¡ El valor de pi no es el correcto !

Le 18 octobre 2015  - Ecrit par  Aurélien Alvarez
Le 6 mars 2020  - Traduit par  Andrés Navas
Article original : La valeur de π n’est pas la bonne ! Voir les commentaires
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Escoger buenas notaciones en matemáticas es importante si no queremos complicarnos inútilmente la vida [1]. Lamentablemente, para la humanidad (al menos, para una parte de ella...), una elección equivocada fue hecha hace mucho tiempo : ¡el valor de pi no es el correcto ! Y las consecuencias son catastróficas ;-).

Todo comenzó hace unos días en un grupo de trabajo, cuando el orador se
entretenía pegando las caras de un poliedro con el objetivo de construir la esfera dodecaédrica de Poincaré [2]. En ese momento se produjo un drama : teníamos que hacer una rotación de un décimo de giro, es decir, $\frac{\pi}{10}$ ..., ummmm ehhhhh ¡no ! ¡ Es $\frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}$ ! Mi vecino
 [3] me hizo notar inmediatamente que el problema es que el valor de $\pi$ fue mul mal escogido [4]. Debiésemos más bien ’’reemplazar’’
\[\pi = 2\pi,\]
es decir, $\pi = 6,28...$, y no $\pi = 3,14...$ : la vida sería entonces un poco más armoniosa :-). Dicho esto, me citó un artículo de Bob Palais titulado simplemente ’’$\pi$ is wrong !’’. Se lo puede hallar (en inglés) en esta página web ; abajo replico algunos de sus argumentos.

Primer argumento : la idea de expresar los ángulos en radianes y no en grados queda saboteada por el hecho de que $\pi$ no corresponde a una vuelta completa, sino a media vuelta. De hecho, un enésimo de vuelta no es $\frac{\pi}{n}$, como debería serlo.

Segundo argumento : una gran cantidad de fórmulas matemáticas se contaminan con la aparición de un factor 2. Entre ellas, la fórmula integral de Cauchy, las fórmulas de las series de Fourier, la fórmula de equivalencia de Stirling, la distribución gaussiana, los teoremas de Gauss-Bonnet, las ecuaciones del electromagnetismo, la constante de Planck, la fórmula de Euler, etc.

¡¿Quién no preferiría que las venerables funciones seno y coseno sean
$\pi$-periódicas ?!

Tercer argumento : el área de un disco sería $\frac{1}{2}\pi r^2$, que no puede dejar de compararse a las famosas fórmulas en mecánica $\frac{1}{2}g t^2$ (distancia recorrida en tiempo $t$ por un cuerpo en caída libre en el vacío)
y $\frac{1}{2}m v^2$ (energía cinética de un cuerpo de masa $m$ y rapidez $v$).

Cuarto argumento : ¡ imagine en qué locura de mundo viviríamos si se hubiese definido el número complejo $i$ como $\frac{\sqrt{-1}}{2}$ en lugar de $\sqrt{-1}$ ! Y bien, vivimos en una locura análoga debido a nuestro querido $\pi$. Si los extraterrestres nos escucharan y supieran que hemos dado un nombre especial a 3,14..., y no a 6,28..., ¡ entonces nos tomarían por verdaderos salvajes ! Como seguramente recibirían este mensaje en código binario, nuestra única salvación sería que piensen que un bit se perdió en la transmisión...

Terminemos con algunas fórmulas que habrían podido ser más hermosas :

\[\mathrm{sen}(x + \pi) = \mathrm{sen}(x)\]

\[\text{e}^{i\pi} = 1\]

\[n! \sim \sqrt{\pi n} n^n \text{e}^{-n}\]

\[A = \frac{1}{2}\pi r^2\]

\[ℏ = \frac{h}{\pi}\]

\[T = \frac{\pi}{\omega}\]

\[90° = \frac{\pi}{4}\]

\[c_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi}f(x)\text{e}^{i\pi x} dx\]

\[f(a) = \frac{1}{i\pi} \int_C \frac{f(z)}{z-a} dz\]

\[\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{-\frac{1}{2}x^2} dx = 1\]

\[\zeta^k = \text{e}^{\frac{ik\pi}{n}}, k = 0 \cdots n\]

Debemos reconocer que hacer $\pi = 2 \pi$ [5] podría ser un poco confuso... También parece preferible escoger una nueva notación, y la que aparece inmediatamente es $\tau$.
¡El cambio es ahora !

El manifiesto por $\tau$ (en inglés) : http://tauday.com

Y, obviamente, el día de $\tau$, ¡el 28 de junio de cada año !

Notemos finalmente que nada impide coexistir a las dos notaciones $\pi$ y $\tau$ [6]. Podríamos imaginar que, con el paso del tiempo, la mejor notación acabaría imponiéndose...

Post-scriptum :

Esta anécdota me recordó el primer curso de relatividad que seguí hace ya varios años. El profesor, que era apenas mitad teórico ;-), comenzó así su primera clase : « Buenos días. En este curso, la velocidad de la luz, denotada $c$, será igual a 1. » Y continuó sin volver a preocuparse del asunto... De hecho, redefiniendo $\pi$,¡ yo propondría simplemente hacer $2\pi = 1$ !

Pero bueno, como supongo que ya algunos han puesto mala cara, esperemos un poco antes de esta segunda reforma a los programas escolares, cuando el perímetro de una circunferencia sea igual a su radio y nuestras venerables funciones trigonométricas seno y coseno sean 1-periódicas :-).

Notes

[1Ver el artículo de Christine Huyghe.

[2¿Qué ? Lo mejor para entender esto es escuchar a Nicolas Bergeron, quien explica esta construcción en detalle (aunque en francés...).

[3al que no denunciaré, pero que recorre discretamente este sitio y supervisa la recetar de los artículos (de paso, muchas gracias a é y su colega por su trabajo).

[4El sospechoso número 1 pareciera ser William Jones en un escrito de 1706. La notación fue retomada por Euler a partir de 1737, y luego fue universalmente aceptada.

[5como lo haría cualquier buen programador...

[6Aunque esta proposición sería un poco menos revolucionaria que la de cambiar de un día para otro el valor de $\pi$...

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Pour citer cet article :

Andrés Navas — «¡ El valor de pi no es el correcto !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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