Elíptica, hiperbólica... ¿por qué ?

Le 24 janvier 2010  - Ecrit par  Jacques Lafontaine
Le 6 avril 2021  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Elliptique, hyperbolique, pourquoi ? Voir les commentaires
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Los adjetivos elíptica, hiperbólica, parabólica evocan por supuesto la elipse, la hipérbola, la parábola, curvas conocidas por lo menos desde los antiguos griegos. En matemáticas, el vínculo entre el adjetivo y la curva correspondiente no siempre cae por su propio peso.

Las cónicas

Elipse, hipérbola, parábola : son cónicas, así denominadas porque esas curvas pueden ser realizadas como secciones planas de un cono.
El lector no matemático (espero que haya, esta nota está hecha para ellos) podrá fácilmente ver elipses e hipérbolas sobre una pared de su habitación, alumbrándola con una linterna y haciendo variar la inclinación de los rayos luminosos.

Él (y también ella) no conseguirá hacer una parábola, ya que ése es un caso excepcional,

vea por qué.

La naturaleza geométrica de la intersección de un cono de revolución y de un plano está determinada por la posición del plano paralelo que pasa por la cúspide del cono.

  • si ese plano contiene sólo la cúspide del cono, se tiene una elipse
  • si ese plano intersecta el cono siguiendo dos rectas, se tiene una hipérbola
  • si ese plano es tangente al cono, se tiene una parábola.

Este pequeño experimento es una verificación del hecho de que, « en general », una cónica es una elipse o una hipérbola.
 [1]

La palabra elipse viene del griego elleipsis, que quiere decir ’omisión’, por el hecho de que se consideraba la elipse como un círculo al cual le faltaba alguna cosa. La palabra hipérbola viene del griego hyperbolê, acción de « lanzar por encima », « exageración ».
Una elipse es también una omisión sintáctica o estilística. En literatura, la hipérbole [2] es una figura que consiste en crear una exageración y permite expresar un sentimiento extremo.

Si se compara el significado de ambas palabras en matemáticas y en análisis de textos, se puede observar una cierta analogía : una elipse se mantiene en una región limitada del plano ; una hipérbola se va hacia el infinito.

Notemos también que « parábola » es la transcripción del griego parabolê, que no solamente quiere decir « discurso alegórico » sino también « encuentro ». Para los matemáticos griegos era, sin duda, una manera de subrayar el carácter transitorio de la parábola.

Pasemos a los adjetivos

Las cosas comienzan a complicarse.

Elíptico significa por supuesto relativo a la elipse, e hiperbólico, relativo a la hipérbole, ya sea que ambas palabras sean tomadas en su sentido matemático o no. El vocabulario matemático quiere ser preciso. Pero precisión no quiere decir forzosamente coherencia.

Por ejemplo, las funciones hiperbólicas son funciones que permiten una representación paramétrica de las hipérbolas, a semejanza de las funciones circulares seno y coseno, que permiten una representación paramétrica de los círculos. Dicho de otra forma, a la pareja antagónica ’’elipse hipérbola’’ corresponde aquí la pareja ’’funciones circulares hiperbólicas’’ [3]

Esta incoherencia es solo parcial : en el liceo se ve que, en relación a los ejes perpendiculares, la ecuación $x^2+y^2=1$ representa una circunferencia, y la ecuación $xy=1$ una hipérbola llamada equilátera. Si uno reemplaza esos ejes perpendiculares por ejes oblicuos, obtiene la elipse y la hipérbola más generales. Se puede ver las cosas de manera más geométrica introduciendo las afinidades. Estas son transformaciones del plano que conservan el paralelismo. Transforman elipses, hipérbolas y parábolas en cónicas del mismo tipo, e inversamente dos cónicas del mismo tipo pueden deducirse una de la otra por una afinidad conveniente. Notemos a la pasada que la palabra afinidad no deja de tener relación con su sentido corriente : ¡las afinidades no cambian demasiado las curvas a las cuales se les aplica !

Puntos elípticos e hiperbólicos de una superficie

La alternativa elíptica hiperbólica se encuentra también cuando se estudia la posición de una superficie en relación a un plano tangente en un punto $P$. Al eliminar las situaciones ’’excepcionales’’, quedan dos casos posibles :

a) Cerca de $P$, la superficie es por un solo lado del plano tangente en $P$.
La intersección con un plano paralelo a ese plano y suficientemente cercano es vacía o una curva cerrada. [4]

b) La superficie atraviesa su plano tangente. La intersección de la superficie con el plano tangente a $P$ estará formada por dos curvas transversas (que serán dos rectas en el caso de una ’’cuádrica’’, es decir, de una superficie de grado 2) y si no, de dos curvas que evocan un poco los dos arcos de una hipérbola.

El primer caso es el que viene a la mente en un enfoque ingenuo de las superficies. El segundo, menos intuitivo pero también importante, se ve por ejemplo en las sillas de montar a caballo (de ahí el nombre de ’’punto silla’’ para los puntos hiperbólicos), algunas copas o torres de agua o las chimeneas de las centrales nucleares.

