Lors d’un récent voyage en Espagne, j’ai été attiré par le titre suivant : « Panfleto antipedagógico » [1]. En feuilletant ce livre, je découvris que son auteur, Ricardo Moreno Castillo, était enseignant de mathématiques au lycée et d’histoire des mathématiques à l’Universidad Complutense de Madrid.

Comme le titre du livre l’indique, il s’agit d’un pamphlet, ironique et humoristique, dénonçant les méfaits de certains principes pédagogiques ayant mené, selon l’auteur, à la chute du niveau moyen des élèves à la sortie du lycée. C’est un problème auquel les enseignants du supérieur se confrontent aussi en France, et dont ils se plaignent beaucoup, tout du moins entre eux. Pour cette raison, je me mis immédiatement à le lire.

Pendant la lecture, mon attention fut soudain attirée par les affirmations suivantes  [2] :

[...] la liberté et l’égalité sont chacune frontière de l’autre. Presque chaque avancée de l’une d’elles se fait au prix d’un recul de l’autre. [...]

La première affirmation est plutôt de nature statique, et la seconde dynamique. Elles mettent toutes les deux en évidence le fait que la liberté et l’égalité ne sont pas à penser séparément, mais en interaction. Je me posai alors la question suivante : puis-je trouver un modèle mathématique simple qui permette de se faire une première idée d’une telle interaction ?

Degrés de liberté

En réfléchissant aux diverses connotations du terme de « liberté », j’ai pensé au syntagme « degré de liberté », utilisé anciennement en mathématiques et encore de nos jours en physique. Le nombre de degrés de liberté d’un mécanisme est le nombre de paramètres qui peuvent changer indépendamment les uns des autres. Par exemple, si on regarde l’ensemble des positions possibles de notre squelette, chaque articulation entre deux os contribue soit à un soit à deux degrés de liberté du squelette. En fait, une personne vivante a moins de degrés de liberté de mouvement à cause des ligaments qui contraignent ses mouvements. Ceci peut se vérifier facilement en faisant jouer nos phalanges.

D’un point de vue mathématique, l’ensemble des positions d’un mécanisme forme une variété [3], notion commentée dans mon billet « Variétés ». Cette notion est une vaste généralisation de celle d’espace tridimensionnel. Le nombre de degrés de liberté de ce mécanisme est alors la dimension de cette variété. En fait, en mathématiques, on abandonna l’expression « nombre de degrés de liberté » pour celle de « dimension ».

On a envie de dire que, plus la dimension de la variété représentant les positions ou les configurations possibles d’un mécanisme est grande, plus on est libre. Ce qui correspond à l’intuition que l’on est beaucoup plus libre lorsqu’on danse que lorsqu’on marche au pas cadencé lors d’un défilé militaire.

Dans cet exemple, les positions possibles lors d’un défilé militaire font partie des positions possibles pendant la danse. Mais pendant le défilé, la liberté de mouvement a été réduite en interdisant les mouvements au niveau de certaines articulations. Par exemple, il n’est en général pas permis de bouger les doigts pendant les défilés militaires. Ainsi, on impose que certains angles entre deux os au niveau d’une articulation demeurent égaux à une valeur fixe. Et voilà, on a un exemple de diminution des degrés de liberté en imposant des égalités !

Je pensai aussi à un exemple géométrique plus simple. Imaginons un plan fixé et considérons l’ensemble des cercles de ce plan. Il y a trois degrés de liberté disponibles pour choisir un tel cercle : deux pour en choisir le centre dans le plan, et un supplémentaire pour en choisir le rayon. Supposons que l’on n’aime pas qu’il y ait une telle liberté des tailles des cercles, et que l’on exige de ne s’intéresser qu’aux cercles de rayon fixé. Il ne reste que deux degrés de liberté !

La notion de dimension est en fait centrale en mathématique, et son analyse dépend beaucoup du contexte. Par exemple, les objets de la géométrie classique ont des dimensions entières, mais la géométrie fractale a dévoilé des objets de dimension non entière, même irrationnelle ! Comme il ne s’agit pas ici d’expliquer des mathématiques, mais seulement de proposer une piste de réflexion, je n’entrerai pas dans plus de détails. Je désire juste attirer l’attention de cette manière sur la grande subtilité du décompte des degrés de liberté.

N’est-ce qu’un jeu ?

Ce qui précède peut ressembler à un jeu. Pourtant cela me fit comprendre l’un des rôles de la modélisation mathématique. Celle-ci peut ainsi permettre d’analyser de manière dépassionnée certains concepts qui, dans la vie courante, sont chargés d’affectivité et de connotations morales. Il s’agit en l’occurence de ceux de liberté et d’égalité, fondamentaux en démocratie. On pourrait bien sûr rajouter celui de fraternité et réfléchir à leur sujet à une dynamique ou une géométrie à trois acteurs. Leur interaction est en fait très riche, et l’on ne peut pas augmenter simultanément les trois de manière simple. Il me semble très intéressant d’arriver à des modèles de cette interaction en fonction de certains paramètres externes représentant divers contextes politiques ou économiques.

