Merci beaucoup à Antoine Chambert-Loir, Fabien Lange et Marie Lhuissier pour leurs remarques judicieuses !

Article édité par Patrick Popescu-Pampu

Notes

[1On trouvera d’autres exemples dans la page Wikipedia qui leur est consacrée ou bien dans le livre « An Imaginary Tale : the story of $\sqrt{-1}$ » de Paul J. Nahin, paru en 1998 chez Princeton University Press.

[2Il s’agit de l’article E671 de l’œuvre complète d’Euler. On pourra lire à ce sujet cette courte note de Beman de 1898, parue à la page 274 du Bulletin de l’AMS No. 4.

[3Que veut dire « imaginer » dans ce contexte ? Ce n’est pas facile à dire, mais on trouvera des réflexions très stimulantes à ce sujet dans le livre « Ces nombres qui n’existent pas » de Barry Mazur, paru en 2004 chez Dunod. Il s’agit d’une traduction française de « Imagining numbers : particularly the square root of $\sqrt{-15}$ », paru en 2004 chez Penguin Books.

[4On pourra consulter à ce sujet l’article de Marie-José Durand-Richard. On y découvrira aussi les premières symbolisations des expressions que l’on n’écrivit de la manière que j’indique qu’à partir du XVII-ème siècle.

[5Bien sûr, la distributivité à droite découle de celle à gauche, pourvu que l’on suppose la commutativité de la multiplication. En l’absence de celle-ci, comme ce sera le cas par exemple pour les quaternions, il s’agit de deux règles complémentaires.

[6Ce n’est pas nécessaire ici. Mais on verra dans la dernière section de l’article que ça le devient si on décide de rajouter des imaginaires aux nombres rationnels, plutôt qu’aux nombres réels.

[7Cet ouvrage est paru d’abord en allemand en 1765. Une traduction française est disponible ici. L’extrait que je montre provient du Chapitre XIII de la Section première du premier tome.

[8Le lecteur curieux en trouvera une introduction historique dans le livre « Galois Theory » publié en 2004 par David Cox chez Wiley Interscience. Galois a aussi élargi les corps finis par des nombres imaginaires, comme l’expliqua Xavier Caruso dans cet article sur IdM.

[9Dans l’article « De la controverse entre Mrs. Leibniz et Bernoulli sur les logarithmes des nombres négatifs et imaginaires », Mémoires de l’académie des sciences de Berlin [5] (1749), 1751, p. 139-179. On peut le trouver ici sous le numéro E 168. L’extrait que je reproduis provient de la section Dénouement des difficultés précédentes.

[10L’extrait que je montre provient de son article « Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda. », Comm. Soc. Reg. Sci. Göttingen 7 (1832) 1-34 ; republié dans « Werke » 2, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93–148. Dans ce paragraphe Gauss définit en fait les entiers complexes, appelés depuis entiers gaussiens, qui sont les nombres complexes $a + i \cdot b$ avec $a$ et $b$ entiers. Voici une traduction de ce texte, qui m’a été aimablement fournie par Roberto Castellini et Nicola Bertoldi : « L’arithmétique la plus élevée (sublime) réside certes dans les questions qui ont été jusqu’ici traitées seulement dans le domaine des nombres entiers réels, mais les théorèmes concernant les résidus biquadratiques ne se manifestent dans leur plus grande simplicité et dans leur véritable beauté que lorsque l’on étend le champ de l’arithmétique aux quantités imaginaires, de telle manière que les nombres de la forme $a+bi$ – où, par convention, $i$ désigne la quantité imaginaire $\sqrt{-1}$ et $a, b$ désignent de manière indéfinie tous les nombres réels entiers entre $- \infty$ et $+ \infty$ – puissent en faire l’objet sans aucune restriction. Nous appellerons de tels nombres nombres entiers complexes, du moins afin que le nombres réels ne soient opposés aux nombres complexes, mais qu’ils soient considéré comme contenus dans ces derniers en tant qu’espèces d’un genre. La recherche ici présentée établira tantôt la doctrine élémentaire des nombre complexes, tantôt les tout premiers débuts de la théorie des résidus biquadratiques, que nous nous chargerons de perfectionner sous tous les aspects dans ce qui suit. »

[11Je tire cette information de la note 9 de l’article « Fonctions rationnelles » d’Eugen Netto et Raymond Le Vavasseur, qui parut en 1907 chez Gauthier-Villars dans le Volume 2 (« Algèbre ») de l’« Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées », réédité par Jacques Gabay en 1992.

