El Yin y el Yang

Piste verte Le 4 mars 2011  - Ecrit par  Serge Cantat
Le 21 février 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Le Yin et le Yang Voir les commentaires
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¿Cuál es la forma exacta de la curva que separa el Yin del Yang ?
Tres matemáticos se volcaron recientemente al problema.

La dualidad y la complementariedad del Yin y del Yang están simbolizadas por una famosa figura, el Taijitu, que se parece a la del siguiente bosquejo.

El Tajitu.

El contorno es una circunferencia, y los dos pequeños islotes están también representados por circunferencias. Pero, ¿cuál es la forma exacta de la curva $F$ que separa el Yin -oscura, en azul en la figura anterior- del Yang -clara, en amarillo- ? En un reciente artículo pequeño, los tres matemáticos Taras Banakh, Oleg Verbitsky y Yaroslav Vorobets proponen definir $F$ con ayuda de la espiral de Fermat [1].

La curva entre el Yin y el Yang.

La espiral de Fermat

La espiral de Fermat es una curva $S$ que está trazada en el plano. No está confinada en un círculo, como la curva $F$ que buscamos precisar, sino que se extiende indefinidamente. Antes de describirla, tracemos algunos pedazos de ella. Las cuatro figuras siguientes representan la porción de $S$ situada en un disco cuyo radio es cada vez más grande.

Espiral de Fermat.

Imaginemos ahora que un pequeña hormiga $f$, situada inicialmente en el origen $o$ del plano (el punto rojo de la figura siguiente) se pone a caminar a lo largo de la espiral $S$ alejándose constantemente del punto $o$. La hormiga va, por lo tanto, a describir una de las dos porciones de la espiral. Para describir $S$, debemos caracterizar el movimiento de la hormiga a lo largo de su trayectoria (’’trajectoire’’).

La caminata de la hormiga de Fermat.

Escribamos $f$ la posición de la hormiga, $r$ su distancia (’’distance’’) al origen y $ang$ el ángulo que hace la recta (’’droite’’), que denotamos $(of)$, con la dirección de inicio (’’direction de départ’’) de la hormiga. Como se ve en la figura, el ángulo no deja de crecer, a medida que la hormiga se aleja. Durante el movimiento, la recta $(of)$ gira en el sentido inverso de las agujas del reloj hasta hacer uno, luego dos, luego tres vueltas completas, y continúa así indefinidamente. Para tomar en cuenta esta rotación ininterrumpida, el ángulo $ang$ será elegido creciente : después de una vuelta completa, cuando $ang$ pase el valor $2\pi$, los siguientes ángulos estarán comprendidos entre $2\pi$ y $4\pi$. De este modo, cuando $(of)$ cruza la dirección inicial de partida, uno no reajusta el ángulo a cero. Así, después de $n$ vueltas completas, el ángulo está comprendido entre $2n\pi$ y $2n\pi+2\pi$ .

Decir que la curva descrita por la hormiga es una espiral de Fermat equivale a escribir la siguiente relación entre el ángulo y la distancia al origen :
\[ ang = \pi r^2. \]
La segunda mitad de la curva está dada por la relación
\[ ang = \pi r^2 + \pi. \]
Esas ecuaciones definen la espiral de Fermat $S$.

Podemos ahora utilizar esta fórmula para ilustrar un fenómeno evidente sobre las figuras anteriores. Si la hormiga $f$, situada a una distancia $r$ de $o$, quiere acortar esta distancia en $d$, es necesario que gire en un ángulo
\[ {\text{variación de }} ang= \pi (r+d)^2-\pi r^2=2\pi rd+\pi d^2. \]
Por ejemplo, cuando $r=1$ y $d=1$, el ángulo varía $3\pi$, cuando $r=10$ y $d=1$ varía $21\pi$, cuando $r=50$ y $d=1$, la variación es igual a $101\pi$, es decir, cincuenta vueltas y media. Esto concuerda con el hecho de que los enrrollamientos de la espiral $S$ son cada vez más cercanos a medida que uno se aleja del origen.

Las banderas coreanas

La bandera actual de Corea del Sur está constituida por un Taijitu central rodeado por cuatro trigramas.

Actual bandera de Corea del Sur.

La curva de separación $F$ elegida por Corea del Sur está constituida por dos semicircunferencias de tamaño igual a la mitad de la del disco principal. En particular, ellas son tangentes al contorno circular. Sin embargo, las banderas coreanas más antiguas muestran figuras más originales que, de manera sorprendente, hacen aparecer porciones de la espiral de Fermat. Los siguientes ejemplos representan tres de esas banderas, las dos de la izquierda con una espiral [2].

Antiguas banderas coreanas.

La adecuación de las banderas con la espiral de Fermat es sobrecogedora, como lo muestra la figura que sigue, sacada del artículo de Banakh, Verbitsky y Vorobets.

Espiral de Fermat en las banderas coreanas.

