El conjunto de Mandelbrot

Director de orquesta

Piste verte Le 4 novembre 2010  - Ecrit par  Arnaud Chéritat
Le 25 avril 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : L’ensemble de Mandelbrot Voir les commentaires
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Ícono absoluto de los fractales, el conjunto de Mandelbrot impresiona al ojo y la imaginación. Pero, ¿qué es exactamente ?

Digamos, para comenzar suavemente, que es un dibujo.
Un hermoso dibujo generado por un programa.
Y ese programa es muy simple.

Dibujos generados por computador hay un montón. Entonces, ¿qué tiene éste de particular ?

Yo no sabría señalar la causa de su éxito. Igual voy a presentárselo, para que usted juzgue.

Múltiples representaciones del mismo objeto

Primero, el conjunto de Mandelbrot es un sub-conjunto del plano, es decir, una colección de puntos. Esta contiene áreas, pero también curvas lisas, filamentos, puntos de los que emanan múltiples ramas, y otras cosas.

Si uno quiere representarlo de manera simple, en negro sobre fondo blanco, esto es lo que resulta :

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El conjunto de Mandelbrot, ’’en bruto’’.

Este es el tipo de imágenes que uno puede encontrar en Internet :

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Tres ejemplos de representación del conjunto de Mandelbrot.
Las imágenes muestras los detalles del conjunto puestas en relieve de distintas maneras, tanto en el sentido intrínseco como figurativo. e, mis en relief de diverses façon, au sens propre comme au sens figuré. De izquierda a derecha, los créditos van para Wolfgang Beyer, Jos Leys y Aexion.

He aquí representaciones más fantasiosas :

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Vistas originales sobre el conjunto de Mandelbrot.
Copyright, de izquierda a derecha : Arenamontanus, Paul Nylander, da_duke (dbki), Melinda Green.

Uno parece sentir como una preferencia hacia los tonos azules.

Todas estas imágenes están calculadas. Algunas son concebidas para representar diferentes informaciones sobre el fenómeno matemático en juego (carácter científico). Otras buscan el esteticismo (carácter artístico) por una elección de fórmulas, a veces mezcladas con la inserción de imágenes tradicionales.

Sistemas dinámicos y fractales

Todo esto es muy bonito, pero... ¿qué es ?

Se trata de sistemas dinámicos. Algo que evoluciona siguiendo una regla fija e invariable. Como los planetas alrededor del sol. Se sabe desde hace un siglo que, incluso con leyes físicas constantes, un sistema simple puede tener un comportamiento irregular e imprevisible. Repito : se sabe desde hace un siglo (los trabajos de Poincaré) que incluso con leyes físicas constantes (la ley de la gravitación universal de Newton, por ejemplo), un sistema simple (dos planetas y una estrella bastan) puede tener un comportamiento irregular o imprevisible (no está claro que planetas de nuestro sistema solar no entrarán nunca en colisión entre ellos, o con el sol, o que nunca serán eyectados de sus órbitas). Es lo que hoy en día se llama el caos.

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Vistas originales sobre el conjunto de Mandelbrot.
Copyright, de izquierda a derecha : Arenamontanus, Paul Nylander, da_duke (dbki), Melinda Green.

No puede ser completamente sorprendente que una regla de evolución repetida hasta el infinito pueda estar asociada a objetos fractales, más exactamente que posean una forma de auto-similaridad : ya sea que se les observe al microscopio o en su globalidad, se ve los mismos surcos, como en el ejemplo de abajo.

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Imagen que surge de los sistemas dinámicos.
Esta figura ilustra el caos en un sistema dinámico simplificado que forma parte de la familia de aquellos que describen el movimiento de los planetas. Copyright Scholarpedia.

