Ellipse belge et maçon italien

Piste verte Le 24 juillet 2013  - Ecrit par  Michèle Audin, Rossana Tazzioli Voir les commentaires (5)

La rubrique Mathématiques ailleurs a un an. Nous y avons donc publié douze articles, qui ont obtenu des succès variés, en général entre 1500 et 3000 visites. Il est un peu difficile de demander à un auteur d’écrire un article qui paraisse en été, alors que si peu de lecteurs se connectent sur le site. Aussi avons-nous choisi de « rediffuser » en juillet et août deux articles de la rubrique qui avaient eu un peu moins de succès que les autres, pour leur donner une deuxième chance.

Que représente cette photographie ?

JPEG - 688.9 ko

Reflets, contre-jour... pourtant

Non, ce n’est pas une photographie ratée...

De nombreux articles ont déjà été écrits sur les objets, représentant, illustrant, expliquant telle ou telle notion mathématique. Plusieurs de ces objets sont exposés dans des lieux où travaillent des mathématiciens. Celui-ci, on le voit, est dans une bibliothèque, celle de l’Institut Henri Poincaré. Beaucoup des modèles exposés ont une histoire [1] mais ce n’est pas ce qui nous intéresse ici.

... mais c’est peut-être un modèle raté

Joli, mais raté [2] au sens où ce qu’il montre n’est pas clair si on ne le sait pas déjà : un morceau de boule posé sur un support en bois, un morceau de métal, encore un morceau de boule, comme une tête avec un chapeau de clown. Des mots mathématiques :

  • le chapeau de clown est un morceau de cône
  • le support est un autre morceau de cône, un morceau du même cône
  • le morceau de métal a la forme d’une ellipse (un cercle un peu aplati)
    Allons un peu plus loin :
  • les deux (morceaux de) boules sont tangentes au cône (le long des deux cercles qui en forment le bord)
    Voici ce qu’on ne peut pas vraiment imaginer si on ne le sait pas déjà :
  • les deux boules sont tangentes au plan dans lequel se trouve l’ellipse.

Ce n’est toujours pas clair ? Alors, c’est que vraiment le modèle est raté. Regardez la figure, suivante, que nous désignons sous le nom de « théorème belge ».

JPEG - 21.1 ko
Théorème belge

Si nous vous disons que ces deux figures représentent la même chose, vous comprendrez sans doute que l’ellipse en cuivre du modèle est l’intersection d’un cône (assez virtuel) et d’un plan (totalement inexistant).

Ellipse d’Apollonius...

L’intersection d’un cône et d’un plan est une conique. Suivant la position du plan (figure suivante), cette intersection peut avoir des formes différentes, parabole (rouge), hyperbole (bleue), ou ellipse (verte) [3].

... ou du jardinier

Une toute autre définition de l’ellipse : plantez deux piquets dans la terre, prenez une corde, fixez chacune de ses extrémités à l’un des piquets. Tendez la corde avec un grattoir et grattez... dessinant ainsi dans votre jardin une belle courbe, ovale ou cercle aplati, à l’intérieur de laquelle vous pourrez planter de la pelouse ou des fleurs et qui est, en réalité, une ellipse. La définition que vient de vous inspirer le jardinier est une définition mathématique : l’ensemble des points dont la somme des distances (la longueur de la corde) à deux points donnés (les deux piquets) est constante (la corde garde la même longueur) est une ellipse [4].

Reste à expliquer pourquoi cette courbe verte que nous avons vu apparaître en coupant le cône avec un plan, et que nous avons baptisée « ellipse », est une ellipse au sens du jardinier. Comment déterminer les deux points où le jardinier plante ses piquets, les foyers de l’ellipse ?

Une façon inélégante de le faire serait d’écrire des équations. Mais heureusement, il y a aussi les théorèmes belges.

Les théorèmes « belges »

Ils affirment, en particulier, que les approches « Apollonius » et « du jardinier » sont équivalentes.

Vous avez votre cône, votre plan, votre ellipse comme sur la figure rose et bleue, et puis vous dessinez les sphères tangentes au cône et au plan. Dans « les sphères tangentes au cône », le mot « tangente » ne doit pas faire peur : une boule de glace sur un cornet, si vous l’achetez chez un glacier ordinaire [5], sera justement tangente au cône. Regardez la figure rose et bleue. Vous prenez une de ces boules et vous la gonflez jusqu’à ce qu’elle touche le plan. Par dessus. Par dessous.

Le théorème de Dandelin affirme que ces deux points, les deux points où ces deux sphères touchent le plan, sont justement les foyers de l’ellipse.

Et ce n’est même pas difficile à démontrer.

JPEG - 15.2 ko

Appelons $F$ et $F'$ les points de tangence de la petite et de la grande sphère avec le plan de l’ellipse et $P$ un point de l’ellipse.

Traçons la « génératrice » du cône passant par $P$ (c’est-à-dire, tout simplement, la droite joignant $P$ au sommet du cône). Appelons $M$ et $M'$ les points où cette droite est tangente à la petite et à la grande sphère.

Les droites $PF$ et $PM$ sont deux tangentes à la petite sphère passant par $P$, donc les segments $PF$ et $PM$ ont la même longueur. De même pour $PF'$ et $PM'$ en utilisant la grande sphère. Donc
\[PF+PF'=PM+PM'=MM'\]
et clairement, $MM'$ est constante (ne dépend pas de $P$).

Il y a des énoncés du même genre pour les paraboles et les hyperboles (dont on trouveraet leénoncés dans le’Itiques l7nholdl='firment, a aussi les théor/p>

Reste àfm-r/Lts dont la sommes de itdeux o;&nbsaiment imaapoinlnbsp;Abelge ».

"spip">Llass='spip_document_17;est peuPte que n;»

Ils affirment, n inélé_note_reclairement, $MM'$ esthéx o;&ôneliefu, hy;Itiques l7péore si, on le voit, spip">L, Adol, a > Qde idm. (1796- ment Goù lals deux poi(1794- 47)e de7;Itt succ coniqu/a>< aime17;est pas 7;Itt succeraives parlyce de nd. Ts tangplanuelle vous po à succae si, on le v/li> is où lesant p .

Lmusllipsf"> [6te à expliquer pourqN; pphFreur ,s deux poifuceraiveli> s lytechns

articlnexislaquovdes reiscip"\\( au ss la cialous lônel de covdeoppe de ce sddéjà étuovragre cône, v> 1820s deux sph/a>< Itiquesr Celui-caquo;.

"sntant, ilipses dansrbolemi sph,peraffirme que ces deux pos dficile à d> Ar M uo;&i a juillineci-caquo;.

"senme chance.n, et qorème belge ».

"spip">Llass='spip_doc sontclass ou sp;(.. gonfleaquo;.

"snee covdeoppee due > (la lignantses de rucsp;(.. goc holdlvous sa passant;ici.

s de itdee au$PFmOlinlaquoe chav pouti soraboc' /Olinlaq aes de ru uneont expose histoi,métal, clasnau de bou17;est pas ca article l7nholdstses xpoié dounMathématiques ailleurs<;est peu/a> a un an. Nous y avons nous vou"_Ta deux figupi>loi;(..note unit sp;(.. <$ et $PM$ ai> nc lem sessp;:
jusquValaii,mi lLts dontEnfce n&i>cument_17;est peuLts dontEnfce n&s raté Vingfherbol..no leufde méti, on le v/li>s du jenvoys, s’ell, parcors, c&ches &laqssf"> [, sera j7'>7te à expliquer pou eur avomes «&n cl [pan]èmemgrtute;imander tic le/p>