El pliegue y el fruncido

Un teorema de Whitney

Piste rouge Le 1er février 2009  - Ecrit par  Étienne Ghys, Jos Leys
Le 15 avril 2021  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Le pli et la fronce Voir les commentaires
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¿Un vocabulario textil en un texto matemático ? Vamos a buscar cómo describir nuestra percepción visual de la forma de una superficie plisada, como un drapeado por ejemplo. ¿Qué es un pliegue ? Las líneas de pliegues ¿pueden detenerse sobre un tejido ? ¡Tantas preguntas que nos llevarán hasta el inicio de la teoría de las catástrofes !

El contorno aparente

Coloquemos una esfera en el espacio y observémosla.

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Nuestra experiencia cotidiana es que el hombre común ve un disco en su campo visual.

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El borde de ese disco es importante para nuestra percepción visual ya que limita el objeto que se ve y su exterior. En este caso, se trata simplemente de la proyección en un plano $P$ de un círculo trazado sobre la esfera, y que se llama el contorno aparente de la esfera visto desde el punto $p$ (el ojo del observador).

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Cada vez que uno observa una superficie, se ve de hecho su contorno aparente. Cuando uno piensa en eso, si desea dibujar una esfera sobre una hoja de papel, dibuja su contorno aparente. Éste por ejemplo es el contorno aparente de una pelota de rugby...

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¿Cómo determinar el contorno aparente ? Partamos de una superficie $S$ en el espacio. En cada punto $x$ de $S$, se puede considerar el plano tangente a $S$ en ese punto.

Definición : Dada una superficie $S$ en el espacio y un punto de observación $p$, el contorno aparente de $S$ visto desde $p$ es el conjunto de puntos $x$ tales que el plano tangente en $x$ pasa por $p$.

Comprender el contorno aparente es importante ya que es un elemento esencial en nuestra percepción visual. Ya hemos visto a qué se parece el contorno aparente de una esfera o de una pelota de rugby. Vamos a considerar algunas situaciones más complicadas, pero antes vamos a permitirnos una simplificación que de hecho no es absolutamente necesaria.

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Fijemos siempre una superficie $S$ pero observemos $S$ desde muy lejos. En otras palabras, ’’enviemos el punto $p$ al infinito’’, es decir, coloquémoslo muy lejos, sobre una recta horizontal por ejemplo. El cono visual cuyo vértice está lejos va a acercarse a un cilindro, y esto justifica la siguiente definición :

Definición : Dada una superficie $S$ en el espacio, el contorno aparente de $S$ en una dirección dada es el conjunto de puntos $x$ tales que el plano tangente en $x$ contiene esta dirección.

El contorno aparente de una esfera, por ejemplo, es entonces un ecuador de esta esfera.

Los pliegues

Hasta el momento todo es muy simple. Aquí hay un caso un poco más complicado, una superficie que presenta un pliegue :

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Observemos esto ’’perpendicularmente’’ al pliegue :

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Aquí se ve una ’’línea de cresta’’ que nuestro ojo discierne gracias a los cambios de colores. El contorno aparente en este caso contiene una recta horizontal, pero esta vez no limita un interior y un exterior. No quita que sea importante para representar un objeto. Piense por ejemplo en un paisaje montañoso : los elementos más importantes son las líneas de crestas. Algunas crestas efectivamente son un borde en el sentido que forman la frontera entre el cielo azul y la montaña, pero otras no lo son. Detrás de estas crestas hay otras montañas más altas, como en la figura anterior.

Otro punto merece ser mencionado : una parte del contorno aparente está escondida de la vista. En el ejemplo de nuestra superficie plegada, se ve bien que hay una especie de valle que está tan bien escondido que hay otra ’’cresta invisible’’. En ese caso, el contorno aparente está constituido por dos rectas horizontales, una sola de las cuales es visible en la proyección. Observemos esto con las mismas superficies pero dibujándolas un poco translúcidas.

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El fruncido

Por lo tanto, cuando se observa una superficie hay que esperar ver líneas de pliegues. Pero estas líneas ¿pueden encontrarse ?, ¿pueden detenerse de repente ? Vamos a examinar estas preguntas.

Observemos la siguiente superficie :

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Los puntos donde el plano tangente contiene la dirección del eje de los $x$ están repartidos sobre la siguiente curva, que es entonces el contorno aparente en la dirección horizontal del eje de las $x$.