Las elecciones coreanas, por lo tanto, han variado con el tiempo : las más antiguas utilizan porciones variables de la curva $S$. Banakh, Verbitsky y Vorobets proponen entonces definir la curva $F$ que separa al Yin del Yang como siendo la intersección de la espiral de Fermat $S$ con el disco de radio $1$. Esta elección se hace para que cada radio del disco corte a la curva $F$ en un único punto.

Simetría respecto a una recta.

Simetrías mínimas

¿Pero por qué diantre a tres matemáticos se les metió en la cabeza proponer de este modo en 2010 una elección definitiva para la curva que separa el Yin del Yang ? La razón reside en una propiedad particular de la espiral de Fermat, la cual se refiere a las áreas de las regiones clara y oscura que representan el Yin y el Yang, tal como explicaremos ahora.

Denotemos $D$ el disco de radio $1$ en el cual está trazado el Taijitu.
Escribamos $Área(D)$ para denotar el área de este disco, que no es otra que $\pi$. Por simetría, el área de cada una de las dos regiones es igual a $Área(D)/2$.

Consideremos ahora cualquier porción $R$ de $D$ y denotemos $Área(R)$ su área. Sea $L$ una recta que pasa por el centro del disco. Escribamos $R'$ la región simétrica de $R$ en relación a $L$. El conjunto de los puntos que están a la vez en $R$ y en $R'$ es la parte más grande de $R$ que es simétrica en relación a la recta $L$. Este conjunto es la intersección de $R$ y de $R'$, y se escribe $R\cap R'$.

Simetría respecto a una recta.

Cuando el eje de simetría $L$ gira, la región $R'$ varía y la zona simétrica $R\cap R'$ cambia. Por ejemplo, cuando $R$ es un semidisco, se puede encontrar una recta $L$ para la cual $R=R'$, y en este caso el área de $R\cap R'$ es igual a $Área(R)$. Sin embargo, también se puede encontrar otra recta para la cual $R\cap R'$ es de área nula.

Parte simétrica.

En cada una de las dos figuras, la recta $L$ hace de línea mixta : la región $R$ está pintada celeste, su simétrica $R'$ rosada, y la intersección $R\cap R'$ violeta.

Banakh, Verbitsky y Vorobets se interesan en el área de la parte simétrica $R\cap R'$ y en sus variaciones cuando $L$ gira. Ellos demuestran la siguiente propiedad :

Existe al menos una recta $L$ que pasa por el centro de $D$ tal que el área de $R\cap R'$ sea mayor o igual que
\[\frac{(Área(R))^2 }{Área(D)}.\]

Podemos reescribir esta desigualdad de la siguiente forma :

\[ \frac{Área(R\cap R')}{Área(R)}\geq \frac{Área(R)}{Área(D)}. \]

El teorema anterior muestra, por lo tanto, que toda región $R$ del disco contiene una parte simétrica que ocupa una porción de $R$ superior o igual a la proporción de $R$ en $D$. De este modo, cuando $Área(R)=\frac{1}{2}Área(D)$, la región $R$ contiene una parte simétrica de área al menos $\frac{1}{4} Área(D)$.

No vamos a demostrar ese resultado [3]. Insistimos solo en el hecho de que la afirmación no depende de la forma de $R$ : la existencia de al menos una recta tal $L$ está siempre asegurada.

Podemos ahora enunciar la propiedad de la espiral de Fermat :

Tomemos $R$ como una de las dos regiones delimitadas por la espiral de Fermat en el disco $D$ (la misma propiedad se aplicará a la otra región). Entonces :

  • obviamente, $Área(R)=\frac{1}{2}Área(D)$ ;
  • sin embargo, cualquiera que sea la recta $L$ que pasa por el centro de $D$, el simétrico $R'$ de $R$ en relación a $L$ encuentra a $R$ sólo sobre una parte de área inferior o igual a $Área(D)/4$.

Ya que el teorema de Banakh, Verbitsky y Vorobets nos dice que hay al menos una recta para la cual la cantidad $Área(D)/4$ se logra, lo anterior nos asegura que este valor es óptimo.

Por lo tanto, no se puede encontrar una parte menos simétrica que la parte $R$. En otras palabras, definiendo la curva $F$ con la espiral de Fermat, el Yin y el Yang resultan ser lo menos simétricos posible : la elección propuesta por Banakh, Verbitsky y Vorobets minimiza las partes del Yin y las del Yang que son simétricas en relación a una recta.

No sé cuál es el significado filosófico de semejante elección. Tampoco sé si quienes concibieron antiguas banderas coreanas se habían dado cuenta de esta propiedad, o si otra idea dictaba su elección.

Post-scriptum :

La redacción de Paisajes Matemáticos, así como el autor, agradecen por su atenta relectura a los relectores cuyos seudónimos son : Rémi Coulon, Damien Gaboriau, Nicky Sonigo y B0rel.

Notes

[1Vea aquí o aquí para conocer algunos complementos acerca de la espiral de Fermat

[2De hecho, parece que hubiera dudas acerca del origen de esas tres banderas. Vea aquí.

[3El lector puede consultar el artículo de Banakh, Verbitsky y Vorobets. Este artículo fue publicado en la revista American Mathematical Monthly en noviembre de 2010.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «El Yin y el Yang» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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