El juego Set

Piste bleue Le 5 mai 2013  - Ecrit par  Pierre Jalinière
Le 5 mai 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas, Mariana Haim
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Llegado desde el otro lado del Atlántico, Set es un juego de cartas para varios jugadores que consiste en identificar, lo más rápido posible, ciertas familias de cartas. Las reglas del juego inducen preguntas de índole combinatorio, algebraico, algorítmico o geométrico ; algunas están abiertas. En esta nota, describimos el juego Set, examinamos algunas de las preguntas combinatorias que plantea y las traducimos en términos espaciales. Se espera que la lectura pueda ser seguida por un estudiante de nivel preuniversitario. ¡Brinda una buena oportunidad para practicar bellas matemáticas ! [1].

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Aquí se aprecia un Set ’’viviente’’.

El juego Set

Set se juega con cartas especiales. Cada carta está impresa con formas idénticas, munidas de un color y un estampado. Las formas posibles son : ola, rombo y óvalo. Los colores posibles son : rojo, verde y violeta. Los estampados posibles son tres : rayado, liso, vacío. La cantidad de formas posibles : uno, dos o tres. Aquí por ejemplo tenemos ’’un rombo verde vacío’’, ’’dos olas rojas rayadas’’ y ’’tres óvalos violetas lisos’’.

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Hay exactamente una carta para cada familia de características posible, lo que permite responder a esta pregunta : ¿cuántas cartas tiene un mazo de Set ?

Como hay tres valores posibles para cada una de las características, encontramos un total de $3^4=81$ cartas en el mazo.

Un Set es una colección de tres cartas tales que, observando cada una de las (cuatro) características, o bien toman un único valor o bien los toman todos. Esto es, si tres cartas toman dos valores de una cierta característica, por ejemplo, hay dos con óvalos y una con rombos (dos valores en forma), o hay dos con figuras rojas y una con figuras verdes (dos valores en color), entonces no forman un Set. Así, la familia de tres cartas dada en el ejemplo es un Set (toma en cada una de las cuatro características, los tres valores posibles).
Más precisamente, un Set es un conjunto de tres cartas que cumplen las siguientes cuatro condiciones :

  • forman un Set de números : esto significa que las tres cartas contienen el mismo número de figuras, o bien que una tiene una, otra dos y la otra tres ;
  • forman un Set de figuras : esto significa que las tres cartas contienen el mismo tipo de figura, o bien que una tiene óvalos, otra olas y la otra rombos ;
  • forman un Set de colores : análogamente, o bien las tres son del mismo color, o bien hay una de cada color ;
  • forman un Set de estampados : o bien todas están estampadas igual, o bien hay una de cada estampado.

Un Set es un conjunto de tres cartas que forman estos cuatro tipos de Set al mismo tiempo. Notemos que como cada carta es única, al menos para una de las cuatro características deben todas ser distintas. Por ejemplo, si todas las cartas tienen una única figura azul de estampado rayado, entonces una es un óvalo, otra un rombo y la otra una ola (difieren en la característica ’’forma’’).

¿ Cómo se juega a Set ?

Al iniciar el juego, se coloca doce cartas delante de los jugadores. El primero que encuentra un Set entre estas doce cartas recoge las tres cartas que lo constituyen. Se vuelve a colocar tres cartas nuevas que se sacan del mazo y el juego continúa hasta que no haya más cartas en el mazo. Gana quien haya encontrado más tríos de Set durante el partido.

La principal debilidad de esta forma de jugar es que es posible que entre las doce cartas del inicio no haya ningún Set. Si los jugadores están de acuerdo en que no hay ningún Set, se sacan tres nuevas cartas del mazo y se agregan a las que ya estaban visibles. Si uno de los jugadores encuentra un Set entre estas quince cartas, lo toma, sin reemplazarlas por nuevas cartas del mazo. Si aún no hay Set, se toman tres cartas más. Y así se sigue. Solo se reemplazan las cartas de un Set encontrado si quedan sobre la mesa 9 cartas y aún quedan cartas disponibles en el mazo.