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Pero lo que nos interesa no es verdaderamente el contorno aparente sino más bien su proyección sobre un plano vertical, perpendicular al eje de las $x$, que es ’’lo que uno ve’’. Hagamos entonces girar la superficie de manera que veamos sobre la pantalla la proyección sobre un plano vertical.

Usted ve que el contorno aparente es una bonita curva regular trazada sobre la superficie, pero que su proyección en el plano visual presenta un punto singular, que los matemáticos llaman tanto un punto de regreso, una cúspide, o, en un vocabulario más visual, un fruncido.

Examinemos de cerca este fruncido.

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Está constituido por dos arcos de curvas que vienen a unirse en el punto singular. Esos dos arcos de curva son exactamente del tipo de líneas de pliegues que ya hemos observado.

Si se mira bien, una de esas dos curvas está ’’detrás’’ de la superficie. Está escondida en la proyección. Esta parte del contorno aparente es invisible (pese a que hay que decir que la terminología elegida es desafortunada, ya que ¡lo que es aparente es invisible !). Por elección, uno puede no dibujarla (¡ya que no se la ve !) o bien dibujarla con línea punteada, como se hace en diseño industrial para indicar las líneas que están en segundo plano.

Resumamos lo que pasa en este ejemplo. La superficie es lisa, el contorno aparente también, pero su proyección presenta un punto notable : un fruncido.

Un teorema de Whitney

Un teorema fundamental de Whitney [1] afirma que es eso lo que ocurre en general cuando uno proyecta una superficie (por ejemplo cuando uno la mira...).

Hassler Whitney era un matemático y un profesor excepcional. Uno de los autores recuerda con emoción haberlo encontrado en 1980 cuando él mismo era estudiante y Whitney tenía más de 70 años. Whitney había comenzado una conferencia escribiendo con letras mayúsculas, a todo lo ancho del pizarrón, « MATHEMATICS SHOULD BE FUN ! ». Aquí está él, joven, y aquí menos joven.

Veamos primero un ejemplo más, antes de precisar un poco lo que queremos decir con ’’lo que ocurre en general’’. Éste es un toro de revolución, visto ’’desde lo alto’’ :

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Aquí es fácil : el contorno aparente está constituido por dos círculos que se proyectan sobre dos círculos.

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Pero miremos ahora nuestro toro cuando está inclinado, y dibujémoslo translúcido para ver bien lo que ocurre en segundo plano.

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Aquí, el contorno aparente está constituido por dos curvas lisas y su proyección sobre el plano está formada por una curva lisa y otra que presenta cuatro fruncidos. Están escondidos detrás, pese a que no se les ve. Si el toro no es translúcido, esto es lo que se ve :

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Por gusto, hagamos girar la figura para ver cómo los fruncidos aparecen y desaparecen :

Sea $S$ una superficie lisa en el espacio. A priori el contorno aparente en la dirección vertical puede muy bien no ser una curva lisa. Observemos por ejemplo un toro ’’visto de lado’’ :

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En semejante posición, el contorno aparente está constituido por cuatro círculos, dos meridianos y dos paralelos : no es por lo tanto una curva lisa sobre la superficie, ya que presenta puntos dobles.

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En cuanto a la proyección del contorno aparente, está constituida por dos círculos y dos segmentos : ¡en absoluto como en un fruncido !

Pero cuando uno hace girar un poco la superficie, el contorno aparente se vuelve entonces liso y su proyección es, en efecto, una curva que presenta algunos fruncidos como puntos singulares.
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Progresemos hacia el enunciado del teorema de Whitney... Aquí hay una versión débil :

Teorema : Si $S$ es una superficie lisa en el espacio entonces, haciéndola girar en un ángulo tan diminuto como se quiera si es necesario, su contorno aparente es una curva lisa trazada sobre $S$ y su proyección sobre el plano horizontal es una curva que presenta sólo fruncidos como singularidades.

De hecho, la teoría de Whitney es mucho más general que la del contorno aparente. Tomemos un punto $p$ sobre la superficie $S$ y sea $p'$ su proyección ortogonal sobre un plano. Como la superficie $S$ es lisa, se puede introducir un sistema de coordenadas locales en torno al punto $p$. Dicho de otra forma, localizar los puntos vecinos de $p$ por dos coordenadas, digamos $(x,y)$. Se puede hacer de manera que el mismo punto $p$ posea las coordenadas $(0,0)$. De la misma manera, se puede introducir coordenadas locales, digamos $(X,Y)$, en torno al punto $p'$ en el plano de proyección. De esta manera, se puede observar la proyección de $S$ sobre el plano como una función que transforma un punto $(x,y)$ en otro punto $(X,Y)$ :

\[ T: (x,y) \mapsto (X=f(x,y), Y=g(x,y)). \]

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Es por esta razón que se habla de transformación ’’del plano sobre el plano’’. El objetivo de la teoría consiste en describir localmente ’’casi todas’’ las transformaciones del plano sobre el plano. Comencemos por algunas definiciones.