Je ne prétends pas que les mathématiques pourraient par cette démarche résoudre des problèmes sociaux ou politiques. Mais seulement qu’elles aideraient à ne pas se laisser abuser par des slogans simplistes, en révélant la richesse et la complexité d’interaction des notions en jeu, et en suggérant de nouvelles voies d’action. De la même manière que les penseurs commencèrent à dévoiler petit à petit la complexité étonnante de la physique de la gravitation, en partant des expériences matérielles et de pensée très simplificatrices de Galilée sur la chute des corps (on pourra lire à ce sujet le billet « Galilée, mon contemporain », de Charles Boubel). L’analyse de ces interactions pourrait débuter par un examen des multiples sens des notions en jeu, comme l’a pratiqué pour l’égalité Étienne Ghys dans son article « Égalité », publié dans la même rubrique.

Retour au pamphlet

Pour finir, je voudrais dire quelques mots de plus sur le livre de Castillo. Le chapitre dont sont extraites les deux phrases citées précédemment me paraît central, dans la mesure où la réflexion sur la liberté des choix et l’égalité des chances est centrale dans toute réflexion sur les politiques d’éducation. Afin de mieux communiquer le style et l’esprit du livre, j’en propose un extrait un peu plus long :

La multiplication des opportunités nous donne plus de choix, par conséquent elle nous rend plus libres, mais en même temps plus inégaux, car certains profitent des possibilités et d’autres non. [...]

Jusqu’à quel point faut-il lutter pour l’égalité, et à partir duquel la liberté est-elle plus importante ? [...] il faut lutter avec ténacité contre toutes les inégalités qui proviennent d’une inégalité d’opportunités, mais il est important de respecter celles qui proviennent de la possibilité commune à tous les citoyens d’accepter ou de refuser les opportunités qui nous sont offertes.

Ceci nous mène à ce que l’éducation égalitaire telle qu’elle est comprise par le système actuel [...] est imposée au prix d’une liberté légitime : [...] la liberté de ceux qui désirent apprendre vraiment, et pas seulement se distraire, et la liberté de ceux qui désirent développer à fond leurs capacités intellectuelles. Et si tous ne sont pas disposés à se soumettre à cette discipline, il n’y a aucune raison pour en priver ceux qui le sont, pour la même raison que nous ne sommes pas tous disposés à faire de l’exercice physique et que ce n’est pourtant pas une raison pour supprimer les gymnases.

Mais il y a plus. Prétendre égaliser tout le monde en empêchant que les plus travailleurs et intelligents donnent d’eux-mêmes tout ce qu’ils peuvent pour que les moins intelligents et moins travailleurs ne se sentent pas marginalisés signifie commettre à leur égard une terrible injustice, mais de plus, nous qui sommes bêtes et feignants, nous sortons perdants. Mes capacités de travail sont modestes, mes lumières encore plus modestes. Les deux limitations m’empêchent d’être un ingénieur, mais la terrible frustration que ceci me produit ne peut pas me faire déplorer le haut niveau des écoles techniques, ni considérer qu’il s’agit d’une injustice commise à mon égard. Au contraire, je m’en réjouis, car grâce à cela je peux traverser un pont ou monter dans un avion avec une certaine tranquillité. Tranquillité que je n’aurais pas si, dans le but de ne pas créer d’inégalités, on conférait le titre d’ingénieur à des maladroits comme moi. [...]

Les lignes précédentes, parfois polémiques, comme il se doit dans un pamphlet qui se respecte, nous montrent la similitude de certains problèmes de l’enseignement public en Espagne et en France. Plus précisément, je pense au mouvement d’appauvrissement des contenus de l’enseignement au nom du fait qu’ils seraient trop difficiles pour le grand nombre. En ne remarquant pas que, si on élimine progressivement les barreaux d’une échelle au nom du fait qu’ils seraient trop nombreux, il devient de plus en plus difficile d’y monter. Et que, si on représente une image avec trop peu de pixels, on a de plus en plus de mal à la comprendre dans son ensemble.

Dans la suite de son livre, Moreno Castillo analyse et dénonce ce type d’argumentation, en montrant que ce sont en fait les personnes de milieux non intellectuels qui se retrouvent les plus défavorisées par l’appauvrissement de l’enseignement, car pour elles, l’école est souvent l’unique source de structures intellectuelles, leur permettant d’oser comprendre, imaginer et innover. On se retrouve loin de l’égalité des chances, au nom de laquelle les réformes simplificatrices sont faites le plus souvent. Pourtant, des enfants ayant un sérieux potentiel de création se rencontrent partout. Que le programme soit trop pauvre pour parler aux imaginations riches, que ces enfants se retrouvent dans des milieux qui méprisent toute préoccupation intellectuelle, et ce potentiel ne se développera pas. Quel gâchis ! Ainsi, l’égalité des chances ne prend sens qu’avec une certaine qualité des programmes et le maintien de l’autorité des enseignants.

Bien sûr, trouver dans ce contexte le bon équilibre entre égalité et liberté est difficile, en raison des passions déchaînées par l’éducation des enfants et des références morales de chacun. Pour cette raison, je trouve intéressant de pouvoir comparer de manière détaillée les politiques d’éducation, les problèmes à surmonter, les succès et les erreurs commises à ce sujet dans divers pays. Le livre à partir duquel j’ai écrit ces lignes m’a paru instructif dans cette perspective.

Je remercie par avance ceux des lecteurs qui, dans leurs commentaires, indiqueront des références traitant de ces problèmes dans d’autres pays.