[12Pour en apprendre beaucoup plus sur l’histoire de la représentation géométrique des nombres complexes et des opérations avec ces nombres, on pourra consulter le livre de Barry Mazur déjà cité. Dans IdM, Dominique Flamant a traité ici de la contribution de Jean-Robert Argand à cette histoire.

[13Pour le voir, on peut raisonner par l’absurde, en supposant que l’on trouve des rationnels $a,b$ tels que $(a + i \cdot b)^2 = -2$.
En développant le carré et en identifiant les parties réelles et imaginaires des deux membres, on trouve
que $a^2 - b^2 = -2$ et $a \cdot b=0$. Comme $a$ et $b$ sont réels, on a forcément $a=0$, donc $b^2 = 2$. Mais il n’y a pas de racine carrée de $2$ qui soit rationnelle, comme on le sait depuis les temps pythagoriciens, ce qui contredit notre hypothèse.

[14De plus, on ne manipulerait que les points qui n’ont qu’un nombre fini de coordonnées non-nulles, pour que la somme précédente ait un sens.

[15Jusqu’à présent, nous avons supposé tacitement qu’il n’y avait que deux racines carrées possibles d’un nombre. Et c’est le cas si on travaille dans un système de nombres qui se comporte tellement comme les réels qu’il forme un corps commutatif. Mais ce que Hamilton construit est un corps ... non-commutatif. Et là, comme sa construction l’indique, on peut avoir bien plus de racines carrées d’un même nombre réel.

[16L’image provient de Wikimedia Commons : http://commons.wikimedia.org/wiki/File:William_Rowan_Hamilton_Plaque_-_geograph.org.uk_-_347941.jpg

[17C’est Joseph Wedderburn qui proposa ce terme dans son article « On hypercomplex numbers » paru en 1908 dans les Proceedings of the London Mathematical Society 6 (1), 77-118. Il expliqua ainsi ce choix : « At Professor Dickson’s suggestion I have used the word algebra as equivalent to Peirce’s linear associative algebra which is too long for convenient use. »

[18Il parut en 1908 chez Gauthier-Villars dans le Volume 1 (« Arithmétique ») de l’« Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées », et fut réédité par Jacques Gabay en 1992.

[19On pourra lire à ce sujet mon article paru dans IDM.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Patrick Popescu-Pampu — «Écrire les imaginaires» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - L’image du logo représente un plat d’Apulie des années 350-340 A.J.C, avec une chimère. Elle provient de :
http://commons.wikimedia.org/wiki/File%3AChimera_Apulia_Louvre_K362.jpg

Commentaire sur l'article

  • Écrire les imaginaires

    le 14 janvier 2015 à 11:16, par Bruno Duchesne

    Bonjour et merci pour cet article sur les origines des nombres complexes.

    Je voudrais juste faire une remarque. il semble (comme cela apparaît aussi au début de l’article cité de Cartan et Study) que les nombres complexes aient commencé à être utilisés suite aux formules de Cardan pour les équations du 3° degré. Quand il n’y a qu’une racine réelle, ces formules de ne posent pas de problème mais quand il y en a trois, la formule demande d’extraire une racine carrée d’un nombre négatif pour au final retrouver un nombre réel ! Ces nombres « imaginaires » n’étaient qu’un outil de calcul auquel on ne donnait pas de sens. Voici un lien : http://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_de_Cardan#Remarque_historique

    Les formules données ne correspondent pas aux formules historiques. De mémoire, dans les formules historiques, on doit calculer le carré du nombre imaginaire trouvé et donc trouver un réel négatif pour lequel extraire une racine troisième ne posait pas de problème.

    Je trouve que c’est une très belle histoire et que le mot imaginaire convient très bien (complexe un peu moins ; ) ). D’ailleurs si je comprends bien, historiquement les « imaginaires » ne sont que les nombres dont le carré est un réel négatif, c’est-à-dire les multiples réels de i.

    Bonne continuation.

    Bruno.

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM