El relascopio

Piste verte Le 4 mars 2014  - Ecrit par  Étienne Ghys
Le 16 novembre 2016  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Le relascope Voir les commentaires

Usted está en un bosque y quiere calcular la cantidad de madera que contiene. ¿Por qué ? Puede ser porque usted es empresario forestal y quiere vender esa madera. ¿O quizás simplemente porque a usted le gusta hacer cálculos ?

Entonces, lo que usted tiene que hacer es comprar un relascopio de Bitterlich.
Tranquilícese, hay algunos muy baratos. Los primeros precios rondan los 20 euros. A decir verdad, todos nosotros disponemos de un relascopio gratuito : nuestro dedo pulgar.

Primero hay que explicar lo que es el área basal de un bosque. En pocas palabras, se trata de la proporción de la superficie total que ocupan los árboles. Para mayor precisión, yo asumo que el bosque está en un terreno plano. Imagine un plano horizontal a 1,3 metros de altura (« altura del pecho »). Ese plano corta los árboles de maneras más o menos circula. El área basal es la proporción de la superficie total ocupada por todas esas secciones de árboles.

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En general se expresa en metros cuadrados (de madera) por hectárea (de bosque).
Por ejemplo, para un bosque de pinos se recomienda una área basal del orden de 20 ${\rm m}^2/{\rm ha}$

Aquí vemos cómo utilizar su dedo pulgar para estimar la área basal. Levante el pulgar con el brazo extendido horizontalmente y gire sobre usted mismo para dar la vuelta a todo el paisaje.

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A veces, usted ve en su campo visual un árbol que es más grande que su pulgar.
Ese árbol es probablemente grande y lejano, o al contrario no muy grande pero cercano.
Cuente la cantidad de esos árboles que son visualmente más gruesos que su pulgar.

Yo multiplico ese numero por 4 y obtengo... el área basal.

Escribí « yo » multiplico porque eso depende por supuesto de las dimensiones del pulgar y del brazo.
Mi pulgar mide $a=2,5 {\rm cm}$ de ancho y una vez que el brazo se extiende se encuentra a $b=63 {\rm cm}$ de mi ojo : ¡acabo de medirlo ! !
Usted debera multiplicar por $2500 \frac{a^2}{b^2}$.
Mida su pulgar y su brazo y haga el cálculo.

Algunos comentarios

Un artículo lleno de humor publicado en la Revue Forestière Française, sugiere que los empleados forestales que tengan la suerte de que su $2500 \frac{a^2}{b^2}$ sea un entero deberían ser promovidos por la administración de aguas y bosques :-)

Evidentemente, incluso si puedo estar seguro que mi $2500 \frac{a^2}{b^2}$ vale (casi) 4, se comprende que yo no puedo encontrar como área basal sino valores enteros múltiplos de 4, y que a eso le falta precisión. Si no yo podría utilizar mi pequeño dedo que produce esta vez casi exactamente un coeficiente 3. ¡Me merezco realmente el ascenso !
Claramente, si uno quiere mejorar la precisión, hace falta brazos largos o dedos muy finos, o incluso fabricar un instrumento de « alta tecnología », basado en esta idea : es el relascopio de Bitterlich.

Los relascopios más antiguos son hechos con « cadenitas ».
En el extremo de una cadena se coloca una pequeña placa que contiene un agujero cuya dimensión se conoce exactamente, más pequeña que un dedo.

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Es este tipo de modelos que el que usted puede comprar por algunos euros.

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Note que para una cadena de 50 cm con un agujero de 1 cm, el coeficiente $2500 \frac{a^2}{b^2}$ es exactamente igual a 1. Práctico...

Pero hay relascopios más elaborados, muy precisos, que funcionan bajo el mismo principio pero que utilizan un visor y graduaciones.
Aquí hay un ejemplo.

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Para conocer el modo de uso, usted puede leer este documento.

¿Cómo funciona ?

Por increíble que pueda parecer, esta técnica que permite medir el área basal fue inventada recién en 1949, mientras que ya hacía siglos que se explotaban los bosques.
La idea es simple, pero había que pensar.

Mientras apunto con mi pulgar (o con mi relascopio), mi vista cubre un sector angular que tiene un cierto ángulo $\alpha$.

El cálculo de $\alpha$ es fácil.

Si yo describo un círculo con el brazo extendido, el perímetro de ese círculo es $2 \pi b$ donde $b$ es la longitud de mi brazo (en mi caso, se obtiene $2\times 3,14 \times 0,63$, o sea cerca de 4 m).

Sobre este círculo yo puedo colocar uno tras otro $2 \pi b/a $ veces mi pulgar ya que éste es de longitud $a$ (en mi caso yo puedo colocar 158 pulgares).

El ángulo visual bajo el cual yo veo mi pulgar es entonces una vuelta completa dividida por $2 \pi b/a $.
Si se cuenta en grados, tenemos entonces $\alpha \simeq \frac{360}{2 \pi} \frac{a}{b}$ grados.
Para mi pulgar, eso hace cerca de 2,3 grados.
 [1]
 [2].

Ahora, consideremos un árbol en el bosque, o más precisamente su sección a 1,3 m de altura.
Supongamos que esta sección sea un disco de radio $r$.
¿A qué condición voy a contabilizarlo dentro de mi cálculo ?
Bueno, si veo ese árbol bajo un ángulo superior a $\alpha$.
Concretamente, eso significa que yo observo el árbol desde un punto situado dentro del disco centrado sobre el árbol y de un cierto radio $R$.
El punto importante es que la relación $R/r$ depende sólo del ángulo $\alpha$ y no del árbol considerado.
Para convencerse de eso, observe la figura :

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Nosotros ya calculamos el ángulo $\alpha$ como si fuera aproximadamente igual a $\frac{360}{2 \pi} \frac{a}{b}$ grados. Por el mismo argumento, también es aproximadamente igual a $\frac{360}{2 \pi} \frac{2r}{R}$ grados. El diámetro $2r$ del árbol corresponde a la talla de mi pulgar y el radio $R$ corresponde a la longitud de mi brazo. Tenemos entonces más o menos

\[ \frac{2r}{R}=\frac{a}{b} \]

y entonces

\[ R= \frac{2b}{a}r. \]

De hecho, no se trata sino de una aplicación del teorema de Thales...

Dicho de otra manera, yo cuento un árbol si estoy en un disco centrado sobre el árbol y de radio $2b/a$ veces más grande que el de (la sección del) árbol (50 veces para mí).

La superficie de un disco es proporcional al cuadrado de su radio, si bien el disco de radio $R$ tiene una superficie igual a aquella del árbol multiplicada por $4 \frac{b^2}{a^2}$.
En mi caso, $2500$ veces más grande.

Resumamos. Cada árbol está rodeado por un disco concéntrico cuya superficie es $4 \frac{b^2}{a^2}$ veces más grande que él.
Si yo estoy en ese disco, yo cuento el árbol y si no, lo ignoro.
El número de árboles descontados es entonces simplemente el número de discos que contienen mi lugar de observación.

Consideremos un bosque de 1 hectárea.
La superficie total de todos esos discos, para todos los árboles del bosque, es entonces $4 \frac{b^2}{a^2}$ veces el área basal.
Por supuesto todos esos discos se superponen en general.
Ahora, hagámonos la siguiente pregunta :
Uno coloca « al azar » sobre una superficie $s$ un gran número de discos cuya superficie total es $S$, bastante más grande que $s$. Si uno toma un punto « al azar » ¿a cuántos discos pertenece en promedio ?
Bueno, intuitivamente uno sabe que la respuesta es $S/s$ : algo así como el número promedio de sobreposiciones.
Utilizando el vocabulario de la teoría de las probabilidades, decimos que la « esperanza matemática » del número de discos a los cuales pertenece un punto elegido al azar en el bosque es igual a $S/s$ [3].

Observe la figura siguiente :

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Sobre un cuadrado, he depositado 20 discos cuya superficie total es alrededor de 2,4 veces la del cuadrado. De ahí resulta que en promedio un punto del cuadrado pertenece a 2,4 discos [4].

Un argumento

De hecho, esta observación resulta de una propiedad importante del concepto de esperanza en la teoría de las probabilidades.

Si usted coloca un solo disco cuya superficie es $S_1$ en una zona de superficie $s$, la probabilidad para que un punto esté en este disco es $S_1/s$, si bien la esperanza de la variable aleatoria « número de discos que contienen un punto aleatorio $x$ » (que vale 0 o 1) es $S_1/s$.

Si usted agrega otros discos, las esperanzas se añaden, simplemente.
La esperanza de la variable « número de discos conteniendo $x$ » es por supuesto $S/s$.

Podemos concluir entonces.
La esperanza del número de árboles que yo contabilizo porque son « más gruesos que mi dedo pulgar » es igual a $4 \frac{b^2}{a^2}$ veces el área basal.
Dicho de otra forma, la esperanza del área basal es igual al número de árboles contabilizados multiplicado por $ \frac{a^2}{4b^2}$, pero si uno quiere utilizar las unidades « metros cuadrados por hectárea » hay que multiplicar por 10000, lo que lleva al coeficiente multiplicador de
\[ 2500 \frac{a^2}{b^2} \]
que para mi pulgar vale 4.