Un punto $p$ es regular si se puede elegir sistemas de coordenadas
$(x,y)$ y $(X,Y)$ que tal vez sean diferentes de aquéllos elegidos inicialmente, pero que son tales que $X=x$ e $Y=y$ (en otras palabras, ¡la transformación no transforma nada !). Si la transformación $T$ es la proyección de la superficie sobre un plano horizontal, significa simplemente que el plano tangente en $p$ no es vertical, ya que en efecto, en ese caso, se puede elegir $(x,y)$ de cualquier manera y plantear luego $X= x$ e $Y = y$ ; el hecho de que el plano tangente no sea vertical significa exactamente que $(X,Y)$ es un sistema de coordenadas en torno a $p'$ (si para usted no es del todo evidente es normal, ya que una demostración completa no es fácil).

Algunas precisiones

  • La diferencial de $T$ en el punto considerado es la aplicación lineal tangente a $T$. Si se toman coordenadas, está dada por la matriz 2x2 formada por las derivadas parciales de $f$ y $g$ en relación a $x$ e $y$. Un punto es regular si esta matriz es invertible, es decir, si su determinante (que se llama jacobiano) es no nulo. El teorema de inversión local garantiza que cuando un punto es regular, $T$ es una biyección cuyo inversa es diferenciable en torno al punto estudiado. Dicho de otra forma, si se elige cualquier sistema de coordenadas locales $(x,y)$ y si uno plantea $X=f(x,y)$ e $Y=g(x,y)$, entonces $(X,Y)$ es también un sistema de coordenadas locales.

Un punto $p$ es singular si no es regular. El conjunto de puntos singulares es el contorno aparente en el caso donde $T$ es la proyección de una superficie.

Un punto singular es llamado un pliegue si se puede elegir coordenadas convenientes $(x,y)$ y $(X,Y)$ de modo que $X= x$ e $Y= y^2$. Note que para esta aplicación $(x,y) \mapsto (x,y^2)$, los puntos singulares son los de la recta $y=0$ ; el plano está, en efecto, plegado a lo largo de un eje de las $x$.

Algunas precisiones

  • En un punto singular, la diferencial de $T$ no es inversible. Para que se trate de un pliegue se requiere muchas cosas. Primero, que esta diferencial no sea nula, de modo que su núcleo es entonces de dimensión 1. Se puede elegir las coordenadas $(x,y)$ para que ese núcleo sea el eje de las $x$. Para tener un pliegue se pide por lo tanto que la derivada segunda $d^2g/d^2y$ no sea nula en el punto estudiado. Es un teorema donde se puede entonces introducir nuevas coordenadas para que $X=x$ e $Y=y^2$.

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Por ejemplo, el contorno aparente de una esfera -una circunferencia, como ya vimos- sólo contiene pliegues. Cuando uno proyecta una esfera sobre un plano, está plegada a lo largo de su ecuador.

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Antes de dar la definición más difícil, consideremos el ejemplo donde $X=x$ e $Y= y^3 + xy$. Se puede verificar que el conjunto de puntos singulares es la curva lisa de ecuación $3y^2+x=0$ y su imagen es la curva de ecuación $4X^3+27Y^2=0$. Un punto es un fruncido si se puede elegir $(x,y)$ y $(X,Y)$ de tal modo que se reduzca a este ejemplo particular : $X=x$ e $Y= y^3 + xy$ en coordenadas juiciosas.

