20 octobre 2009

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Egalité

Étienne Ghys

Directeur de recherche CNRS, École Normale Supérieure de Lyon (page web)

Les cas d’égalité des triangles.

$ 3+2=1+4. $

Un parallélogramme est partagé par sa diagonale en deux triangles égaux.

Les hommes naissent et demeurent libres et égaux...

$ (a+b)^2= a^2+2ab+b^2. $

Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des autres côtés.

Couper un gâteau en parties égales.

L’égalité hommes-femmes.

Quel est le sens de ce petit mot anodin « égalité », de ce signe $=$ que nous manions depuis l’école primaire ?

Ou plutôt, quels sont ses sens ?

La première idée est de consulter un dictionnaire. Celui de l’Académie commence par :

★ I. Qualité de ce qui est égal. [...]

Ah ! Ca commence bien...

Il nous faut donc consulter l’adjectif « égal » :

★ I. Adj. 

★ A. Semblable soit en nombre, en quantité, soit en nature, en qualité. 

☆ 1. Semblable en nombre, en quantité, en dimension. [...]

GÉOM. Figures égales, figures qu’on peut faire coïncider exactement, superposables. 

☆ 2. Semblable en nature, en qualité, en intensité, en valeur. [...]
DROIT. En parlant des personnes. Dont les droits et les devoirs civiques sont les mêmes. [...]

☆ 3. Par ext. Qui n’établit pas de différence, d’inégalité entre les personnes ou les choses. [...]

★ B. Semblable à lui-même, qui est toujours le même, qui ne présente pas d’inégalités. [...]

★ II. N. Personne qui a le même mérite, les mêmes droits, le même rang social qu’une ou plusieurs autres. [...]

C’est mieux. Lorsqu’on consulte un dictionnaire, on est bien sûr amené à utiliser d’autres mots.
On voit ici que l’Académie utilise les mots « semblable », « superposable », « coïncider », « même » etc.
Chacun d’entre eux est à son tour défini dans le dictionnaire, en utilisant d’autres mots, qui eux-mêmes sont définis par d’autres...
Comme les dictionnaires ne contiennent qu’un nombre fini de mots, il n’y a que deux solutions : 

  • ou bien, en suivant la chaîne des définitions, on retrouve un mot qu’on a déjà consulté,
  • ou bien certains mots ne sont pas définis dans le dictionnaire.

La première solution est largement utilisée par les dictionnaires. Souvent ce n’est pas vraiment un problème.

Les mathématiciens aiment la précision : ils ont opté pour la seconde solution. Un certain nombre de symboles primitifs ne sont pas définis : ils servent de briques de base à la construction de théorie. C’est le cas du symbole $=$.
Il va donc falloir comprendre le « sens » du mot égal à travers des situations où il intervient, faire émerger ce sens.

Voici par exemple les premières lignes du premier volume des "Eléments de
Mathématiques
" de Bourbaki, vaste traité dont le but est de présenter les mathématiques de manière systématique,
en commençant au début. Alors, voici justement ce début passablement indigeste :

§1. TERMES ET RELATIONS

1. Signes et assemblages

Les signes d’une théorie mathématique ${\cal T}$ sont les suivants :

1° Les signes logiques : $\square$, $\tau$, $\wedge$, $\neg$.

2° Les lettres.

Nous entendons par là les lettres majuscules et minuscules latines, affectées d’accents. Ainsi, $A,A',A'',A''', ...$, sont des lettres. A tout endroit du texte, il est possible d’introduite des lettres autres que celles qui figuraient dans les raisonnements antérieurs.

3° Les signes spécifiques, qui dépendent de la théorie considérée.

En théorie des Ensembles, nous n’utiliserons que les deux signes spécifiques : $=$, $\in$.

etc.

Ainsi donc, dans ce traité célèbre, l’auteur, Bourbaki, a décidé de ne pas tenter de définir le symbole $=$ : c’est un signe spécifique, voilà tout. Nous voilà bien avancés ! Je suis sûr que le plupart des lecteurs préfèrent encore les définitions du dictionnaire qui se mordent la queue : au moins, on les comprend...

Restons dans le domaine des mathématiques et examinons quelques exemples. Jadis on disait que deux triangles sont égaux si en reproduisant l’un sur un papier calque puis en déplaçant le papier calque, on pouvait le faire coïncider avec le second. Voici par exemple ce qu’on trouve à la page 3 d’un livre célèbre de géométrie élémentaire par Hadamard publié en 1898.

