El collar de Antoine

¿Monstruo o joya ?

Piste bleue Le 4 janvier 2009  - Ecrit par  Arnaud Chéritat
Le 10 février 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Le collier d’Antoine Voir les commentaires
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Contraejemplo en topología por varias razones, el collar de Antoine es también un bello ejemplo de objeto fractal.

He aquí el collar de Antoine, objeto matemático inventado por Louis Antoine en 1921.

¿Qué se ve ?

Un anillo,

que consiste en una cadena,

cuyos eslabones son ellos mismo cadenas,

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y así sucesivamente... Si uno continúa el proceso indefinidamente, queda algo : un objeto matemático, infinitamente finito, infinitamente detallado, un fractal, el collar de Antoine. O, más bien, un collar de Antoine, ya que hay infinitas variaciones posibles.

Note que, contrariamente a lo que nuestros ojos nos incitan a creer, este objeto no contiene ninguna curva, ni siquiera fractal. En realidad sus componentes conexos son puntos .

¿Por qué es interesante ?

Porque es un ejemplo de una polvareda de Cantor que está situado en el espacio de manera enlazada .

El arquetipo de la polvareda de Cantor es el conjunto triádico de Cantor, construido de la manera siguiente : se parte de un segmento, se le recorta en tres partes iguales y se retira el tercio del medio ; se recomienza con los dos segmentos restantes ; y así sucesivamente... Lo que queda es la polvareda de Cantor. Contiene, por ejemplo, todos los extremos de los segmentos que han sido retirados, aunque en realidad posee muchos más puntos que esto.

Una polvareda de Cantor (o conjunto de Cantor) es un subconjunto (del espacio, del plano, de una línea, etc.) que se le parece, en el sentido que se le puede colocar en correspondencia con el conjunto triádico de Cantor por medio de una correspondencia que no lo desgarra ni tampoco lo repega [1].

Se puede caracterizar matemáticamente una polvareda de Cantor : es un conjunto sin punto aislado y cuyas componentes conexas son puntos [2].

Dos polvaredas de Cantor en el plano están colocadas de la misma manera : se puede deformar el plano de manera de transformar los dos conjuntos en superponibles [3]. Esto está ilustrado por las figuras de abajo : un conjunto de Cantor es siempre intersección de discos o de discos deformados -más condiciones técnicas- que uno puede poner en correspondencia.

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En el espacio esto deja de ser verdad : como contraejemplo, uno no puede deformar el espacio de manera de superponer un collar de Antoine y el conjunto triádico de Cantor. Una forma de demostrarlo es probar que existe un bucle que no se puede separar del collar, ni siquiera deformándolo, como en la imagen de abajo.

Un tal bucle no existe para el conjunto triádico [4].

El collar de Antoine es siempre una fuente de inspiración para la investigación contemporánea : vea la bibliografía al final del artículo. Para otro objeto fractal en el cual la topología hace reflexionar, vea la curva de Menger.

Suplementos

Zip - 768 octets
Antoine.pov
Code source POV-Ray de l’image du Collier d’Antoine.

Aspectos técnicos :

Imágenes realizadas con el programa POV-Ray, por el autor. El código fuente es descargable vía vínculo situado a la derecha.


Binary Data - 3.7 ko
Antoine.pov
Une autre version, par Alain Esculier.

Luego de la publicación de este artículo, Alain Esculier nos ha transmitido la versión de aquí enfrente.


La vida de Louis Antoine :

En el sitio de Espace des sciences

En Wikipedia (en francés)


Bibliografía

El artículo original (descargable desde gallica-math) :

Louis Antoine Sur l’homeomorphisme de deux figures et leurs voisinages . Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 4 (1921) pp. 221-325.

Para profundizar :

Beverly L. Brechner, John C. Mayer Antoine’s necklace or How to keep a necklace from falling apart . The College Mathematics Journal 19 (1988), no. 4, pp. 306—320.

Horst Ibisch L’œuvre mathématique de Louis Antoine et son influence . Expositiones Mathematicae 9 (1991), no. 3, pp. 251—274.

Ejemplos de investigación contemporánea :

Sylvain Crovisier, Michaƚ Rams IFS attractors and Cantor sets .
Topology and its Applications 153 (2006), no. 11, pp. 1849—1859.

William Basener Exceptional Sets and Antoine’s Necklace . Prépublication.

Matthew Grayson, Charles Pugh Critical sets in 3-space Publications mathématiques de l’IHÉS No. 77 (1993), pp. 5—61.

Article original édité par Étienne Ghys

Notes

[1La noción rigurosa correspondiente es la de homeomorfismo, esto es, de biyección que es continua y cuya inversa también lo es.

[2Con otras condiciones técnicas : no vacío, y compacto (es decir, cerrado y acotado si uno está en el espacio o en el plano, por ejemplo).

[3Existe un homeomorfismo $\phi$ del plano tal que $\phi(K_1)=K_2$ donde $K_1$ y $K_2$ son las dos polvaredas de Cantor.

[4ya que el complementario, en el espacio en tres dimensiones, del conjunto triádico de Cantor es simplemente conexo.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «El collar de Antoine» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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