La partida se termina cuando no hay más cartas en el mazo y las que están sobre la mesa no forman ningún Set. Es muy raro que durante una partida, todas las cartas sean utilizadas, integrándose cada una a un Set recogido por un jugador. La frecuencia de estas partidas ’’completas’’ es una pregunta abierta. Si el lector encuentra la respuesta, está invitado fervientemente a hacérsela saber al comité editorial.

Hace falta un poco de práctica para identificar un Set. Una forma segura de encontrar uno se apoya en la siguiente regla :

Para dos cartas arbitrarias, existe una única tercera carta que las completa para formar un Set.

En efecto, para cada característica, dos cartas arbitrarias son o bien iguales o bien diferentes. Como solo hay tres valores por característica, la tercera carta está determinada por las dos primeras.

Esta regla permite responder al menos a dos preguntas :

(1) ¿Cuál es la probabilidad de que, al tomar tres cartas al azar, se forme un Set ?

El mazo tiene 81 cartas, y tomando dos primeras cartas de manera arbitraria, la tercera es única entre las 79 restantes. La probabilidad de obtener un Set es entonces de 1/79.

(2) ¿Cuántos Set hay en el juego ?

Hay 81 elecciones posibles para la primera carta y 80 para la segunda. Las dos cartas determinan de manera única la tercera. Por otro lado, el orden no importa, por lo que la cantidad total de Set es 81× 80 dividido por 3 !=3×2=6. Esto es exactamente 1080 posibles Set.

(3) ¿Cuáles son los Set más fáciles de identificar ?

Los Set pueden clasificarse en cuatro tipos, según la cantidad de características para las cuales toma el mismo valor : ninguna, una, dos o tres. Las ternas que toman el mismo valor para tres características, que llamaremos aquí los 3-Set, son visualmente más fáciles de identifiar. Por ejemplo, esto es un 3-Set : una ola roja lisa, dos olas rojas lisas, tres olas rojas lisas. Los Set para los cuales todas las características difieren, esto es los 0-Set, son más difíciles de identificar. Un ejemplo es el Set representado más arriba : un rombo verde vacío, dos olas rojas rayadas, tres óvalos violetas lisos. Podemos entonces hacernos la siguiente pregunta :

(4) ¿Entre todos los Set posibles, cuál es la probabilidad de cada uno de estos tipos ?

Razonando de la misma forma que para la pregunta (2), encontramos para los 3-Set, exactamente 108 posibilidades entre las 1080 posibles Set, o sea un 10 por ciento. Para los 2-Set, son 324, es decir un 30 por ciento. Para los 1-Set, son 432, o sea un 40 por ciento. Finalmente, para los 0-Set, son 216, un 20 por ciento.

Podemos plantearnos muchas preguntas combinatorias respecto a Set. Y hemos rozado apenas todo lo que podemos decir. Un punto de vista geométrico le da sentido a la noción de Set y permite identificar a las cartas con puntos de un cierto espacio. Veamos de qué se trata esto.

Set y su geometría

El espacio sobre el que situamos las cartas es finito, es decir, contiene solo una cantidad finita de puntos. Se construye con 4 dimensiones (tantas como características tiene cada carta) : una dimensión para la cantidad, otra para la forma, otra para el color y una más para el estampado. Además, dentro de cada dimensión, un punto puede tomar solo tres valores. En matemáticas, un tal espacio puede definirse y equiparse con una geometría adecuada : por ejemplo por dos puntos cualesquiera pasa una única recta. Aquí todo es aún más simple : una recta contiene solo 3 puntos, un plano 9, un hiperplano 27 y el espacio entero 81, precisamente la cantidad total de cartas que tiene el mazo de Set.

Una carta se identifica con un punto de dicho espacio cuyas coordenadas están determinadas por el valor que toma cada una de las características de esa carta. Recíprocamente, cada punto de ese espacio determina una carta.

