El desalentador ’’¿para qué sirve eso ?’’

Le 3 août 2009  - Ecrit par  Christophe Breuil
Le 19 mars 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Le redoutable « À quoi ça sert ? » Voir les commentaires
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La utilidad - o no - de sus investigaciones es un asunto recurrente que regularmente regresa para atormentar a más de un matemático, ya sea porque se lo plantea él mismo o porque alguien se lo plantea a él. Este asunto es particularmente desalentador cuando su especialidad parece desconectada como nunca de toda aplicación práctica, como por ejemplo la geometría aritmética. Yo relato aquí de memoria una corta escena típica que ocurrió hace algunos años, entre las numerosas conversaciones donde tuve que intentar, con dificultad, justificar mi actividad de aritmético p-ádico.

Describo el contexto : una maravillosa boda en una de las islas del litoral de la Francia metropolitana, un hermoso sábado de verano. Música suave, trajes y vestimentas cuidadas, lindas mesas redondas, pequeños panes calientes en sus servilletas dobladas que -en medio de las orquídeas y fotógrafos- esperaban ser degustados con los filetes de pato especiado. Mi vecina de la izquierda es una encantadora señorita (mi esposa está a mi derecha) y la conversación, inevitablemente, deriva a ’’qué hace quién’’ alrededor de la mesa. Mi vecina me pregunta cuál es mi trabajo :

— Soy investigador en aritmética.

— ¡Ah, pero eso es muy interesante ! -uno es educado durante una boda-. Pero, ¿qué es exactamente la aritmética ? ¿Usted podría explicarme sus investigaciones ?

— Bueno, hay varios aspectos. Digamos que, muy en general, trato de comprender algunos espacios importantes, llamados espacios de cohomología, sobre los cuales dos tipos de grupos actúan : grupos llamados de Galois y grupos llamados lineales, y trato de comprender las relaciones, muy ricas, entre sus dos acciones sobre esos mismos espacios importantes.

Silencio.

— Eeh, grupos ¿dice usted ?

— Sí, grupos. Un grupo es una de las más antiguas estructuras matemáticas y una de las más fundamentales también. Por ejemplo, está el grupo de los enteros, o después el grupo de todas las maneras de permutar los elementos de un conjunto finito. Pero mis grupos y mis espacios no son cualquiera. Además tienen una topología p-ádica.

Más silencio.

— ¿Tal vez usted ha escuchado hablar de los números p-ádicos si p es un número primo ?

— Bueno, no.

— Son desarrollos formales en base p que uno ’’prolonga’’ hasta el infinito.

Sigue una explicación confusa de mi parte para dar ejemplos concretos de naturales p-ádicos.

— Lo que es entretenido con los números p-ádicos, y muy diferente de los números usuales, es que dos números están muy cercanos si su diferencia es divisible por una potencia grande de p. Bueno, y tanto mis grupos como mis espacios tienen una ’’estructura p-ádica’’, es decir, están fabricados a partir de grupos finitos, así como los naturales p-ádicos se fabrican a partir de números finitos clásicos, como acabo de explicarle. Y esto hace toda su riqueza, ya que...

Pequeño suspiro a mi izquierda.

— Vaya, bueno, ¡espero que con eso usted llegue aún a dormir en la noche !

Comentario muy justo, de paso...

En ese momento de la conversación, se hace necesaria una pequeña pausa para cenar. Luego, siento que mi querida vecina se impacienta. Tiene algo que decirme, apenas termine de tragar. Y yo sé perfectamente la pregunta que va a hacerme, la veo literalmente salir de sus labios antes de que abra la boca.

— Pero veamos, todo eso, ¿para qué sirve ?

Por supuesto, este no era mi primer ’’¿para qué sirve ?’’. Hastiado con quien ya no la hace, respondo :

— No hay que razonar en términos de utilidad. Yo realmente no me hago la pregunta de si lo que hago es útil, no es en ningún caso mi motivación. No, lo que yo busco es extender el campo del conocimiento explorando áreas de las matemáticas que no han sido nunca escarbadas. Encontrar nuevas conjeturas profundas, nuevos teoremas. Y no soy el único. Toda una comunidad en el mundo hace como yo, incluso dentro de universidades en los países especialmente ’’pragmáticos’’, como Estados Unidos, o en países que no se hunden bajo los capitales, como India. De todas maneras, juzgar las cosas en función de su utilidad es muy subjetivo. ¿Qué es verdaderamente útil o no a nuestro alrededor ? Si se trata solo de vivir biológicamente, uno podría pasar por alto muchas cosas si lo pensara...

Ella me sonrió.

— Veo que es un poco como el arte de alguna forma, usted es un poco artista.

¡Yo no esperaba tanto !

— ¡Sí, exactamente ! Las matemáticas en varios de sus aspectos pueden verse como una actividad creadora artística, sin perder por supuesto el rigor científico.

Me digo que la conversación ahora va a irse hacia la última exposición de moda. Pero la pérfida había guardado una flecha.

— Pero por lo menos el arte es accesible a muchas personas. No estoy segura que sea lo mismo con sus grupos y espacios p-ádicos...

¡Aayy ! Ella había dado en el blanco. Efectivamente, uno de los graves defectos de las matemáticas, en especial en los aspectos más teóricos, es su dificultad de acceso, a tal punto que los mismos matemáticos sufren mucho para entenderse entre sí. ¡Algunos llegan a decir que nunca realmente han comprendido sus propios artículos !

No recuerdo haberle dado una respuesta, y la conversación cambió definitivamente de tema, para mi gran alivio.

Nunca volví a ver a mi vecina, e ignoro la imagen de las matemáticas que ella mantuvo después de nuestro intercambio. Pero yo tenía la sensación de no haber perdido completamente la tarde : ¡ella me comparó casi con un artista !

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «El desalentador ’’¿para qué sirve eso ?’’» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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