UN OBJETO ANCESTRAL FORMIDABLE

La localidad de Khajuraho en el centro de la India, declarada patrimonio mundial por al UNESCO en 1986, es famosa por sus templos con decoraciones que mezclan motivos divinos y eróticos (o, mejor dicho, tántricos). En el pórtico del templo de Parshwanath destaca un sorprendente grabado que data al menos del siglo XII : se trata de un tablero de números que comprende las cifras $1,2, ..., 16$ (escritas en sánscrito).

Estas aparecen dispuestas de tal manera que ciertas propiedades ’’(pan)mágicas’’ son satisfechas : en cada ilustración, los números de las casillas del mismo color suman exactamente $34$.

Este tablero, comúnmente llamado Chautisa Yantra, ya ha sido el objeto de dos artículos en Paisajes Matemáticos. Por una parte, en este, Gautami Bhowmik aborda el estudio (que data del siglo XIV) del célebre matemático Nārāyaṇa Paṇḍita sobre sus propiedades combinatorias y su relación con el movimiento de un caballo de ajedrez. Por otra parte, en este, analizo las configuraciones más generales posibles de este tipo (con números no necesariamente consecutivos) a través del álgebra lineal. Mi objetivo ahora es introducir otro elemento para la discusión y comprensión de este maravilloso objeto : su grupo de simetrías. Esto se inspira del siguiente principio universal :

¿UN GRUPO ASOCIADO ?

Recordemos de este artículo que un tablero panmágico $4 \times 4$ es un cuadrado llenado con $16$ números de modo que las sumas a lo largo de las filas, las columnas y las diagonales (incluyendo las quebradas) son todas iguales. La ’’fórmula general’’ para un tablero satisfaciendo estas propiedades es la siguiente :

Se verifica rápidamente que en un tablero de este tipo, las 52 combinaciones coloreadas más arriba dan todas la misma suma (cuyo valor es $a+b+c+d$). En otras palabras, las $16$ igualdades iniciales ($4$ filas, $4$ columnas, $8$ diagonales) implican otras $36$.

Consideremos las permutaciones de las casillas que transforman cualquier tablero panmágico en otro tablero panmágico. Por ejemplo, este es el caso para una rotación de $90º$, pues las filas se transforman en columnas y viceversa, mientras que las diagonales descendentes se intercambian con las ascendentes. Como todas las sumas asociadas eran originalmente iguales, lo siguen siendo tras el movimiento. Así, un cuadrado panmágico sometido a este movimiento origina un nuevo tablero panmágico.

Las transformaciones panmágicas forman evidentemente un grupo : es el grupo panmágico. ¿Cuántas de estas hay ? ¿Qué estructura tiene este grupo ? Responderemos a estas preguntas tras un detallado análisis.

Además de rotaciones, es fácil imaginar otras transformaciones ’’panmágicas’’, como las reflexiones respecto a los ejes vertical y horizontal, o respecto a las diagonales. Pero estas no son las únicas. Por ejemplo, se constata observando las fórmulas de arriba que la permutación ilustrada a continuación también es panmágica :

Se trata de una involución, esto es, una permutación de orden $2$ (lo cual significa que al aplicarla dos veces devuelve todo a su posición original). Para sorprenderse un poco más, aquí hay ilustraciones de otras tres transformaciones panmágicas bastante menos evidentes. Para ellas, los órdenes [1] son respectivamente $3$, $6$ y $8$. Un bonito ejercicio es aplicarlas al Chautisa Yantra para obtener otros tableros con las mismas propiedades panmágicas.

LAS SIMETRÍAS DEL CUADRADO DE LO SHU

Determinar la estructura del grupo panmágico no es fácil. Para elaborar una estrategia de ataque, consideremos un caso más sencillo : el de los cuadrados mágicos $3\times 3$. Se trata de tableros llenados con números de modo que la suma a lo largo de las filas, columnas y las dos diagonales son iguales (esta vez, no consideramos las diagonales quebradas). Nuevamente, copiamos desde aquí la fórmula general :

Claramente, las ocho simetrías a las que aludimos anteriormente (cuatro rotaciones -una de ellas trivial- y cuatro reflexiones) transforman una configuración mágica en otra. ¿Habrá otra permutación con esta propiedad ? La respuesta es negativa. En efecto, toda transformación de este tipo debe llevar el tablero de abajo (llamado cuadrado de Lo Shu) en otro cuadrado mágico con entradas $1,2,\ldots,9$.

Sin embargo, se constata rápidamente con las fórmulas de arriba que hay solamente 8 cuadrados con estas características. Son los listados abajo, obtenidos con las asignaciones correspondientes de $m$ y $n$ (observe que, necesariamente, $\ell = 5$).