3. Figures égales.— Une figure quelconque peut être transformée dans une infinité de façons dans l’espace sans déformation, comme cela a lieu pour les corps solides usuels. 

On nomme FIGURES ÉGALES deux figures que l’on peut transporter l’une sur l’autre, de manière à les faire coïncider exactement dans toutes leurs parties ; en un mot, deux figures sont égales sont une seule et même figure, en deux places différentes.

On comprend ce que cela veut dire mais des difficultés sérieuses se présentent. Ainsi, il n’y aurait qu’un seul et unique carré d’un mètre de côté, et cet unique carré « abstrait » viendrait « s’incarner » par-ci par-là dans des positions différentes. Un peu comme si le carré était un individu qui se déplace ? Mais que veut dire « se déplacer sans déformation » ?

 Henri Poincaré ne s’était pas privé de critiquer ce genre de définitions dans La Science et l’Hypothèse :

« En fait, cette définition ne définit rien ; elle n’aurait aucun sens pour un être qui habiterait un monde où il n’y aurait que des fluides. Si elle nous semble claire, c’est que nous sommes habitués aux propriétés des solides naturels qui ne diffèrent pas beaucoup de celle des solides idéaux dont toutes les dimensions sont invariables ».


Si on pousse cette définition un peu loin, on peut dire que tous les points sont égaux car je peux évidemment faire coïncider deux points quelconques en déplaçant l’un sur l’autre. Tous les points égaux ? Je ne pense pas que cette assertion aurait fait la joie de mes professeurs de maths en collège. D’ailleurs, c’est pour cette raison que la terminologie « triangles égaux » — qui était bien pratique pourtant — a été bannie de nos écoles. Le prix à payer est lourd puisqu’il a fallu introduire des mots nouveaux qui ne font pas partie du vocabulaire des élèves ; on dit parfois que deux triangles sont « isométriques » ou encore « congruents » et on réserve le mot « égal » pour une situation caricaturale dans laquelle les triangles sont exactement les mêmes. On y gagne en précision, mais on y perd en compréhension. Qui va demander à ses parents de bien couper le gâteau d’anniversaire en parts isométriques ? A l’extérieur de l’école et du cours de maths, le mot « égal » reprend sa place, car on le comprend bien — il n’a pas d’ambiguïté — et c’est bien là tout ce qu’on demande à un mot.

Un autre exemple : lorsque j’écris $3+2=1+1+3$, est-ce que je veux dire que $3+2$ c’est la même chose que $1+1+3$ ? Pas vraiment car pour écrire $3+2$, je tape trois fois sur mon clavier alors que je dois taper cinq fois pour écrire $1+1+3$. Ce qu’on veut dire par cette égalité, c’est que les deux « choses » sont égales au même nombre $5$. Un peu comme notre unique carré qui s’incarnerait par-ci par-là en divers carrés, le nombre $5$ apparaîtrait sous divers déguisements ; $3+2$, $2+2+1$, « Cinq », « Five », « Cinco » etc. Alors, faudrait-il inventer un nouveau mot, comme l’éducation nationale l’a fait pour les triangles ? Je vous entends déjà protester si on interdisait de dire que « Deux plus trois égale quatre plus un » !

Nous voilà donc dans une situation dans laquelle nous avons envie d’utiliser le même mot « égal » dans un grand nombre de contextes différents, quitte à se permettre des abus de langage. Il faut pour cela suivre le conseil de Henri Poincaré.


« Faire des mathématiques, c’est donner le même nom à des choses différentes »


Ce qu’il entend par là, c’est que la force des mathématiques est de déceler des situations qui n’ont a priori rien à voir mais qui fonctionnent de la même façon au fond des choses. Extraire un fonctionnement commun et lui donner un nom, c’est un grand pas dans la compréhension. La force de presque tous les grands concepts mathématiques est de s’interpréter un peu partout. Un seul exemple : nous utilisons les mêmes nombres pour compter des moutons, des carottes, notre âge, notre poids, le nombre d’électrons dans l’univers etc. Ce n’était pas évident du tout. Certaines langues utilisent des nombres différents suivant les contextes. C’est ce type d’abstraction qui a mené à l’arithmétique et ses quatre opérations : j’utilise le même mot « plus » lorsque j’ajoute deux superficies ou deux poids et pourtant il s’agit d’opérations différentes.