Algunas precisiones

  • Coloquémonos todavía en un punto singular y supongamos aún que la diferencial de $T$ no es nula. Se puede entonces mostrar que se puede introducir coordenadas tales que $X=x$ e $Y=g(x,y)$. Si el punto estudiado no es un pliegue, la derivada segunda $d^2g/dy^2$ es nula. Es un fruncido si las dos derivadas parciales $d^2g/dxdy$ y $d^3g/dy^3$ son no nulas en el origen. Lo esencial del teorema de Whitney consiste en mostrar que, bajo esas condiciones, efectivamente se puede volver a $X=x$ e $Y= y^3 + xy$.
  • Por ejemplo, cuando $X=x$ e $Y= y^3 + xy$, la diferencial es la matriz
    $ \left( \begin{array}{cc} 1&0\\ y&3y^2+x \end{array} \right) $
    cuyo determinante es $3y^2+x$, de modo que así se encuentre bien la ecuación del lugar singular. Su imagen está dada por la ecuación $4X^3+27Y^2=0$.

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Finalmente, he aquí el teorema de Whitney, bajo una forma más precisa (pese a que no sea la forma completa).

Teorema : Modificando arbitrariamente poco una aplicación de una superficie sobre un plano (u otra superficie), siempre se puede suponer que el conjunto de sus puntos singulares es una curva lisa que presenta sólo pliegues y fruncidos.

Algunas precisiones

  • De hecho, el teorema dice mucho más : afirma que el espacio de las aplicaciones entre dos superficies dadas que presentan sólo pliegues y fruncidos es denso pero también abierto (al menos si la superficie fuente es compacta). Esta propiedad de ser ’’abierto’’ significa que si una aplicación presenta sólo pliegues y fruncidos, lo mismo es verdadero para todas las aplicaciones que son suficientemente cercanas a ella. Se toca aquí el concepto de estabilidad estructural, del cual se hablará, tal vez, en otro artículo.

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Es por esto que si uno mira por ejemplo una bandera, es decir, si se proyecta la superficie de una bandera sobre el fondo de nuestra retina, bueno, hay que esperarse que los puntos singulares formen algunas curvas lisas sobre la bandera, a lo largo de los cuales hay pliegues, y por otra parte, en ciertos puntos aislados hay fruncidos. En esos puntos no ocurre nada en especial sobre la bandera, pero sobre la proyección en nuestra retina, la curva de pliegues pasa por un punto singular y presenta un regreso... A decir verdad, debido a las razones explicadas más arriba, hay que tener en cuenta efectos en primer plano y detrás, si bien algunas partes de las curvas singulares están escondidas de nuestra vista. Pero los pintores saben bien esto cuando dibujan paños colgando.

No corresponde demostrar este teorema aquí, pero vamos a explicar un teorema mucho más simple, conocido desde hace bastante tiempo. Estudiemos las funciones $f$ de una variable real y con valores reales : las inocentes funciones cuyos gráficos uno traza en la escuela. ¿Cómo se estudia una función así ? Se traza su ’’cuadro de variaciones’’. Para esto, se calcula su derivada, y luego se estudia el signo de esta derivada. Ahí donde es estrictamente positiva, la función es estrictamente creciente, y ahí donde es estrictamente negativa, es estrictamente decreciente. En general, pero no siempre, los puntos donde la derivada se anula están aislados y delimitan entonces intervalos consecutivos en los cuales la función es estrictamente creciente o decreciente. Siempre en general, en los puntos donde la derivada se anula, la derivada segunda no se anula, de modo que el signo de la derivada cambia cuando se atraviesa esos valores. En otras palabras, en general, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento se alternan : el gráfico sube, luego baja, luego sube y después baja de nuevo. Los puntos regulares son aquellos donde la derivada es no nula. Cuando la derivada se anula pero la derivada segunda es no nula, se trata de un pliegue : uno puede introducir coordenadas locales $x$ y $X$ tales que $f$ no es otra cosa que $X= x^2$. El teorema elemental es por lo tanto éste : modificando arbitrariamente poco una función de una variable real si es necesario, siempre se puede suponer que sus únicos puntos singulares son pliegues. Aquí está el gráfico de una función típica ; su ecuación es $y= x^3 -x$ :

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Aquí hay una función que no es típica de ecuación $y= x^3$ :

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El gráfico de la función $x^3$ presenta una singularidad que no es un pliegue, ya que en cero las derivadas primera y segunda son nulas. Pero uno puede acercarla por la función $x^3-\epsilon x$ que presenta sólo pliegues si $\epsilon$ es no nulo.

El miniteorema que acabamos de enunciar en dimensión 1 no es difícil : ¿podría el lector demostrarlo solo ? El teorema de Whitney trata de las singularidades de las aplicaciones genéricas entre dos superficies y es... más difícil. Concretamente, significa que un artista tiene mucha razón cuando dibuja un objeto trazando algunas líneas : esos son las diversas componentes de la proyección del contorno aparente. A veces esas curvas parecen detenerse en fruncidos, pero de hecho continúan ¡por detrás !

