El teorema de Pitágoras : una pequeña guía

Le 18 avril 2020  - Ecrit par  Serge Cantat
Le 25 mai 2020  - Traduit par  Andrés Navas
Article original : Le théorème de Pythagore : un petit guide Voir les commentaires
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Una pequeña guía para descubrir el Teorema de Pitágoras a través de Paisajes Matemáticos.

El teorema de Pitágoras es una suerte de pasatiempo de los geómetras, por lo que no es sorprendente que aparezca regularmente en los artículos de Paisajes Matemáticos. Para orientarse, le ofrecemos un archivo que agrupa los textos del sitio que permiten familiarizarse con el teorema de Pitágoras, digerirlo y abrir nuevos horizontes. Nos pareció que este archivo podría ser útil para profesores, alumnos y estudiantes [1].

Tenga en cuenta que Paisajes Matemáticos no ofrece textos escolares directamente relacionados con los programas. Por lo tanto, no encontrará cursos preparados o ejercicios corregidos. Sin embargo, leer los textos que ofrecemos le permitirá consolidar su conocimiento y cuestionar su visión del teorema ; también le permitirá leer en grupo, diseccionando el contenido, criticándolo, compartiéndolo. Por cierto, también puede compartir sus frustraciones y maravillas : a fin de cuentas, es así como funcionan las matemáticas.

¿De qué se trata ?

Y bien, ¿qué dice el teorema de Pitágoras ? :

Teorema de Pitágoras.— En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos otros lados. Dicho de otra forma, en un triángulo en que el ángulo mayor es recto (es decir, mide 90º), las longitudes de los tres lados verifican la relación
\[ c^2=a^2+b^2, \]
donde $c$ es la longitud del lado mayor (la hipotenusa) y $a, b$ son los dos otros [2].

El lado más largo es siempre el que mira hacia el ángulo recto. Por lo tanto, también podemos definir la hipotenusa como el lado opuesto al ángulo recto.
El número $a^2 = a \times a$ es igual al área de un cuadrado cuyo lado es de longitud $a$. Si el teorema habla de las relaciones entre las longitudes de los lados, también habla, implícitamente, de áreas de ciertos cuadrados [3]. Ahora estamos listos para visitar la carpeta de Paisajes Matemáticos sobre el tema.

Para empezar : ¡la geometría !

Si es debutante con el Teorema de Pitágoras, lo mejor no es empezar con Paisajes Matemáticos. Pero si ya tiene un cierto bagage, Puede hallar una demostración no tan convencional en los artículos Corte de Airy y Teorema de Pitágoras, u otra, más delicada, Una nueva prueba del Teorema de Pitágoras.

Verá que, en estos dos artículos, las demostraciones propuestas son del mismo tipo : la relación de Pitágoras $c^2=a^2+b^2$ es interpretada como una igualdad entre áreas, y para establecer esta igualdad los autores utilizan métodos de corte y pegado para reagrupar figuras sin cambiar áreas. El problema de determinar las condiciones para las cuales una figura geométrica es equivalente a otra por corte/pegado, así como obtener el corte más económico, es a la vez elegante y entretenido, y ha impulsado innumerables investigaciones [4]. He aquí una lista de tres textos ’’marcados en azul’’ que tienen relación con este tema y se conectan con el teorema de Pitágoras :

Si además de la matemática le gusta la literatura, lo mejor es, sin duda, viajar a encontrar una prueba del teorema en la novela de Enrico Castelnuovo titulada ’’El Teorema de Pitágoras’’ [5]. Y para concluir este primer capítulo geométrico, puede contemplar algo hermoso, Un árbol pitagórico.

Para continuar : los números enteros

El Teorema de Pitágoras es a menudo empleado para calcular longitudes. He aquí un ejemplo de problema que me gusta mucho : Dos rieles de tren de diez metros de longitud están indolentemente dispuestos sin dejar espacio entre ellas : empalman uno directo contra el otro. Llegado el verano, los rieles se dilatan por efecto de la temperatura : se extienden un 1% y empujan uno al otro, como en la figura de abajo. Estimar la altura $h$ de elevación al punto de contacto entre las dos líneas [6] . Este cálculo ilustra perfectamente el encanto del Teorema de Pitágoras, ya evocado aquí [7]

Los dos rieles van de A a B el primero y de B a C el segundo. Están fijados en A y C, respectivamente. Tras la dilatación, el riel de la izquierda corresponde al segmento [AD], y el de la derecha al segmento [DC].

Pero el Teorema de Pitágoras esconde también algunos tesoros aritméticos relacionados con los triples pitagóricos. Se trata de los triples de enteros positivos $a$, $b$ y $c$ tales que $a^2+b^2=c^2$. Por el Teorema de Pitágoras y su recíproco, estos corresponden a los triples de enteros que son longitudes de los lados de un triángulo rectángulo de modo que (1) las tres longitudes sean números enteros y (2) $c$ corresponde a la hipotenusa. Estos triples pitagóricos poseen propiedades notables, como se puede apreciar en :

Finalmente, en Ls decimales de $\pi$, se enterará de cómo el Teorema de Pitágoras interviene en el cálculo del perímetro de un polígono y, de paso, en la estimación del número $\pi=3.141592...$.