Es muy fácil definir un Set en términos de este espacio : es simplemente una recta. Dicho de otra forma, las tres cartas de un Set representan tres puntos alineados. El hecho de que por dos puntos pasa una única recta se traduce en que dadas dos cartas, hay una única tercera que completa un Set (recordar que las rectas tienen tres puntos). Análogamente, un plano se determina únicamente por el dato de tres puntos no colineales, o por el dato de una recta y un punto distinto, o por el dato de dos rectas paralelas, o de dos rectas que se intersecan. Todas esas afirmaciones siguen siendo válidas cuando se aplican al Set. Saquemos por ejemplo tres cartas ’’no colineales’’, esto es, que no forman una recta, y por tanto no forman un Set. Ellas se definen entonces por un plano único, que se reconstituye como sigue : se añade a esta colección una carta tal que, con dos de las tres anteriores, el conjunto forma un Set. Y uno recomienza a sacar siguiendo la misma regla : cada nueva carta sacada debe formar un Set, una recta, con dos de las cartas ya sacadas anteriormente. En total, se obtendrá exactamente nueve cartas. Esas nueve cartas forman el plano que se ha definido usando las tres primeras. Las partes que siguen, más difíciles, se cree que —con un poco de esfuerzo— pueden ser leídas por personas de un nivel educacional de secundaria científica terminada.

Planeta, variante y definición

El objetivo es introducir una variante del juego Set. Ya no se busca encontrar entre doce cartas tres de ellas alineadas (dicho de otra forma, un Set), sino cuatro que definan entre ellas un único plano, es decir, cuatro cartas coplanares. Con cuatro puntos tomados al azar, ¿cuáles son los casos posibles en geometría clásica ? Lo primero es que esos cuatro puntos estén alineados. Un caso así no puede producirse para Set, ya que se ha visto que toda recta contiene exactamente tres puntos. Si uno saca una cuarta carta, un cuarto punto, este se encuentra necesariamente fuera de la recta. En conjunto definen un plano. Es uno de esos casos que uno llamará Planeta. El otro corresponde a cuatro puntos que definen dos rectas que se intersecan. En lenguaje Set, eso significa que de a dos, cuatro cartas definen dos Sets que se completan por la misma tercera carta.
Este es un ejemplo de cuatro cartas Planeta que responden a esta condición :

Aquí, el plano completo definido por esas mismas cuatro cartas :
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¿Qué se deduce acerca del juego ? Hay más combinaciones ganadoras, ya que desde que uno tiene un Set, cualquier cuarta carta define un Planeta. La probabilidad de formar un Planeta sacando cuatro cartas al azar del mazo completo es más grande que la sola probabilidad de formar un Set sacando tres de ellas :

(5) ¿Cuál es la probabilidad de formar un Planeta sacando cuatro cartas ?

Dos casos son posibles : o bien el Planeta contiene un Set, o no lo contiene. La probabilidad de sacar un Set con las primeras 3 cartas es, como se ha visto, de 1/79. La probabilidad de no sacarla, el evento contrario, es entonces de 78/79. Ahora bien, tres cartas que no forman un Set definen un único plano. Otras seis cartas pertenecen a ese mismo plano, de modo que la probabilidad de que una cuarta carta sacada forme un Planeta con las tres anteriores es exactamente de 6/78, debido a las 6 cartas posibles entre las 78 restantes. O sea, la probabilidad de sacar un Planeta es de 1/79 + (78/79) × (6/78)=7/79.
Por lo tanto, hay 7 veces más oportunidades de sacar un planeta que un simple Set. Estas importantes posibilidades motivan la siguiente pregunta :

(6) ¿A partir de cuántas cartas sacadas uno está seguro de disponer de un Planeta ?

Eso es objeto de la próxima parte.

Set, Planeta a prueba del juego

Davis y Maclagan [2] mostraron que para un juego de Set en tres dimensiones (por ejemplo, si uno decide jugar solo con cartas de color rojo), se puede sacar hasta 9 cartas sin Set. Pero 10 cartas sacadas contienen siempre un Set. Con el juego completo, es decir 81 cartas, se puede sacar hasta 20 cartas sin que haya Set. La 21ª permitirá siempre formar uno. Para los Planetas, estudiaremos primero el caso de la dimensión 3.

