Elecciones, votos y comicios : el teorema de Arrow

Piste rouge Le 4 avril 2012  - Ecrit par  Jean-Yves Briend
Le 4 avril 2012  - Traduit par  Edgard Araya, Andrés Navas, Pilar Garcés
Article original : Choix, votes, élections : le théorème d’Arrow Voir les commentaires
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El teorema de Arrow es como una flecha que habría matado a la democracia : ’’¡toda democracia es una dictadura !’’. Afortunadamente, la democracia es dura...

En La República, Platón escribe que, en su opinión, la ’’democracia surge cuando los pobres, habiendo ganado la victoria sobre los ricos, masacran a unos, destierran a otros, y comparten por igual con los que quedan el gobierno y los cargos públicos ; y la mayoría de las veces estos cargos se extraen por sorteo.’’ Así, votar para elegir presidente o diputados no es, contrariamente a lo que se nos hace creer, garantía de vida en democracia. Sin embargo, incluso en la democracia ateniense se podía convocar a una asamblea a votar para tomar una decisión. Así, por ejemplo, un comité de selección a cargo de contratar a un profesor en la universidad vota para clasificar a los candidatos para este puesto.

El problema de la votación ha interesado a los estudiosos durante mucho tiempo. Mucha gente ha oído hablar de la paradoja de Condorcet [1], enunciada por él en el siglo XVIII, pero menos son los que han leído los artículos de aritmética política de Gergonne a principios del siglo XIX. Aquí discutiremos brevemente un resultado de 1950 debido a Kenneth Arrow.

El artículo de Arrow

Su artículo se titula Una dificultad en el concepto de bienestar social y apareció en la Revista de Economía Política [2]. Kenneth Arrow recibió el Premio del Banco de Suecia en Ciencias Económicas en memoria de Alfred Nobel [3] en 1972. En la larga introducción de su artículo escribe que ’’la racionalidad se identifica con una maximización’’ ; incluso si ante las dificultades la definición de racionalidad debe ser debilitada, ésta debe ser solo un paso previo a la ’’determinación de un verdadero máximo social en sentido pleno y total.’’ Más adelante, plantea la hipótesis de que ’’los individuos actúan racionalmente’’.

Los comités de selección son un ejemplo que ilustra la plena validez de tal hipótesis de acción racional, ya que sus miembros son elegidos cuidadosamente para que sean modelos de racionalidad. Por otro lado, en la nueva gobernanza universitaria [4] buscamos maximizar una cantidad numérica, a grosso-modo el factor de impacto de un investigador. Se alcanza así, sin duda, un verdadero óptimo social.

Arrow formaliza matemáticamente la noción de acción racional en lo que él llama un ’’mapa de indiferencia’’ que es, aproximadamente, una clasificación de posibilidades entre las que elegir. En otras palabras, cada votante debe ser capaz de clasificar las posibilidades que se le ofrecen sin ambigüedad : su voto es una lista ordenada (primero : fulano, segundo : otro-fulano, etc.) de las opciones propuestas (es decir, en el caso de un comité de reclutamiento, de los distintos candidatos).

El teorema de Arrow

Vayamos al enunciado del teorema de Arrow. Un determinado número $N$ de individuos (una docena para un comité de selección) debe votar para elegir una clasificación de $n$ opciones (“¿reclutar a Euclides, al-Khwarizmi, Euler, Gauss o Poincaré ?”, por ejemplo). La mayoría de las veces las opciones están numeradas, como debería ser en una democracia moderna. En el caso del reclutamiento y para preservar el anonimato de los candidatos, los enumeraremos por número de seguro social, pero mantendremos su nombre aquí por conveniencia. En el marco considerado por Arrow, la votación se desarrolla de la siguiente manera : cada individuo $I_k$ elige una clasificación de las opciones propuestas. Por lo tanto, el primer miembro del comité de selección elige, por ejemplo, la siguiente clasificación : 

Poincaré 1, Gauss 2, Euclides 3, Al-Khwarizmi 4 y Euler 5,

mientras que el segundo votante consulta un sitio de numerología para establecer su ranking que es

Euler 1, Poincaré 2, Euclides 3, Gauss 4 y Al-Khwarizmi 5.

El voto del individuo $k^e$ será una lista ordenada $O_k$ del conjunto de opciones. Esta lista es inequívoca sobre el orden elegido ; en otras palabras, para cualquier par de opciones $x,y$, el votante elige una y sólo una de las posibilidades : ’’Yo clasifico a $x$ antes que a $y$’’ o ’’Yo clasifico a $y$ antes que a $x$’’. Por otro lado, esta clasificación es tal que si el votante prefiere $x$ a $y$ e $y$ a $z$, entonces prefiere $x$ a $z$. En términos matemáticos, decimos que el votante propone una relación de orden total sobre el conjunto de opciones.