En matemáticas, uno se interesa en los sistemas dinámicos que actúan sobre cantidades matemáticas -típicamente, números-, y no sobre cantidades físicas. La regla de paso de un número al otro es una fórmula. Todo esto bien puede ser el modelo de un auténtico sistema físico, o un simple juego. Un objeto fractal en la naturaleza no es autosimilar sino sobre una cierta gama de escalas. Por ejemplo, el repollo romanesco es fractal sobre 5 o 6 generaciones que se extienden desde 20cm a 0,1mm aproximadamente. Por el contrario, un fractal en matemáticas lo es indefinidamente.

A la pasada : el adjetivo fractal fue inventado por Mandelbrot.

Dinámica holomorfa

A comienzos del siglo 20, Pierre Fatou y Gaston Julia simplificaron un sub-dominio llamado dinámica holomorfa. Ellos estaban interesados en sistemas particulares, que actúan sobre los números, con fórmulas entre las más simples que hay. Los números en cuestión son los números complejos. Si usted ignora lo que son, se trata de cantidades representadas por dos coordenadas (como los puntos de un plano). Fueron inventados por los matemáticos en el siglo XVI como auxiliar para facilitar la resolución de ecuaciones, pero encontraron amplias y profundas aplicaciones en matemáticas y en ciencias físicas. Uno puede sumar los números complejos, multiplicarlos, invertirlos, y hacer muchas otras cosas con ellos.

Fatou y Julia estudiaron así las propiedades de ciertos sistemas dinámicos donde varía un número complejo según una regla simple repetida hasta el infinito.

Ellos develaron la riqueza de esos sistemas, definieron los conjuntos llamados hoy en día conjuntos de Julia, se dieron cuenta de su carácter autosimilar, por lo tanto fractal... pero la palabra no existía, ya que no fue introducida hasta bastante más tarde por... ¡ Benoît Mandelbrot ! Ellos demostraron varias otras propiedades y emitieron conjeturas.

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Un fractal
El helecho de Barnsley, un ejemplo de imagen frutal del tipo IFS (Iterated Function System). El mismo motivo se repite en diferentes escalas : el helecho entero es similar a sus partes celeste, rojo y azul. Estas partes están entonces compuestas en sí mismas por mini-helechos, y así sucesivamente.
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Un conjunto de Julia, por Michael Becker.
Si se sabe dónde buscar se puede hallar magníficos especímenes.

¿Más exactamente ? Si usted conoce los números complejos y la noción de polinomio, entonces despliegue este bloque.

Los sistemas dinámicos considerados por Fatou y Julia son los siguientes.

Primero hay que elegir dos polinomios con coeficientes complejos $P(z)=a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \ldots + a_p z^p$ y $Q(z)=b_0 + b_1 z + b_2 z^2 + \ldots + b_q z^q$. La función $F(z)=P(z)/Q(z)$ se llama fracción racional. Luego, dado un punto de inicio, es decir, un número complejo que uno escribe como $z_0$, se define la serie por recurrencia $z_{n+1}=F(z_n)$.

Esta familia de series es considerada como la más simple después de la familia de series con recurrencia lineal $z_{n+1}=a z_n+b$ y las series llamadas homográficas $z_{n+1}=(a z_n+b)/(c z_n +d)$, que son fáciles de estudiar.

El conjunto de Julia de $F$, que se escribe $J(F)$, es el conjunto de puntos de partida $z_0$ donde el sistema presenta una sensibilidad a las condiciones iniciales : si uno cambia ligeramente el valor de $z_0$, su comportamiento en el largo plazo cambiará bastante. Hay muchas definiciones rigurosas de esto, y se ha demostrado que son equivalentes. Por ejemplo (vea en Wikipedia para la definición de los términos que siguen), $J(F)$ es la adherencia del conjunto de puntos periódicos repulsivos.

En pocas palabras, hay puntos que se mueven sobre el plano de manera intermitente, según una regla que uno puede elegir, y es en el conjunto de Julia donde el sistema dinámico presenta una dependencia sensible a las condiciones iniciales.

Hoy en día, la dinámica holomorfa comprende otros sistemas que aquellos considerados por Fatou y Julia.