Planeta en tres dimensiones

Se puede sacar hasta cinco cartas rojas sin Planeta :

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Se prueba en dos tiempos que tales cinco cartas no contienen Planeta. Primero, se asegura que ellas no contienen Set. Luego, para una pareja de cartas dada, se entrega la tercera carta que hace del trío completo un Set. Para asegurarse que no hay Planeta basta con verificar que esas terceras cartas deducidas de toda pareja son diferentes. El número de parejas corresponde a la elección de dos cartas entre cinco. Es el número de combinaciones de 2 elementos tomados en un conjunto de 5 elementos. Ese número en matemáticas está escrito de la siguiente manera :
\[\left ( \begin{array} {c} 5 \\ 2 \end{array} \right ) =10,\]
o sea 10 parejas de cartas por verificar. Está claro que ninguna de las terceras cartas que se deducen son las mismas : no se puede encontrar Planeta entre esas cinco cartas.

(7) Con siete cartas, ¿se puede siempre formar Planeta ?

La respuesta es sí. Aquí está la prueba.

Supongamos que se dispone de siete cartas sin Planeta. Entre otras, no forman Set, y para toda pareja de cartas, las terceras que forman un Set con una pareja así deben ser todas distintas. Se cuenta de la misma manera : $\left ( \begin{array} {c} 7 \\ 2 \end{array} \right ) =21$ elecciones de parejas de cartas posibles. Si hay tantas terceras cartas de Set como parejas, se contaría en total 21+7=28 cartas rojas, y el juego no cuenta con más que 27. Es una contradicción que concluye la prueba.

Queda el caso donde se saca seis cartas. El grupo de trabajo del Círculo Math Teachers’ puso a prueba por computador todos los séxtuples posibles y la respuesta es la siguiente :
con seis cartas siempre se puede formar un Planeta al menos.

Planeta en dimensión 4

La misma pregunta se plantea cuando se decide no restringirse solo a las cartas rojas. Es el objeto de la última pregunta de la parte anterior reformulada aquí :

(8) En el juego completo, ¿cuántas cartas a lo más se puede sacar sin formar un Planeta ?

El argumento usado en dimensión 3 se adapta en este caso para trece cartas.
Si 13 cartas, o sea 13 puntos, no contienen ningún Set, determinan $\left ( \begin{array} {c} 13 \\ 2 \end{array} \right ) =78$ rectas todas distintas. Si de esos trece puntos no se puede extraer ningún Planeta, eso quiere decir que el juego cuenta al menos con 78+13 =91 puntos. Ahora bien, se ha visto al principio que Set contiene exactamente 81 cartas.

¿Y qué pasa con 12 cartas ? El mismo cálculo desemboca en el hecho de que el juego debe contener al menos 78 cartas, lo que no tiene nada de absurdo. En este caso el método no permite una conclusión. Señalemos primero que hay muchas colecciones de nueve cartas sin Planeta. Este es un ejemplo :

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Se deja a los lectores más pacientes la prueba de que nueve de tales cartas no contienen ni Set ni Planeta. Hay que verificar que si para toda pareja de cartas escogemos la única tercera que completa un Set, entonces esas terceras cartas son todas distintas. Se cuenta en total con 36 de tales parejas. Un programa informático mostró que con diez cartas siempre se puede formar un Planeta.
El mismo programa permite determinar la probabilidad de no sacar Planeta entre nueve cartas. Esta es de
11664/222981055≅0,0000523093, o sea, más o menos 1 oportunidad sobre 19117 de sacar nueve cartas sin Planeta.

Hay una propiedad que tiene todo conjunto de nueve cartas sin Planeta ni Set. Esas nueve cartas forman entonces lo que se llama un ET.