De una manera más técnica, es la ’’segunda forma cuadrática fundamental’’ la que da cuenta de la posición de la superficie en relación a su plano tangente. Esta segunda forma permite definir una cónica, la indicatriz de Dupin, que es una elipse en el caso a) y una hipérbola en el caso b).

Geometría hiperbólica, plano hiperbólico : ¿por qué ?

Janos Bolyai y Nicolai Lobatchevski desarrollaron la geometría no-euclidiana de manera axiomática, a partir de un axioma que estipula que por todo punto del plano pasa una infinidad de paralelas a una recta dada (que no contienen ese punto). Luego, Eugenio Beltrami comentó que esta geometría puede realizarse localmente sobre una superficie, bautizada en consecuencia como seudo-esfera de Beltrami, cuyos puntos son todos hiperbólicos. Lamentablemente, no es posible realizar el plano de Lobatchevski por completo como una superficie del espacio euclidiano, pero esto es

otra historia ...

Esta imposibilidad fue demostrada por David Hilbert. En específico, él probó que no existe superficie completa con curvatura gaussiana constante negativa en el espacio euclidiano de dimensión 3.

La trigonometría plana expresa relaciones entre las longitudes de los lados y los ángulos de un triángulo del plano euclidiano. Si se quiere hacer lo mismo en los triángulos trazados sobre una esfera, se tiene fórmulas análogas que hacen intervenir los senos o los cosenos de las longitudes de los lados.
Si en esas fórmulas se reemplaza los senos y los cosenos de las longitudes de los lados por las funciones hiperbólicas correspondientes, se obtiene una fórmula relativa a los triángulos del

plano de Lobatchevski.

Por ejemplo, la análoga fórmula « bien conocida »
\[ \frac{a}{\sin A}= \frac{b}{\sin B}= \frac{c}{\sin C}\]
(aquí $a$ ; $b$ y $c$ son las longitudes de los lados, $A$, $B$ y $C$ los ángulos de los vértices opuestos) se convierte en trigonometría esférica
\[ \frac{\sin a}{\sin A}= \frac{\sin b}{\sin B}= \frac{\sin c}{\sin C}\]

Existe una fórmula análoga en el plano de Lobatchevski, obtenida reemplazando en la fórmula de arriba los senos de las longitudes de los lados por los senos hiperbólicos.

Esas dos razones acumuladas pueden explicar el nombre de plano

hiperbólico

algunos autores llaman plano elíptico al plano proyectivo real provisto de la métrica deducida de aquélla de la esfera redonda. Esta terminología ha tenido poco éxito, en parte porque la geometría elíptica es mucho menos rica que su hermana hiperbólica.

para el plano de la geometría de Lobatchevski (reconozco que ignoro cuándo y cómo esta terminología se impuso).

Ecuaciones elípticas e hiperbólicas

Algunas ecuaciones en derivadas parciales, especialmente aquéllas que intervienen en Física Matemática, son también calificadas como

elípticas, hiperbólicas o parabólicas.

Dada una ecuación en derivadas parciales de la forma
\[0 = a(x,y)\frac{\partial f^2}{\partial x^2}+2b(x,y)\frac{\partial f^2}{\partial xy}+c(x,y)\frac{\partial f^2}{\partial y^2}+ \hbox{términos de orden > 2}\]
Es una elíptica si para todo $(x,y)$ en el campo de definición una de las curvas
\[ a(x,y)X^2+2b(x,y)XY+ c(x,y)Y^2=\pm 1\]
es una elipse (en otras palabras, si $b^2-ac<0$ ; en tal caso, la otra curva es vacía). La ecuación es hiperbólica si esas mismas curvas son hipérbolas (en otras palabras, si $b^2-ac>0$.

  • El potencial Newtoniano y el potencial electrostático son regidos por una ecuación elíptica ;
  • El movimiento de una cuerda o de una membrana vibrante y el campo electromagnético son regidos por una ecuación elíptica ;
  • la ecuación del calor que rige la evolución de la temperatura en función del tiempo es parabólica.

De hecho, las propiedades muy distintas de esos distintos tipos de ecuación se ven mejor con la física que con la geometría.

A modo de conclusión

El adjetivo parabólico es menos frecuente que los otros dos. Eso no es para nada sorprendente, ya que la parábola es un caso excepcional de cónica, como lo hemos dicho muchas veces.

Hemos presentado ejemplos donde los adjetivos elíptico e hiperbólico estaban aparejados. Cada uno de ellos ha tenido su propia fortuna por añadidura, una en Teoría de Números (funciones elípticas, curvas elípticas, que han jugado un rol clave en la prueba del teorema de Fermat-Wiles) ; la otra en los Sistemas Dinámicos y en Teoría Geométrica de los Grupos (dinámica hiperbólica, grupos hiperbólicos de Gromov). Es otra historia, que podrá ser objeto de otra nota.

Notes

[1es fácil darle un sentido matemático preciso a esta aseveración

[2NdT : En español, se diferencia hipérbola -lugar geométrico- de hipérbole -figura literaria-, pese a que ambas palabras provienen de la misma raíz griega

[3y las funciones elípticas ¡son absolutamente otra cosa !

[4Aquí, como en el caso b) hay una trampa : se trata en ambos casos de la parte vecina del punto $P$.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Elíptica, hiperbólica... ¿por qué ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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