Revenons au mot « égal ». Il y a fort longtemps que les mathématiciens, les logiciens, et les philosophes ont réfléchi et on extrait du mot « égal » les propriétés qui le caractérisent.

  • Toute « chose » est égale à elle-même.
  • Si une « chose » est égale à une autre, cette dernière est aussi égale à la première.
  • Deux « choses » égales à une même troisième sont égales entre elles.

Avons-nous progressé ? Oui ! Lorsque ces trois propriétés sont satisfaites, on parle de relation d’équivalence et on s’autorise à employer le mot « égal ». Cela permet de classer en regroupant les « grandeurs » par « paquets » de choses égales qu’on appelle souvent des « classes ».

Voici d’abord un exemple simpliste. La figure suivante représente un ensemble d’objets qui ont chacun une forme, une couleur et un numéro. Supposons par exemple que je ne m’intéresse qu’à la forme et que je considère comme « égaux » deux objets qui ont la même forme. Les trois propriétés ci-dessus sont satisfaites bien sûr et j’ai dessiné les paquets : il y a le paquet des triangles, des carrés et des disques. Mais bien sûr, si j’avais préféré utiliser un autre critère, comme la couleur par exemple, pour définir l’égalité, eh bien, il y aurait le paquet des rouges et le paquet des bleus.

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En quelque sorte on part d’un ensemble riche, décrit par de nombreux paramètres et on en « oublie » pour ne retenir que certains critères :

  • Deux salariés ne sont pas identiques en tant qu’êtres humains, mais leurs salaires peuvent être identiques,
  • Deux personnes ayant même poids n’ont pas pour autant les mêmes couleurs d’yeux, de cheveux etc.
  • Deux triangles « superposables par un déplacement du plan » ne sont pas nécessairement les mêmes. Les « cas d’égalité des triangles » permettent de déterminer si deux triangles sont « égaux » dans ce sens.
  • Deux français peuvent avoir les mêmes trois premiers chiffres dans leur numéro de sécurité sociale (c’est-à-dire, même sexe et même année de naissance).

Les mathématiciens appellent cet oubli, une projection : on projette l’ensemble des salariés sur l’ensemble des salaires en associant à chaque personne son salaire.

Pourquoi le mot « égal » n’est-il pas encore plus courant en mathématiques ? Tout simplement parce que dans de nombreuses situations, on dispose de plusieurs relations d’équivalence sur le même ensemble, et il y aurait risque de confusion à les appeler toutes « égal ». On assiste donc à une floraison de mots aussi barbares les uns que les autres : congruent, isomorphe, homéomorphe, conforme, biholomorphe, difféomorphe, quasiconforme, équipotent, etc. etc. Pour des professionnels, cette abondance de terminologie est utile mais dans la vie de tous les jours, il est préférable de demander de couper le gâteau en parts égales...

Une égalité ne peut se concevoir qu’en prenant clairement conscience de cette projection. Souvent, elle est implicite et il est inutile de la préciser mais parfois il est très important de l’expliciter. La déclaration des droits de l’homme et du citoyen, en 1789, commence par :


Article premier - Les hommes naissent et demeurent libres et égaux en droits.[...]

Les révolutionnaires avaient les idées claires... Jamais ils n’ont prétendu que tous les hommes sont identiques ! Ils ont affirmé qu’ils sont égaux en droit, autrement dit, ils précisent ce qu’il faut entendre par ce terme : le droit est le même pour tous. Auparavant, les classes de la relation « avoir les mêmes droits » étaient nombreuses (le clergé, la noblesse et le tiers-état n’étaient pas régis par les mêmes lois). La déclaration affirme qu’il n’y en a plus qu’une... Il faut lire que deux hommes sont égaux s’ils sont astreints aux mêmes lois. Il ne s’agit pas d’une égalité stricte !

Finalement, les dictionnaires ne sont pas mauvais et il ne faut pas s’inquiéter si on trouve beaucoup de définitions pour le mot « égal ». Tant qu’il s’agit d’une relation d’équivalence et qu’on a bien expliqué la définition dans chaque cas particulier, il n’y a pas grand risque à utiliser un même mot pour des choses différentes, au contraire !

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Pour citer cet article : Étienne Ghys, « Egalité »Images des Mathématiques, CNRS, 2009.

En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Egalite.html

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