ET

De la misma forma que para un Set, se descompone la definición de un ET en cuatro etapas : ET en color, en número, en forma y en relleno.
Dadas nueve cartas, ellas forman un ET en color si se puede reunirlas de manera tal que formen tres Sets en color. Si sucede lo mismo para cada característica, se habla de un ET. Las nueve cartas representadas más arriba dan un ejemplo de eso.

No se conoce prueba ’’ingenua’’ alguna que asegure que nueve cartas que no forman ni Set ni Planeta, formen siempre un ET, pero un programa exhaustivo mostró que siempre se da el caso. Hay muchos ETs conteniendo Sets o Planetas. He aquí dos preguntas naturales sobre ET :

— Mostrar que para ocho cartas cualesquiera dadas, no hay más que un suplementario tal que las nueve juntas formen un ET.

— ¿Cuál es la probabilidad de obtener un ET sacando nueve cartas al azar ?

Dicho esto, se puede alistar un nuevo juego apoyándose en esos dos nuevos objetos : ET y Planeta. En la última parte se definirán las reglas.

Planeta, el juego

Se coloca nueve cartas sobre la mesa. El objetivo es encontrar Set, Planeta o ET. Cuando un jugador encuentra una de esas combinaciones, la muestra y la retira del juego. Se saca del mazo tantas cartas como las retiradas. El juego sigue hasta que ya no haya suficientes cartas como para que se puede identificar entre las restantes ni Set, ni Planeta ni ET. El ganador es aquel que dispone de más cartas al final del juego.

Comentemos dos ventajas de jugar de esta manera.

Por un lado, ya no es necesario sacar del mazo más de nueve cartas. En efecto, como se dijo, nueve cartas que no contienen ni Set ni Planeta, siempre forman un ET. Así, sin importar lo que ocurra y hasta la penúltima sacada, se dispone exactamente de nueve cartas sobre la mesa. Por otra parte, el juego va menos rápido que Set, porque el ganador es aquel que dispone de más cartas al final de la partida. Uno se interesa en buscar en primer lugar ETs o Planetas más que simples Sets. La búsqueda puede resultar muy lenta y consumir mucho tiempo... Aconsejable entonces para las largas veladas de invierno.

Conclusión

El juego Set contiene muchos tesoros. La geometría y la algorítmica son dos métodos que aquí permiten descubrir algunos secretos. Hay preguntas que quedan abiertas, otras escondidas que están tal vez por revelarse. ¿Qué sucede, por ejemplo, con cartas que están todas ellas inscritas en un espacio de dimensión tres ? ; ¿cómo determinar que cinco cartas son coespaciales ? ; ¿cuál es la probabilidad de sacar cinco de esas cartas ?

Otro enfoque consiste inclusive en cambiar las cartas y aumentar por ejemplo el número de características. La pregunta de saber cuántas cartas se puede sacar entonces sin formar Set está parcialmente resuelta en el artículo de T. Tao aquí. El tema no está agotado y el lector encontrará sin dificultad, ya sea jugador o no, combinaciones nuevas para otros tantos nuevos juegos.

Post-scriptum :

Agradecimientos a Ariane Mézard sin la cual este artículo no existiría, así como a los relectores cuyos nombres o seudónimos son Serge Cantat, Damien Gaboriau, Cidrolin, TheBarber, Sébastien Martinez y Nicolas Chatal.

Article original édité par Serge Cantat

Notes

[1Este articulo es una transcripción del que redactaron Mark Baker, Jane Beltran, Jason Buell, Brian Conrey, Tom Davis, Brianna Donaldson, Jeanne Detorre-Ozeki, Leila Dibble, Tom Freeman, Robert Hammie, Julie Montgomery, Avery Pickford y Justine Wong en el contexto del Math Teacher’s Circle y una comunidad de matemáticos y profesores de secundaria estadounidenses, que se reúnen periódicamente y trabajan sobre problemas abiertos elementales (ver aquí)

[2B. Lent Davis y D. Maclagan, The game Set, Math. Intelligencer 25 (2003), no. 3, 3340.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier, Mariana Haim — «El juego Set» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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