Por lo tanto, el ’’grupo mágico’’ (para tableros $3\times 3$) consta de $8$ elementos. Ciertamente, ya lo reconociste : se trata del famoso grupo diedral $D_4$, que coincide con el grupo de simetrías de un cuadrado.

LAS SIMETRÍAS DEL CHAUTISA YANTRA

Para calcular el grupo panmágico procederemos de manera análoga. Primeramente, buscaremos enumerar todos los cuadrados panmágicos que utilizan las cifras $1,2,\ldots, 16$, para luego fabricar suficientes transformaciones panmágicas de modo de obtenerlos todos a partir del Chautisa Yantra por medio de ellas. Como veremos, repensar la geometría del ’’cuadrado’’ se revelará fundamental. La conclusión final será la siguiente : así como el grupo mágico es isomorfo al de las simetrías del cuadrado, el grupo panmágico es isomorfo al grupo de las simetrías del hipercubo.

¡Continuemos !

Una nueva geometría

Para comenzar, observemos cuáles son las combinaciones involucradas en las sumas que toman el mismo valor en cualquier cuadrado panmágico.

¿Hay algún patrón común en ellas ? La respuesta es un contundente SÍ, pero para detectarlo, es necesario reinterpretar las cosas geométricamente. La clave es pensar en una geometría natural para el cuadriculado $4 \times 4$ : aquella en que la distancia entre dos posiciones es la cantidad mínima de bordes de casillas que se atraviesa al recorrer un camino que va de una a otra y que usa solo trazos horizontales o verticales. Atención : cuando un camino horizontal sale por la derecha o izquierda, pensamos que entra por el otro lado a la altura de la casilla correspondiente ; del mismo modo, si sale hacia abajo o arriba, pensamos que reaparece por el lado opuesto.

La relevancia de esta nueva geometría asociada a la ’’distancia de caminos’’ (a la que nos referiremos simplemente por ’’Distancia’’ en lo que sigue) queda de manifiesto en el siguiente enunciado.

La prueba de esto aparece al desplegar el enlace de abajo. Para impregnarse de ella, es un buen ejercicio verificar que las cuatro permutaciones de arriba preservan la Distancia, es decir, envían dos casillas a una Distancia dada en dos casillas situadas a la misma Distancia. En contrapartida, la permutación ilustrada abajo NO preserva la Distancia.

Las $384$ versiones diferentes del Chautisa Yantra

Tal como se describe aquí, Nārāyaṇa Paṇḍita probó en su libro Gaṇitakaumudī que existen exactamente $384$ cuadrados panmágicos en los que intervienen cada uno de los números $1,2, \ldots, 16$, y dio dos algoritmos combinatorios para fabricarlos todos (uno de estos utiliza los movimientos de un caballo de ajedrez). Veremos a continuación que la Distancia permite dar otra prueba de este teorema, muchísimo más sencilla, basada en la fórmula general obtenida más arriba. Ella permitirá también ir preparándonos poco a poco hasta ver surgir el otro objeto matemático principal de este artículo : el hipercubo.

La demostración puede ser desplegada más abajo. De ella retenemos dos aspectos fundamentales.

Un algoritmo para fabricar todos los cuadrados panmágicos (con $1,2,\ldots,16$) : Coloque el $1$ en cualquier posición. Luego, elija tres de las cuatro posiciones a distancia $1$ de esta, y coloque allí los números $15,14$ y $12$. Finalmente, complete el tablero de modo que sea panmágico usando cada número $1,2,\ldots, 16$ exactamente una vez (hay solo una manera de hacerlo).

Conteo a partir del algoritmo : Asumiendo la validez del algoritmo anterior, podemos responder a la pregunta fundamental : ¿cuántos cuadrados panmágicos con las cifras $1,2,\ldots,16$ hay ? Por una parte, para colocar el $1$, tenemos $16$ casillas diferentes. Por otra parte, para colocar el $15$, $14$ y $12$, hay $24$ combinaciones en total : para colocar el $15$ hay $4$ posibilidades ; una vez colocado, quedan $3$ posibilidades para el $14$, y luego $2$ posibilidades para el $12$ (en total, esto da las $4\times 3 \times 2 = 24$ posibilidades anunciadas). De acuerdo al algoritmo descrito más arriba, esto nos indica que hay $16 \times 24 = 384$ cuadrados panmágicos con entradas $1,2,\ldots,16$.

Demostración del teorema de Nārāyaṇa Paṇḍita

La Distancia máxima entre dos casillas es igual a $4$. De hecho, dada una casilla cualquiera, existe una única casilla a Distancia exactamente $4$ de ella. Diremos que dos casillas de este tipo son opuestas.

