El sueño de la Razón

Le 25 décembre 2019  - Ecrit par  Javier Fresán
Le 4 juillet 2022  - Traduit par  Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier
Article original : Le rêve de la raison Voir les commentaires

Cet article a été écrit en partenariat avec L’Institut Henri Poincaré


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El Instituto Henri Poincaré e Images des Mathématiques han unido sus esfuerzos para supervisar la reedición de la colección El mundo es matemático, publicado por RBA en convenio con Le Monde. En 40 obras, esta colección de calidad, -resultado de un proyecto colectivo de matemáticos españoles- aspira a presentar a través de una gran variedad de puntos de vista, de múltiples facetas, las ciencias matemáticas, bajo un aspecto histórico, humano, social, técnico, cultural...

Revisado y mejorado al nivel de la forma, esta nueva edición fue completamente leída y corregida por el equipo de Images des Mathématiques. Se agregó prefacios y listas bibliográficas. Le Monde consagra un suplemento especial para el lanzamiento de esta colección presentada por Cédric Villani, quien escribió el prefacio original.

Cada semana, con la salida de un nuevo número de la serie, un extracto seleccionado será presentado en Images des Mathématiques. Estará acompañado por un índice del libro y una invitación a prolongar su lectura.

Extracto del Capítulo 3 - El programa de Hilbert

Dios existe porque las matemáticas son coherentes, y el Diablo existe ya que no podemos demostrarlo.
Cita atribuida a André Weil

’’¿A quién no le gustaría levantar delicadamente el velo detrás del cual se esconde el porvenir, para entrever los progresos futuros de la ciencia y los secretos de su desarrollo ?’’

Un nuevo siglo comenzaba y millares de personas se paseaban por los pabellones de la Exposición Universal de París, bajo el fuerte sol de agosto.
Durante ese tiempo, David Hilbert había tomado la palabra en el anfiteatro Chasles de la Sorbona y, por primera vez en un congreso internacional de matemáticas, trató no de lo que había sido demostrado sino de lo que quedaba por descubrir.

Nadie dudaba que David Hilbert era el mejor matemático de su generación. Sin embargo, su conferencia había sido relegada a una de las secciones secundarias del congreso, al lado de un estudio sobre los antiguos geómetras japoneses y la propuesta de adopción de un lenguaje científico común a todos los países. Por supuesto, a David Hilbert le habían solicitado que diera una de las conferencias plenarias de la reunión de París, pero el matemático alemán había demorado tanto en elegir su tema que los organizadores debieron finalmente excluirlo del programa. Viéndolo subir al estrado con sus lentes tan característicos, el público se preguntaba qué podría haber hecho durante todo ese tiempo..

’’La Historia nos ha mostrado la continuidad del desarrollo de la ciencia. Sabemos que cada época tiene sus problemas particulares y que incumbe a la generación siguiente ya sea resolverlos, ya sea descartarlos porque son inútiles y reemplazarlos por otros’’. Hilbert estaba convencido de que el único motor del progreso de las matemáticas era la resolución de problemas. Es por eso que -dirigiéndose al auditorio de la Sorbona- el director de la escuela de Göttingen insistió mucho en lo que significaba realmente resolver un problema, es decir, acerca de la importancia de encontrar una demostración que -partiendo de un número finito de hipótesis formuladas en términos exactos- llevara a la conclusión en un número finito de deducciones rigurosas.
Para ilustrar esas ideas, Hilbert elegió las veintitrés preguntas que, según él, marcarían el curso de las exploraciones matemáticas del siglo XX, sin tener el tiempo para comentarlas todas. El testimonio de sus amigos, los matemáticos Hermann Minkowski (1864-1909) y Adolf Hurwitz (1859-1919), mostró que le había sido difícil elegir los problemas que él presentó en París. Sin embargo, no dudó ni por un instante en la necesidad de incluir uno entre los de esta selección. El segundo de la lista era la pregunta siguiente, aparentemente inocente : los axiomas de la aritmética ¿son no-contradictorios ?

El problema del cardinal del continuo

En el capítulo anterior, vimos que uno de los grandes descubrimientos de Georg Cantor consistía en demostrar que todos los conjuntos infinitos no tenían el mismo tamaño. En efecto, el argumento diagonal pone de relieve el hecho que hay menos enteros naturales que series infinitas de $0$ y de $1$. El primer problema de la lista de Hilbert pide responder, afirmativa o negativamente, a la pregunta de saber si existe un conjunto cuyo cardinal sea superior a aquel de los enteros naturales pero inferior al de las series de 0 y de 1. Gracias a los trabajos de Kurt Gödel (1940) y de Paul Cohen (1963), matemático de la universidad de Stanford, se sabe hoy en día que ese problema no puede ser demostrado ni refutado a partir de la axiomatización habitual de la teoría de conjuntos.

Cuando Hilbert presentó su conferencia, el 8 de agosto de 1900, las primeras paradojas de la teoría de conjuntos ya habían hecho su aparición, pero faltaba aún un año para que Russell descubriera la contradicción que encendería todas las alarmas. La difusión de la paradoja del conjunto de todos los conjuntos que no forman parte de sí mismos será rápida y conmocionará los círculos de matemáticos europeos : en Inglaterra, Whitehead anunciaría el fin de las ’’mañanas felices y tranquilas’’ ; en Alemania, Frege se resignaría a añadir un anexo a sus Fundamentos de la aritmética y en Francia, Henri Poincaré, enemigo de la lógica matemática, repitiría victoriosamente : ’’La lógica formal no es solamente estéril, ¡sino que engendra contradicciones !’’ Si se esperaba una respuesta brillante de alguien, era por supuesto de David Hilbert, a quien se miraba como una verdadera reencarnación de Euclides luego que hubo abandonado el estudio de la teoría de los números para publicar, en 1899, una axiomatización de la geometría que inauguró el punto de vista actual.

Sin embargo, Hilbert no se dio el trabajo de buscar una respuesta que pasara a la posterioridad, con las de Whitehead, Frege y Poincaré : no era necesario cuando se sabía cómo eliminar las paradojas de las matemáticas.

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David Hilbert était la personne la plus indiquée pour mettre fin aux paradoxes.

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Sommaire du livre
Post-scriptum :

El extracto propuesto fue elegido por el autor del prefacio del libro Jérôme Buzzi. Él responderá los eventuales comentarios.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «El sueño de la Razón» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Crédits image :

Image à la une - Marion Bucciarelli

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