Ahora, por supuesto, es una esperanza en el sentido de las probabilidades, no una certeza.
¿Puede uno confiar en eso ?
Podría ocurrir que yo estuviera situado en un claro ¡y es obvio que yo no mediría gran cosa !
Pero los forestales no son imbéciles y ellos saben dónde situarse. Se trata más bien de una pregunta precisa de teoría de las probabilidades que va a depender de la distribución geográfica de los árboles en el bosque.
Los forestales saben eso, tanto desde un punto de vista teórico como práctico. Por ejemplo, para un bosque « normal » de una hectárea, se recomienda hacer cuatro mediciones con el relascopio en cuatro puntos y sacar a continuación el promedio de resultados.
Para los cálculos de indeterminación, vea el párrafo IV de este artículo [5].

Un remordimiento : Podría ser que un árbol « más grande que mi pulgar » tapara a otro que está detrás de él. Entonces mi cuenta no estaría correcta porque yo no vería al árbol tapado. ¿Son inusuales estas situaciones ? ¿entorpecen el cálculo ? No sé nada sobre eso, y dejo a los lectores de IdM que reflexionen sobre esa dificultad. Para abrir el debate, hago el pequeño cálculo siguiente. En un bosque « normal », de area basal del orden de 25, mi pulgar « detecta » 5 o 6 árboles visibles bajo un ángulo superior a algunos grados. Sería verdaderamente no tener suerte si uno de esos 5 o 6 árboles se escondiera.

Queda una pregunta. Conocer la superficie del bosque, a 1,3 m de altura, está bien, ¡pero lo que uno quiere conocer en verdad es el volumen del bosque !
¿Basta con multiplicar por la altura promedio de los árboles ?
Por cierto que no.
Los árboles por suerte no son cilindros perfectos : sería demasiado triste.
Los forestales introducen un « coeficiente de forma » $f$ más pequeño que 1.
Para obtener el volumen de un árbol, usted multiplica la superficie de su sección a 1,3 m por la altura y multiplica el resultado por $f$.
La literatura es enorme sobre la determinación de $f$, pero para simplificar, para los pinos por ejemplo, se elige a menudo $f=0,8$.

Por supuesto, el relascopio permite también medir las alturas de los árboles.
Pero se trata de una aplicación más conocida del teorema de Thales sobre la cual volveré tal vez en un otro artículo de IdM.

La pequeña historia

La ficha Wikipedia de Walter Bitterlich en francés dice solamente : « nacido el 19 de febrero de 1908 y muerto el 9 de febrero de 2008, es un forestal de renombre mundial. Es particularmente conocido por haber inventado el relascopio, que permite medir el área basal de una parcela en el bosque. ». ¿Renombre mundial ? veo que los forestales son como los matemáticos : convencidos de que son famosos.

La página inglesa entrega muchas más informaciones. Ahí uno aprende que la idea del relascopio fue presentada en 1949 en el Congreso Internacional Forestal en Helsinki y que generó grandes torbellinos en la comunidad científica mundial.

¿La app Relascopio en su teléfono móvil ?
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¡Y sí, existe ! acabo de descubrir iBitterlich y de descargarlo ! Una versión para Android existe también.

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Post-scriptum :

Un gran agradecimiento a Bruno Sévennec y Claude Danthony que me revelaron la existencia de este instrumento maravilloso. Gracias a Clément M, janpol3, Frédéric Paccaut, Marcus Mildner y Serge Cantat por sus atentas relecturas y sus consejos.

Article original édité par Serge Cantat

Notes

[1Si uno mide en radianes, se tiene simplemente $\alpha \simeq \frac{a}{b}$ radianes.

[2Aquí hay algunos trucos para evaluar ángulos visuales. Con la mano extendida y los dedos separados, uno ve 20 grados. Si los dedos no están separados, se ve 10 grados. El ancho del índice define un ángulo de un grado.

[3Si yo participo en un juego de azar y gano una suma de 100 euros con una probabilidad de 1/4, de 20 euros con probabilidad de 1/2 y nada con una probabilidad de 1/4, la « esperanza » de mi ganancia es $\frac{1}{4} \times 100 + \frac{1}{2} \times 20 + \frac{1}{4} \times 0$, es decir 35 euros. Esta es la estimación de mi ganancia antes de jugar. Como se ve, la esperanza no es sino un promedio ponderado por los coeficientes que son las probabilidades.

[4Un relector de este artículo, tal vez un poco puntilloso, me insistió que los discos asociados a los árboles de la orilla salen del bosque. Por supuesto, tiene razón, pero yo no consideraría este « efecto de borde ».

[5En este artículo, el autor recomienda otro artículo para el cálculo de la indeterminación, « que no interesará sin embargo al lector si integrales y diferenciales no le repelen... »

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «El relascopio» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Crédits image :

Image à la une - http://www.amazon.com/The-relascope-Bitterlichs-Relaskop-throughout/dp/0950046809
img_11418 - http://academie-du-crepuscule.xooit.fr/t6-Foret-des-brumes-nocturnes.htm

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