Un poco de astronomía

Ahora nos alejamos mucho de las nociones elementales evocadas en el aprendizaje de la geometría en la escuela... Sin embargo, sería lamentable pasar de largo de los artículos siguientes, accesibles sin un gran bagage matemático :

Si el primero recuerda más bien la escuela pitagórica que el teorema, el segundo le instruirá cómo usarlo, como Galileo, para estimar la altura de las montañas de la Luna. Cronológicamente, Galileo queda a medio camino entre Li Ye (1192—1279) y nosotros : K. Chemla describe un pasaje de los escritos de Li Ye en Una figura puede esconder otra.

Geometría, programas y debates

El Teorema de Pitágoras ocupa una plaza de excepción en geometría, en especial para la geometría auclidiana del plano, aquella que utilizamos a menudo y que se enseña en el liceo. Sin embargo, también interviene en dimensión superior, y en otras geometrías :

También, cuando su enseñanza es puesta en cuestionamiento, los matemáticos debaten arduamente :

Buena lectura

Esta introducción al dossier Pitágoras solo hace referencia a artículos de etiquetas verde o azul que utilizan o presentan el teorema de Pitágoras. También hay artículos más difíciles. En etiquetaa roja :

Aún más confidenciales : Una correspondencia algebraica, y Ornamentos y cristales, embaldosados y grupos (I). Buena lectura.

Notes

[1y, como de costumbre, a toda persona interesada en las matemáticas.

[2Escribiendo este texto enriquecí mi vocabulario : los dos lados adyacentes al ángulo recto son (a veces) llamados catetos. Así, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos (gracias a Aurélien Alvarez)

[3El vocabulario es excelente y engañoso. El cuadrado del número $a$ es el número $ a \times a$, que denotamos $a^2$ ; así, tomar el cuadrado de $a$ es calcular el resultado de la operación $ a \times a $. Si dibujamos un cuadrado (¡aquí estoy hablando de la figura geométrica !) cuyos lados tienen una longitud $a$, entonces el área de este cuadrado es $ a \times a $. Por lo tanto, hay dos nociones de ’’cuadrado’’, una algebraica ($ = a \times a $), y la otra geométrica ($ = $ la figura), que están vinculadas por el cálculo del área. En este sentido, el vocabulario utilizado es engañoso, ya que el mismo término se usa para dos conceptos distintos ; pero es excelente porque nos permite tener en cuenta perpetuamente el vínculo entre el cálculo algebraico y la geometría.

[4Esto incluye investigación reciente en matemáticas fundamentales, donde las nociones de figura, corte y pegado ya no se limitan a la geometría euclidiana del plano.

[5Personamente, no me gusta mucho esta demostración un poco alambicada, pero ella nos entrega un bello ejercicio de geometría, y la novela de Enrico Castelnuovo es una delicia irrisoria llena de amor paternal.

[6Denotemos $L$ la longitud de un riel ; por hipótesis, $L$ vale $10$ mts. Denotemos $p$ el porcentaje de dilatación : $p=1/100=1$%. Tras el calentamiento, la longitud de cada riel es $L+pL$. Consideremos el triángulo cuyos vértices son $A=$ el punto de unión del primer riel, $B=$ el unto de contacto inicial de los rieles, y $D=$ el punto de contacto de los rieles después de la dilatación. Estos forman un triángulo rectángulo en $B$, al que podemos por tanto aplicar el teorema de Pitágoras. Como las longitudes de los lados son $L$, $h$ y $L+pL$, obtenemos
\[(L+pL)^2=L^2+h^2.\]
Desarrollando el término de la izquierda obtenemos $L^2+2pL\times L+ p^2L^2$ ; restando $L^2$ de los dos lados obtenemos entonces la relación \[h^2=2pL^2+p^2 L^2.\]
Antes de calcular $h$ de manera precisa, notemos que si despreciamos el término $p^2L^2$ podemos minorar $h^2\geq 2pL^2$, lo cual da
\[ h\geq \sqrt{2p} L.\]
Así, volviendo a los valores exactos de $p$ y $L$, obtenemos $\sqrt{2p}\geq 1.4/\sqrt{100}\geq 0.14$ y $h\geq 1.41$ mts. El valor más preciso obtenido al no despreciar ningún término es $h=1.4177...$ mts. ¡Los rieles se elevan entonces cerca de $1.4$ mts ! Ciertamente, este ejemplo no es realista. Consideremos un alargamiento inferior, de $0.01$% (lo cual sí es realista). Tenemos entonces $p=1/10000$, y los rieles se elevan de cerca de $1.4$ cm.

[7Agradezco a Andrés Navas por haberme indicado la tribuna de Pierre Gallais : el ejercicio que propone al final de su texto es esencialmente igual al de los rieles de tren.

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Pour citer cet article :

Andrés Navas — «El teorema de Pitágoras : una pequeña guía» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - Wikipedia commons, fotografía de una escultura del Museo Capitolini (Rome).

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