Una vez que cada votante ha hecho su elección, la familia de listas ordenadas $(O_1, \ldots, O_N)$ se ingresa en una máquina que genera una clasificación $O^c$, que se supone que es la clasificación representativa de la voluntad de la mayoría.

En el ejemplo del comité de selección, tenemos las 12 clasificaciones propuestas por los 12 miembros del comité, de las cuales se pueden escribir las dos primeras
Poincaré > Gauss > Euclides > Al-Khwarizmi > Euler
y
Euler > Poincaré > Euclides > Gauss > Al-Khwarizmi.

El séptimo votante proporciona la siguiente lista :

Euclides > Gauss > Al-Khwarizmi > Poincaré > Euler.

Hizo un sorteo discreto, no pudiendo ordenar completamente esta lista sin una discusión profunda con sus colegas que permitiera identificar, por ejemplo, que es Al-Khwarizmi quien sería más apropiado para ser un futuro colega en su laboratorio. El séptimo votante es conocido por su falta de racionalidad.

Una vez que se han recogido los votos en un sombrero grande, el presidente del comité ingresa todos estos pedidos en su iPad y el programa proporcionado por la presidencia de su universidad produce la clasificación que se propondrá al consejo universitario. Para evitar cualquier protesta, ésta no se transmite a los miembros del comité, por lo que el suspenso es insoportable.

En definitiva, el corazón de la maquinaria electoral es una aplicación, llamada por Arrow función de elección social, que a cada voto representado por un conjunto de $N$ clasificaciones $(O_1, \ldots, O_N)$ asocia una única clasificación $O^c$. A esta deberíamos más bien llamar $C(O_1, \ldots, O_N)$ para recordar que esta clasificación, que se supone que representa la clasificación socialmente óptima, obviamente depende del voto.

Le pedimos a la función de elección social que satisfaga un cierto número de propiedades que parecen requisitos bastante naturales para que proporcione una clasificación que sea incluso ligeramente representativa de los deseos de los votantes :

— el principio de unanimidad, que establece que si todos los individuos prefieren la opción $x$ a la opción $y$, entonces la elección final prefiere $x$ a $y$. En otras palabras, si para cualquier individuo $k$ tenemos $x>y$ en la clasificación $O_k$ elegida por $k$, entonces $x>y$ en la elección social $O^c$. En el comité de selección, está claro que si todos prefieren a Poincaré sobre Euler, entonces la votación final también debe ubicar a Poincaré por delante de Euler ;

— la ausencia de un dictador estipula que la función de elección social no coincide permanentemente con la elección de uno de los individuos (el dictador), cualesquiera que sean las elecciones de los demás votantes. En otras palabras, no hay ningún $I_k$ individual tal que cualquiera que sea el voto $(O_1, \ldots, O_N)$, $O^c$ sea igual a la elección $O_k$ de $I_k$. En el ejemplo del comité de selección, el programa ingresado en el iPad del presidente no debe mostrar sistemáticamente la elección del presidente ;

— independencia de las alternativas. Para entender este requisito, imaginemos que un mismo comité de selección vota dos veces seguidas sobre la misma lista de candidatos ya que, por ejemplo, se les ha caído el sombrero en el que se recogen las papeletas. Algunos votantes pueden haber cambiado de opinión entre las dos votaciones. Sin embargo, si en las dos votaciones las posiciones relativas de Euler y Poincaré son las mismas para todos los votantes, entonces el principio de independencia a las alternativas estipula que para las dos votaciones, la clasificación final dada por el Ipad del presidente ordenará a Euler y Poincaré de la misma manera. He aquí un ejemplo : supongamos que el comité de selección tiene sólo tres votantes. En la primera votación, las elecciones de los votantes son : 

V1 : Poincaré > Gauss > Euclides > Al-Khwarizmi > Euler,

V2 : Euler > Poincaré > Euclides > Gauss > Al-Khwarizmi

V3 : Euclides > Gauss > Al-Khwarizmi > Poincaré > Euler.

Luego de caerse el sombrero, se pide a los miembros del comité que voten de nuevo. Teniendo algunos arrepentimientos, el segundo y tercer miembro cambiaron sus votos ligeramente : 

V1 : Poincaré > Gauss > Euclides > Al-Khwarizmi > Euler,

V2 : Euler > Poincaré > Gauss > Euclides > Al-Khwarizmi

V3 : Euler > Euclides > Gauss > Poincaré > Al-Khwarizmi.

Como vemos, en las dos votaciones, ninguno de los votantes cambió su elección en cuanto a las posiciones relativas de Poincaré y Euclides. En ambas votaciones tenemos

V1 : Poincaré > Euclides

V2 : Poincaré > Euclides

V3 : Euclides > Poincaré.