La teoría de las singularidades

Por supuesto, Whitney no se limitó a las aplicaciones entre dos superficies... También estudió la naturaleza de las singularidades ’’genéricas’’ de las aplicaciones de superficies en el espacio (en otras palabras, funciones lisas de ${\mathbf R}^2$ hacia $\mathbf{R}^3$). Tal vez un futuro Tema del Mes describirá esas singularidades, pero aquí está, en avant première, el ’’paraguas de Whitney’’, la más interesante de las singularidades genéricas (pese a que no está recomendado como verdadero paraguas).

En ecuación, el paraguas es la imagen de la aplicación que envía el punto $(x,y)$ del plano $\mathbf{R}^2$ hacia el punto $ (xy, x , y^2 )$ del espacio $\mathbf{R}^3$.

¿Por qué detenerse en tan buen camino ? ¿Por qué no buscar las singularidades genéricas de las aplicaciones de $\mathbf{R}^n$ en $\mathbf{R}^p$ ? Eso fue hecho por René Thom y John Mather en los años 1970 y se convirtió en una de las piedras angulares de la teoría de las catástrofes (nombre ’’mediático’’ dado a la teoría de las singularidades de aplicaciones diferenciables). La situación se vuelve muy difícil... Mientras que en los ejemplos que acabamos de ver hay sólo un número finito de singularidades genéricas posibles (el pliegue y el fruncido para las aplicaciones entre superficies), para ciertos valores de $n$ y de $p$ hay ahora una infinidad de singularidades genéricas, y eso se vuelve inmanejable. Las dimensiones $(n,p)$ para las cuales hay sólo un número finito de singularidades genéricas se llaman las buenas dimensiones y fueron determinadas por J. Mather en 1970 [2] : son los puntos $(n,p)$ en el plano que no están en la zona roja indicada en la siguiente figura.

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Lamentablemente, la prueba es en extremo complicada...

¿Y hoy en día ?

Hoy en día, los fruncidos y pliegues están considerados como objetos elementales por la mayoría de los matemáticos. Incluso cuando ya no constituyen un objeto de investigación por sí mismos, son actores de la investigación. El teorema de Whitney es de naturaleza local : describe la situación cerca de los puntos singulares, pero no dice nada acerca de la configuración global formada por esas líneas de pliegues.

Aquí hay un ejemplo de problema estudiado en un artículo muy reciente de Toru Ohmoto y Francesca Aicardi [3]. Proyectemos una superficie sobre un plano y observemos la proyección del contorno aparente. Se ve en general algunas curvas, que presentan algunos fruncidos. Pero si uno deforma la superficie, las curvas se deforman, los pliegues se desplazan, etc. La figura de la proyección del contorno aparente se deforma, pero ¿es posible detectar invariantes, cantidades que no cambian durante la deformación ? La siguiente figura muestra algunas de esas deformaciones : ¿puede usted adivinar cuál es la superficie que está proyectada ? Para saberlo, lea este artículo (pero si está muy impaciente por saberlo,
haga click aquí).

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Thom, Dalí, la cola de golondrina y Paisajes Matemáticos

El último cuadro de Salvador Dalí se titula Cola de golondrina y forma parte de una serie dedicada a la teoría de las catástrofes. En 1979, en una conferencia en la Academia de Bellas Artes, Dalí afirmó en efecto que esta teoría de René Thom es ’’la más hermosa de las teorías estéticas’’. La cola de golondrina es una de las singularidades estables que intervienen en la teoría, justo después del fruncido. Éste es el cuadro :

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Por otra parte, este cuadro ha servido como portada para el volumen 2006 de Images des Mathématiques.

Article original édité par Étienne Ghys

Notes

[1Whitney, Hassler : On singularities of mappings of euclidean spaces. I. Mappings of the plane into the plane.
Ann. of Math. (2) 62 (1955), 374—410.

[2Mather, J. N. : Stability of $C^{\infty }$ mappings. VI : The nice dimensions. Proceedings of Liverpool Singularities-Symposium, I (1969/70), pp. 207—253. Lecture Notes in Math., Vol. 192, Springer, Berlin, 1971.

[3Ohmoto, Toru ; Aicardi, Francesca : First order local invariants of apparent contours. Topology 45 (2006), no. 1, 27—45.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «El pliegue y el fruncido» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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