El formato A4 y los babilonios

Le 20 novembre 2014  - Ecrit par  Benoît Rittaud
Le 9 mai 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Le format A4 et les Babyloniens Voir les commentaires
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Lo que tiene de bueno la raíz cuadrada de 2 es que uno la encuentra por todas partes, algo así como un amigo que no se aleja nunca.

Debido a que lo necesitaba para un artículo ’’serio’’ de matemáticas, volví a un método de aproximación de $\sqrt{2}$ conocido desde la época babilónica, el cual que consiste -partiendo de un rectángulo de lados 1 y 2- en construir una secuencia de rectángulos de área 2 cuya largo es el promedio (aritmético) de las dimensiones del rectángulo anterior. Los primeros rectángulos son los siguientes :

Como se ve, este método es tan eficaz que, al cabo del tercer rectángulo, casi no se distingue la diferencia con un cuadrado verdadero. Ahora bien, ya que las áreas de los rectángulos son todas iguales a 2, el cuadrado límite es de lado $\sqrt{2}$. En consecuencia, los largos y anchos de los rectángulos sucesivos son aproximaciones de $\sqrt{2}$ (por exceso y por defecto) cada vez más precisas.

Este método efectivamente es muy rápido. Se le denomina cuadrático, palabra científica que indica en esencia que el número de decimales exactos se duplica en cada nuevo rectángulo.

En lo anterior, $\sqrt{2}$ es visto como el número que, multiplicado por sí mismo, da 2 (en otras palabras, como el lado de un cuadrado de área 2). Entre otras caracterizaciones posibles de $\sqrt{2}$, está aquella que se encuentra en el origen de nuestros formatos de papel : $\sqrt{2}$ es la relación largo/ancho a elegir para un rectángulo $R$ que, una vez plegado sobre sí mismo, produce un rectángulo $R’$ en el cual la relación de las longitudes es también $\sqrt{2}$.

¿Se puede utilizar esta definición alternativa para producir aproximaciones a $\sqrt{2}$ ?, me pregunté. La respuesta es sí, y ahora paso a explicar cómo. Si las dimensiones de $R$ son $a$ y $b$ (con $a\geq b$) entonces las de $R’$ son $a/2$ y $b$. Buscamos por lo tanto $a$ y $b$ tales que $a/b = b/(a/2)$ (note que $R’$ está posicionado « en el sentido opuesto » al de $R$).

Una propiedad bastante simple de visualizar es que si $R$ es muy largo, es decir que $a/b$ es más grande que $\sqrt{2}$, entonces $R’$ no lo es suficientemente, es decir que $b/(a/2)$ es inferior a $\sqrt{2}$ (e inversamente). En otras palabras, salvo en el caso en que la entrada sea igual a $\sqrt{2}$, las relaciones $a/b$ y $b/(a/2)$ están situadas de uno y otro lado de $\sqrt{2}$. Una manera simple de acercarse a $\sqrt{2}$ consiste en tomar un rectángulo cuya relación largo/ancho sea el promedio (aritmético) de $a/b$ y $b/(a/2)$. El nuevo rectángulo $R$ construido sobre esta relación produce por plegado un nuevo rectángulo $R’$, el promedio de las relaciones largo/ancho de $R$, y $R’$ lleva a definir un nuevo rectángulo y así sucesivamente. Podemos hacernos una idea de esto suponiendo que el ancho de cada rectángulo es igual a 1 (pues lo único que interesa es la relación entre las longitudes). Comenzamos, entonces, con un rectángulo $R$ inicial tal que $a = 2$ y $b = 1$, y procedemos.

¿Le dice algo esto ? Efectivamente, los números obtenidos son los mismos que los del algoritmo de los babilonios. Y más que considerar este método como una presentación alternativa de un algoritmo de aproximación a $\sqrt{2}$, también se lo puede exhibir como una demostración de que los rectángulos $R$ para los cuales $R’$ tiene la misma forma que $R$ son aquellos que satisfacen la igualdad largo/ancho = $\sqrt{2}$.

No es con un resultado como este que van a ofrecerme una medalla en Princeton o a Harvard, pero es este tipo de pequeñas perlas el que ayuda a amar el oficio de investigador. Y si bien no es seguro que llegue a colocar esta observación en mi artículo ’’serio’’, al menos trataré : voy a ponerlo al final, en la parte que ya nadie lee…

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «El formato A4 y los babilonios» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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Image à la une - https://matemelga.wordpress.com/2015/09/25/el-formato-din-a4/

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