Para estos dos votos, la máquina debe producir una lista final $O^c$ en la que Euclides y Poincaré tienen las mismas posiciones relativas. En general, si tenemos dos votos $(O_1, \ldots, O_N)$ y $(O'_1,\ldots,O'_N)$ y dos opciones $x$ e $y$ tales que para cualquier $k$ ocurre que $x$ e $y$ se ordenan de la misma manera en $O_k$ y en $O'_k$, entonces la función de elección ordenará $x$ e $y$ de la misma manera para los dos votos. Por lo tanto, la función de elección no debe revelar, para decir si se prefiere $x$ a $y$, que los votantes pueden haber hecho esta elección con conocimiento de las otras alternativas posibles. La condición de independencia de las alternativas es interesante porque, a primera vista, se podría pensar que solo se está parafraseando la regla de la unanimidad, pero no es así [5].

Ahora podemos enunciar lo siguiente :

Teorema de Arrow : Tan pronto como el número de opciones posibles sea mayor o igual a 3, no existe una función de elección social que satisfaga simultáneamente el principio de unanimidad, esté libre de dictadores y sea independiente de las alternativas .

A menudo se encuentra citada de la siguiente manera : una función de elección social que satisface tanto el principio de unanimidad como el de independencia de las alternativas admite un dictador. Curiosamente, nunca se cita de la siguiente forma : una función de elección social que satisfaga el principio de unanimidad y no admita un dictador no puede ser independiente de las alternativas. El principio de independencia es entonces problemático, ya que supone que se tiene en cuenta en la votación ’’quién votó qué’’. Viola así otro principio, el de la igualdad de los votantes. ¿No podríamos ver el teorema de Arrow, ciento cuarenta años después de Gergonne, como una confirmación adicional de la nocividad del voto censitario [6] ?

Por mi parte, prefiero ver en este teorema una demostración de la imposibilidad de mecanizar la democracia. Esto debe nutrirse de numerosos debates, discusiones y palabrerías para impulsar la búsqueda de consensos lo más lejos posible. La votación sólo debe tener lugar en última instancia, para validar una elección hecha por la comunidad.

Veamos qué sucede en el comité de selección dado anteriormente como ejemplo : incluso en una Universidad de Excelencia como UT* o A*MIDEX [7] , el comité de selección no puede evitar el teorema de Arrow. La clasificación final fue la siguiente :

Euler > Euclides > Gauss > Poincaré > Al-Khwarizmi.

Resulta que cualquiera que sea el voto de los miembros del comité, es el del miembro número 3 quien hubiera sido elegido, siendo este último el representante del Idex y por tanto con voto preponderante. Él es el Primus Inter Pares y, por lo tanto, la máquina de votar viola la segunda ley enunciada en el teorema de Arrow : la ausencia de un dictador. Esta es la garantía de una gobernanza moderna y ambiciosa.

Post-scriptum :

6 meses después de escribir este artículo supe que Euler no podía ser reclutado, habiendo decretado la prefectura que los números imaginarios no existían. Habiendo fallecido los demás candidatos en el intertanto, el puesto se redistribuyó hacia la investigación en la gestión de establecimientos hospitalarios.

Un artículo de Rémi Peyre que se publicará próximamente en este sitio les permitirá profundizar las cuestiones planteadas aquí sobre el problema de la toma de decisiones gracias a una votación.

La redacción de Images des maths, así como el autor, desean agradecer por su cuidadoso aporte a los revisores cuyos seudónimos son los siguientes : Serma, Nicolas Chatal, Jérôme Poineau y Laurent Bétermin.

Notes

[1Un artículo de Rémi Peyre la describe en este sitio.

[2Aquí hay un enlace al artículo original de K. Arrow.

[3También conocido como el ’’Premio Nobel de Economía’’.

[4Ver un análisis de la IDEX UT* de Toulouse en el sitio web del Sindicato Nacional de Investigadores Científicos.

[5Así uno se puede imaginar que los alumnos jueguen (por ejemplo en el primer año de la Universidad) con los supuestos del teorema de Arrow para familiarizarlos mediante declaraciones donde el orden de los cuantificadores tiene un papel importante.

[6En su artículo de 1820 en Annales de Gergonne, leemos esto : ’’Presumamos tanto como queramos de las repúblicas de Esparta, Atenas y Roma. A mí mismo no me gusta esta libertad de unos pocos que se funda en la esclavitud de todos los demás’’. Puede encontrar el texto completo aquí.

[7Para saber qué cubren estos dulces acrónimos, consulte el sitio SNCS anterior, o incluso el más conciso texto que escribí para mis colegas de Aixo-Marsella recientemente. Los más valientes pueden leer el archivo completo del Toulouse IDEX aquí.

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Pour citer cet article :

Andrés Navas, Edgard Araya, Pilar Garcés — «Elecciones, votos y comicios : el teorema de Arrow» — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

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