Cada casilla está pintada del mismo color que su opuesta.

Notamos ahora lo siguiente : en cada cuadrado panmágico, la suma de las entradas en casillas opuestas es la misma (igual a la mitad del ’’número mágico’’ $a+b+c+d$). Esto se verifica por simple inspección desde la fórmula general dada más arriba. En particular, si se usan los números $1,2,\ldots,16$, la suma es igual a $\frac{34}{2} = 17$.

Ahora, al inspeccionar las configuraciones coloreadas de arriba, vemos que :

• si dos posiciones están a Distancia $1$, entonces esas entradas aparecen enlazadas en cuatro de las $52$ sumas ;
• si dos posiciones están a Distancia $2$, entonces aparecen en dos de estas sumas ;
• si las posiciones están a Distancia $3$, entonces aparecen solo en una suma ;
• si las posiciones están a Distancia $4$, entonces aparecen en cinco sumas.

Usando esto, probaremos que en un cuadrado panmágico que usa cada cifra $1,2,\ldots,16$ una vez, las entradas $15, 14$ y $12$ deben ubicarse en casillas a Distancia $3$ de aquella en que está el $16$, y por tanto a Distancia $1$ de aquella en que está el $1$.

Para corroborar esto, observe que hay solo una forma de complementar $16 + 15 = 31$ con dos sumandos positivos de modo de obtener $34$, a saber, $1+2$. Ahora bien, si $16$ y $15$ estuviesen a Distancia diferente de $3$, entonces tendrían que complementarse de al menos dos maneras diferentes... Un argumento similar se aplica para el $14$, pues $16 + 14 = 30$ solo puede complementarse con $ 1 + 3$ (el complemento $2+2$ no es válido pues se precisa de sumandos distintos). Lamentablemente, para el $12$, el argumento es más elaborado (y un poco tedioso), pues $16 + 12 = 28$ puede ser complementado exactamente de dos formas : $4 + 2$ y $1 + 5$.

Si $16$ y $12$ no estuviesen a Distancia $3$, entonces su Distancia tendría que ser $2$ (para Distancia $1$ o $4$ debieran complementarse de más maneras). Consideremos el caso de abajo, pues todos los demás son análogos (de hecho, uno puede reducir rápidamente el caso general a este usando la acción de las permutaciones que preservan la Distancia que ya hemos introducido).

$16$
	$12$
		$1$
			$5$

Las entradas $2$ y $4$ deben aparecer abajo y hacia la derecha de $16$ (para así conseguir la suma $34$ entre las entradas de las cuatro casillas de arriba a la derecha). Como ambos casos son análogos, supondremos que el $4$ está abajo del $16$, y el $2$ a la derecha, tal como aparece ilustrado abajo (nuevamente, se puede pasar de un caso al otro por una reflexión respecto a la diagonal).

$16$	$2$
$4$	$12$
		$1$
			$5$

Esto fuerza a que el $13$ y el $15$ aparezcan en las posiciones opuestas correspondientes, para así ’’semicomplementar’’ a las entradas de las casillas opuestas (y obtener la suma necesariamente igual a $17$) :

$16$	$2$
$4$	$12$
		$1$	$15$
		$13$	$5$

Como sabemos que el $14$ debe aparecer en una posición a distancia $3$ de la del $16$, los dos casos de abajo son los únicos posibles. Sin embargo, en ambos casos, la fila que ya tiene tres entradas llenas debe ser completada con un $4$, y el $4$ ya fue usado...

Para concluir, se verifica rápidamente que para cada configuración en que el $15, 14$ y $12$ aparecen en torno al $1$ (y el $16$ está en una posición opuesta a la de este) hay una única manera de completar el cuadrado con propiedades panmágicas y entradas diferentes $1,2,\ldots,16$ (de hecho, no es necesario verificar todas las posibilidades, ya que se puede usar permutaciones apropiadas -que preservan la Distancia- para simplificar). Abajo se ilustra un ejemplo.

Finalmente, ¡el hipercubo !

En nuestra discusión ha resultado esencial la geometría heredada de la Distancia. ¿Hay una manera más concreta de visualizar el objeto matemático subyacente ? Ciertamente : consideremos la ilustración de abajo, en que cada casilla está indexada por cuatro números iguales a 0 ó 1 cada uno. Observe que los índices de una fila a la contigua son los mismos, excepto por una entrada, que cambia por la otra. Lo mismo sucede de una columna a otra contigua. De esta forma, la Distancia entre dos casillas no es nada más que la cantidad de dígitos diferentes entre los índices de esas dos casillas. Por ejemplo, los índices de dos casillas opuestas son completamente diferentes de una a la otra : las cuatro cifras han cambiado.