Benoît Mandelbrot

Después de los trabajos de los fundadores, el campo cayó un poco en el olvido. Cuando llegaron los computadores se pudo explorar montones de fenómenos matemáticos que requerían del cálculo intensivo, uno de ellos el zoológico abierto por Julia y Fatou.

Así, cuando Benoît Mandelbrot decidió utilizar los computadores de IBM en los años 80 para representar un cierto conjunto matemático ligado a la dinámica holomorfa, obtuvo un hermosísimo dibujo muy intrigante. Brooks y Matelski parecen tener la primicia con una imagen de 70 por 30 pixeles en 1978 (vea [1]), pero son vagos acerca de la manera en que la obtuvieron.

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El conjunto de Mandelbrot, por Brooks y Matelski.

Si usted conoce los números complejos, puede desplegar el bloque de abajo.

Definición en términos matemáticos.

Definamos un cierto polinomio de grado $2$, notado $P_c$, por $P_c(z)=z^2+c$. El número complejo $c$ es el parámetro y $z$ es la variable dinámica. La cantidad $z=0$ se llama punto crítico, ya que es ahí donde la derivada de $P_c$ se anula.

La zona de atracción del infinito de $P_c$ es el conjunto de los $z_0$ para los cuales la serie definida por recurrencia $z_{n+1}=P_c(z_n)$ tiende hacia el infinito. Si para un cierto $k$ se tiene, digamos $|z_k|>1+|c|$, entonces $z_n$ tiende hacia el infinito. El conjunto de Julia lleno $K_c$ es el complementario de la zona del infinito : es el conjunto de puntos cuya órbita no tiende hacia el infinito, es decir, se mantiene en el disco de centro 0 y de radio $1+|c|$.

En el caso de los polinomios, el conjunto de Julia es la frontera de la zona del infinito. Es igualmente el borde de $K_c$. Se escribe como $J_c$.

Se tiene la dicotomía siguiente (es una palabra técnica para decir que hay dos casos separados) :

  • el punto crítico pertenece a $K_c$, y ambos $K_c, J_c$ son conexos, es decir, de una sola pieza (pueden perfectamente coincidir).
  • o bien el punto crítico no le pertenece, es decir, se escapa al infinito ; en este caso, $K_c$ y $J_c$ son iguales y disconexos : son incluso polvaredas de Cantor.

El conjunto de Mandelbrot es el conjunto $M$ de los parámetros $c$ para los cuales $K_c$ es conexo.

Gracias al criterio dado en la dicotomía, esta definición equivale a una definición programable : el conjunto de Mandelbrot es el conjunto de números complejos $c$ tal que la serie definida por recurrencia $z_0=0$ y $z_{n+1}=z_n^2+c$ no sale nunca del disco (cerrado) de radio $1+|c|$. Uno puede tomar también el disco de radio $2$. Funciona igual (pero es más difícil de demostrar).

Para saber más, vea este artículo de Wikipedia.

¿Qué representa el conjunto de Mandelbrot ? En pocas palabras, a cada punto de la imagen le corresponde un sistema dinámico subyacente. El punto juega el rol de un parámetro ajustable. Diferentes puntos corresponden a conjuntos de Julia diferentes, a sistemas diferentes, y según el comportamiento de estos últimos se puede decidir colorear el punto de tal o cual manera. El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de los parámetros para los cuales el sistema tiene una cierta propiedad (el conjunto de Julia es de un solo pedazo). De ahí su sobrenombre de director de orquesta.

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El jefe y su orquesta.
A cada punto del plano, ya sea de M o no, le corresponde un conjunto de Julia.

Las primeras imágenes eran por supuesto de menor calidad que lo que uno obtiene hoy en día en una fraccion de segundo con un simple computador portátil.

Anécdota : Yo oí decir que en ciertas imágenes, Mandelbrot había descubierto islotes o focos, lo que se reconoció después como pequeñas copias del conjunto de Mandelbrot. Las imágenes deberían parecerse a ésta de abajo, obtenida por un algoritmo básico.

