El árbol pitagórico en clases

Piste bleue Le 14 octobre 2013  - Ecrit par  Catherine Combelles
Le 11 septembre 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : L’arbre pythagoricien en classe Voir les commentaires
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El equipo de la sección ’’Recursos pedagógicos’’

Los artículos de Paisajes Matemáticos son interesantes para el profesor de secundaria, pero hay una gran diferencia entre un artículo de divulgación -incluso simple- y una actividad para la clase. El profesor siempre necesita temas interesantes, pero está sometido a numerosas obligaciones : el programa, el nivel de la clase, la cantidad de alumnos, el tiempo del que dispone. Además, toda actividad está al servicio de uno o muchos objetivos bien precisos : introducir una noción, evaluar, hacer trabajar la lectura, la redacción, el cálculo, la matematización de una situación, etc.

Esta nueva sección, bastante diferente de otras secciones centradas en investigación, pretende enfrentarse a esta tarea, y para ello propone ejemplos de actividades para la clase construídas a partir de algunos artículos de este sitio.

¡Bienvenidos sus comentarios constructivos !

El árbol pitagórico del artículo de Étienne Ghys y Jos Leys nos sumerge en el mundo de las sucesiones geométricas. En Francia, este tema es abordado en el segundo de los tres años liceo (la ’’classe de première’’) y sirve como entrada en materia al mundo mucho más vasto de las sucesiones. Acompaña los primeros grandes descubrimientos de los alumnos : descubrimiento de lo ’’infinito’’, de la noción de límite, del uso del razonamiento por recurrencia. Es en ese contexto donde los alumnos descubren, por ejemplo, que una suma infinita puede ser finita, y que las antiguas paradojas de Zenón son aún hoy en día una fuente segura de asombro extremadamente fecundo.

Este árbol muestra un dibujo, y este dibujo cuestiona inmediatamente de la misma manera que lo hacen las pruebas ’’a la mano’’. Ofrece una situación rica y motivadora. Citemos otras : la curva de von Koch y el triángulo de Sierpinski han llegado a ser clásicos (¿cuáles son el perímetro y el área en la etapa $n$ ?).

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La curva de von Koch
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El triángulo de Sierpinski

De esto, una versión en geometría interactiva está disponible aquí.

El documento de acompañamiento de los programas educativos de Francia del año 2001 (la institución a veces es olvidadiza) propone varias otras :

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Toda actividad de ese tipo comienza por un momento en el cual los alumnos se apropian del objeto : se dibuja a mano algunas etapas para comprender la forma de construcción. ¿Qué hacer enseguida ? Todo depende de lo que quiera hacer el profesor, y el punto esencial que va a guiar la actividad de los alumnos es entonces la pregunta planteada. Se podría no plantear ninguna, y se tendría un problema abierto, que puede conducir a todo... o a nada. Se puede, al revés, dividir en múltiples etapas el avance hacia el objetivo, pero los alumnos corren el riesgo de aburrirse. La solución depende también de obligaciones prácticas : ¿cuánto tiempo disponible hay ?, ¿están motivados los alumnos y tienen suficiente confianza en sí mismos como para buscar con autonomía ?, ¿son demasiados estudiantes como para que el profesor asegure un seguimiento individual de las búsquedas ?, ¿se puede contar con progresos interesantes ? La experiencia muestra que ese tipo de situación motiva a los alumnos y que las ideas, en general, ¡no faltan !

Volvamos al árbol pitagórico. Elegimos aquí como objetivo encontrar fórmulas dando el término general y la suma de los n primeros términos de una sucesión geométrica. Ese puede ser también el momento para introducir el vocabulario de las sucesiones : sucesión creciente (el número de cuadrados de cada dibujo), sucesión decreciente (el área de cuadrados agregados en cada etapa sin considerar el recubrimiento), sucesión acotada (la ’’altura’’ del árbol). Aquí el árbol pitagórico será entonces una actividad de descubrimiento para introducir las sucesiones en el curso.

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Segunda etapa del árbol pitagórico.

En una clase activa y motivada, uno puede permitirse plantear una pregunta un poco ’’lejana’’. Aquí podría ser, después del dibujo de la etapa 2 : si se continúa, ¿el dibujo va a salirse necesariamente de la hoja ? En una clase más difícil, la pregunta tiene el riesgo de frustrar, y el cuestionamiento debe aparecer más abordable para que tenga una oportunidad de motivar a los alumnos. Un diálogo dentro de la clase puede ayudar a afinar el análisis del dibujo de esta etapa 2 : hay cuadrados de diferentes tamaños, ¿cuántos cuadrados en total ?, ¿cuántas clases de cuadrados ?, ¿cuántos de cada tamaño ?, ¿de qué tamaños, si se comienza con un cuadrado de lado 1 ? (El Menón no está muy lejano, por supuesto... ¡Ésta puede ser una oportunidad para evocarlo, si las circunstancias se prestan !) El cuestionamiento podría entonces comenzar por : responder a estas preguntas en la etapa 20 y luego en la etapa n. La hoja de cálculo tiene aquí gran utilidad : el número de cuadrados de cada tipo da la sucesión de potencias de 2 y el número total de cuadrados es la ocasión para abordar la suma de potencias. El interés de la hoja de cálculo es hacer aparecer una fórmula : habrá siempre en la clase un alumno observador que remarque que el número de cuadrados en la etapa n es igual al número de cuadrados nuevos en la etapa n+1, menos 1. Así, se aprecia sin dificultad que
\[1+2+2^2+2^3+?+2^n= 2^{n+1}-1.\]
Uno puede probarlo por inducción. Se puede enseguida calcular y simplificar el producto $(1+a+a^2+a^3+...+a^n)(a-1)$ para obtener una fórmula más general. Ahora se podrá llevar el interés al tamaño de los cuadrados. ¡Eso no será tan fácil ! Pero con la ayuda de los recuerdos del colegio, los alumnos terminarán por calcular las lados de los primeros cuadrados, después el del vigésimo, y luego el del n-ésimo. Es el momento de hacer aparecer una segunda sucesión geométrica, que es decreciente. ¿Por qué decreciente ? Porque su razón está comprendida entre $0$ y $1$. Ahora se puede responder a la primera pregunta del artículo (eludiendo o no el recubrimiento de los cuadrados a partir de un cierto rango) : ’’muestre que en cada etapa de la construcción, el área del árbol aumenta en una cantidad igual al área del cuadrado inicial’’. ¡No queda más que juntar los pedazos para organizar las nociones evocadas !

Post-scriptum :
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La redacción de Images des maths, así como el autor, agradecen por su atenta relectura y sus comentarios a Henri Lemberg, Sylvain Barré y a Jean Lefort.

Article original édité par Christian Mercat

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «El árbol pitagórico en clases» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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