El objeto que estamos considerando se identifica entonces con el conjunto de índices, que no es otra cosa que el producto $\{ 0,1 \}^4$. Aún cuesta visualizar este objeto, pero si modificamos el exponente $4$ por otro menor, entonces todo queda más claro :

Así, el conjunto $\{ 0,1 \}^4$ no es otra cosa que el conjunto de vértices del objeto que debiese seguir en la lista que comienza con el intervalo, el cuadrado y el cubo. Dicho objeto recibe el nombre de hipercubo (o teseracto). Si bien se trata de un cuerpo de dimensión $4$, podemos ’’proyectarlo’’ a la dimensión $3$ para luego visualizarlo en una pantalla de dimensión $2$ de esta manera [2] :

Observa que cada vértice se conecta a través de una arista con otros cuatro vértices (sus ’’vecinos’’), de la misma forma que en el tablero cada casilla está a Distancia $1$ de otras cuatro casillas [3]. En fin, tras familiarizarte un poco con esta estructura, pronto reconocerás que la lista de $13$ hipercubos con vértices coloreados de abajo se corresponde con la lista de $13$ tableros $4\times 4$ coloreados de más arriba (en los seis primeros aparecen pintadas del mismo color las configuraciones del tipo $(1,1,2)$, en los tres del medio las del tipo $(2,2,4)$, y en los cuatro restantes las del tipo $(1,3,4)$).

Las simetrías del hipercubo : Es fácil describir las simetrías del intervalo, del cuadrado y del cubo. Para el hipercubo el asunto se complica ligeramente debido a nuestra pérdida de intuición geométrica (pues la geometría que vemos no es la geometría inherente de la dimensión $4$). Sin embargo, podemos razonar por analogía. Para crear una simetría debemos :

• Escogido un vértice, debemos decidir a cuál de los vértices lo enviamos. Evidentemente, tenemos $16$ opciones para esto.

• Luego, debemos decidir qué hacer con los cuatro vecinos del inicial : estos deben ser enviados en vecinos del vértice imagen. Alternativamente, tenemos que enviar las $4$ aristas que nacen del primero en las $4$ aristas que surgen del segundo. Evidentemente, hay $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ maneras de hacer esta distribución.

No es difícil convencerse de que, una vez hechas estas elecciones, la simetría queda completamente determinada (es decir, hay una única manera de ’’extender’’ la asignación a los vértices restantes). Como consecuencia, tenemos exactamente $16 \times 24 = 384$ simetrías del hipercubo.

RESUMEN :

• toda simetría del hipercubo es panmágica cuando la vemos como permutación de las casillas (esto corresponde a la Afirmación de más arriba) ;

• el hipercubo tiene 384 simetrías ;

• aplicadas al Chautisa Yantra, estas simetrías generan $384$ tableros panmágicos con entradas (todas distintas) $1,2,\ldots, 16$ ;

• como existen exactamente $384$ tableros panmágicos con entradas (todas distintas) $1,2,\ldots, 16$ (teorema de Nārāyaṇa), no hay más permutaciones panmágicas.

Concluimos entonces que :

PASADO Y FUTURO DEL ASUNTO

El teorema presentado en este artículo debiera ser atribuido a B. Rosser y R. J. Walker, si bien ellos no lo formulan de esta manera en su artículo de 1938 [4]. De hecho, en los comentarios de su artículo, ellos mencionan que H. Coxeter les habría señalado que, muy probablemente, el grupo que estaban considerando es el mismo grupo de las simetrías del hipercubo (no hay mención alguna al hypercubo en la parte central del artículo). La prueba presentada aquí (así como la del teorema de Nārāyaṇa) es novedosa, si bien otra demostración puede ser hallada en un artículo de 1997 de W. Müller [5].

Las configuraciones mágicas o panmágicas existen para cualquier tablero $n \times n$, y se puede definir de manera análoga los grupos mágicos [6] y panmágicos (y otros grupos relacionados [7]). Lamentablemente, el escaso conocimiento de los cuadrados mágicos en dimensión superior hace imposible determinar sus grupos de simetrías usando la estrategia anterior. Por ejemplo, la siguiente pregunta me parece ampliamente abierta (e interesante) :

Para cerrar, un teorema tomado del artículo de Müller, para el cual ignoro si se puede dar una versión/demostración más geométrica. Observe que la presencia de $S_5$ en el grupo en cuestión implica que este no es soluble.

Para jugar : Al igual que con el Chautisa Yantra, usted puede tomar su cuadrado panmágico $5 \times 5$ preferido y divertirse aplicándole simetrías. Mi tablero preferido es este [10] :

y una simetría que me agrada mucho es esta :

¡Disfruta ! ¡Hay 28800 cuadrados panmágicos esperándote !