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Mandelbrot hizo parte de su descubrimiento en una publicación, ilustrada con una imagen así, y la historia dice que el editor interpretó los islotes como manchas y los borró antes de la impresión.

En realidad hay filamentos que unen los islotes. Para hacerlos aparecer hay que actuar con astucia. Se puede utilizar ya sea una coloración, dependiendo de lo que se conoce técnicamente como el tiempo de escape (imagen de abajo a la izquierda) o valerse de un truco matemático llamado estimador de distancia (imagen de la derecha).

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Se debe a Benoît Mandelbrot haber sabido reconocer la importancia y la omnipresencia de los objetos fractales, de haber hecho emerger ese concepto, y de haberlo unificado, ya sea en matemáticas abstractas o en ciencia aplicada.

Apartado : para mí, las matemáticas son una ciencia experimental. En efecto, no basta con admirar las ideas de nuestros mayores para progresar : hace falta aplicarlas en ejemplos o en problemas que se nos sugiera. Es entonces cuando uno ve emerger los hechos, las regularidades que nuestra imaginación no podía sospechar. El trabajo de abstracción viene después, para transformar un amontonamiento de hechos, de experiencias y de intuiciones, en teorías/ principios/ herramientas concisas, claras, generales, y por eso incluso hermosas y potentes a la vez. Yo describo ahí un punto de vista personal sobre el trabajo de matemático. Me parece haber leído que Gauss y Euler eran famosos calculadores, y eso no puede ser casualidad.

Douady y Hubbard comenzaron el estudio matemático propiamente dicho del conjunto de Mandelbrot. Son ellos quienes decidieron llamarlo así. Para abreviarlo, se escribe M.

Hubbard me dijo que su interés por los conjuntos de Julia viene de experimentos numéricos que él condujo en la misma época que Mandelbrot, referidos a un método de resolución de ecuación llamado Método de Newton (nuevamente él). Los conjuntos de Julia aparecen entonces naturalmente.
Respecto a este tema se puede consultar el artículo de Tan Lei El método de Newton y su fractal.

Vértigo

JPEGEl conjunto de Mandelbrot, M, fue portada de Scientific American en 1985. Yo tenía 10 años. Los computadores personales existían aproximadamente hacía 5 años. En esa época era el Atari ST el que dominaba el mercado. Era 1000 veces menos rápido que un PC de hoy en día. ¡Yo no leía Scientific American, por supuesto ! Pero uno o dos años después, una revista de programación francófona daba el algoritmo, así como un pequeño programa para escribir e instalar en un Atari. Recuerdo haberme maravillado frente a la belleza del objeto, de la sorpresa proporcionada por el contraste entre su complejidad por un lado, y la simplicidad de su algoritmo por otra parte. Me acuerdo de la irritación ante la lentitud en formar la imagen.

Pero, ¿de dónde viene la fascinación por M ? ; ¿qué más tiene respecto a los otros fractales ?

Note ya su aspecto divertido, especie de muñeco vivaz o de insecto con su lanceta. Luego, la coexistencia de todos esos discos (no son perfectamente circulares pero eso no se ve) y esos árboles con filamentos irregulares. Después, la variedad de paisajes, según la zona que uno aumente.

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Diferentes detalles de M.

Los otros objetos fractales no presentan semejante variedad en una misma entidad. Ciertas amplificaciones muestran, por otra parte, una riqueza considerable. Y luego, al mirar bien, hay un aspecto combinatorio, una especie de orden que no tienen otras imágenes fractales.

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El fractal de Liapunov.

La guinda sobre la torta : las pequeñas copias de M dentro de M.

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También uno puede mirar las magníficas imágenes del artículo de Jos-Leys Benoît Mandelbrot.

Douady y Hubbard dieron una descripción de la combinatoria del conjunto de Mandelbrot, es decir, de la forma cómo las ramificaciones y los bulbos se suceden. También explicaron por qué hay copias de M dentro de M.

Uno puede encontrar en Internet películas de vertiginosas zambullidas en el corazón de M : por ejemplo http://vimeo.com/12185093. Usted también puede escribir ’’Mandelbrot zoom’’ en su motor de búsqueda favorito. O usar un programa -¡hay en abundancia !- como Xaos que permite hacer zoom en tiempo real.

Investigación fundamental

Pero el conjunto de Mandelbrot no es más que un juego. Es una especie de pasada obligada en la comprensión de sistemas dinámicos. En efecto : por una parte se trata de una clase de sistemas de los más simples que hay después de los sistemas llamados lineales. Por otra parte se ha demostrado la universalidad de M : en la categoría de los sistemas dinámicos holomorfos ¡uno encuentra copias por todas partes !

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Madelbrots por todas partes.
Cuatro ejemplos de ’’zonas de bifurcación’’, pintadas de negro sobre un fondo coloreado, asociadas a cuatro familias diferentes de sistemas dinámicos homomorfos. Pequeñas copias de M aparecen en todas partes. C. McMullen demostró que ellas son ’’densas’’, es decir, en cada dibujo hay una infinidad de copias y cerca de cada punto negro se puede hallar una, sin importan la potencia de ’’zoom’’ que se use.

Yo tuve la suerte de poder conducir desde 1997 trabajos de investigación en dinámica holomorfa. Mi encuentro con Adrien Douady fue determinante en mi elección de orientación, y es bajo su orientación que efectué mi tesis. Yo no estudio directamente el conjunto de Mandelbrot, sino más bien los de Julia. A pesar de la profusión y a veces la complejidad de las herramientas matemáticas a nuestra disposición, aún no ha sido demostrado todo. Comprender el comportamiento de los sistemas dinámicos subyacentes, comprender las propiedades de los conjuntos de Julia, tomarán aún numerosos años de trabajo. Lo mismo para M : por ejemplo, el modelo combinatorio de Douady y Hubbard, ¿es una representación fiel de M (es la conjetura MLC) ? Si usted responde a esta pregunta, puede que gane una Medalla Fields, o un premio equivalente si usted tiene más de 40 años. ¡ En sus marcas !

Post-scriptum :

Para profundizar más :

El artículo de Tan Lei en Images des mathématiques El método de Newton y su fractal.

La dynamique du Lapin, película de François Tisseyre, Adrien Douady y Dan Sørensen, por los Ateliers écoutez-voir.

Los capítulos 5 y 6 de Dimensions, una película bajo licencia libre de Jos Leys, Étienne Ghys y Aurélien Alvarez.

El artículo de Wikipedia, ¡por supuesto ! Hasta ahora, el de la Wikipedia en inglés es más completo.

Un punto de vista histórico : Fatou, Julia, Montel, le Grand prix des sciences mathématiques de 1918, et après... Libro de Michèle Audin por ediciones Springer (Heidelberg), 2009.

Los trabajos originales de Fatou y Julia están disponibles gratuitamente en Numdam.

Notes

[1R. Brooks, J.P. Matelski. The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C), Riemann surfaces and related topics, 1980 Princeton University Press.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «El conjunto de Mandelbrot» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Vues originales sur l’ensembe de Mandelbrot - Crédits : Arenamontanus, Paul Nylander, da_duke (dbki), Melinda Green.
Figure issue des systèmes dynamiques - Copyright Scholarpedia (Chirikov-Taylor’s Standard Map).
Une fractale - Wikipedia. António Miguel de Campos. Libre de droit.
Un ensemble de Julia, par Michael Becker - Michael Becker
L’ensemble de Mandelbrot, par Brooks et Matelski - Brooks et Matelski
Différents détails de M - A. Chéritat
Trois exemples de représentations de l’ensemble de Mandelbrot - (de g à d) Wolfgang Beyer, Jos Leys, Aexion
Des Mandelbrots, partout - A. Chéritat.
Le chef et son orchestre - A. Chéritat

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