Ellipse belge et maçon italien

Piste verte Le 24 juillet 2013  - Ecrit par  Michèle Audin, Rossana Tazzioli Voir les commentaires (5)

La rubrique Mathématiques ailleurs a un an. Nous y avons donc publié douze articles, qui ont obtenu des succès variés, en général entre 1500 et 3000 visites. Il est un peu difficile de demander à un auteur d’écrire un article qui paraisse en été, alors que si peu de lecteurs se connectent sur le site. Aussi avons-nous choisi de « rediffuser » en juillet et août deux articles de la rubrique qui avaient eu un peu moins de succès que les autres, pour leur donner une deuxième chance.

Que représente cette photographie ?

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Reflets, contre-jour... pourtant

Non, ce n’est pas une photographie ratée...

De nombreux articles ont déjà été écrits sur les objets, représentant, illustrant, expliquant telle ou telle notion mathématique. Plusieurs de ces objets sont exposés dans des lieux où travaillent des mathématiciens. Celui-ci, on le voit, est dans une bibliothèque, celle de l’Institut Henri Poincaré. Beaucoup des modèles exposés ont une histoire [1] mais ce n’est pas ce qui nous intéresse ici.

... mais c’est peut-être un modèle raté

Joli, mais raté [2] au sens où ce qu’il montre n’est pas clair si on ne le sait pas déjà : un morceau de boule posé sur un support en bois, un morceau de métal, encore un morceau de boule, comme une tête avec un chapeau de clown. Des mots mathématiques :

  • le chapeau de clown est un morceau de cône
  • le support est un autre morceau de cône, un morceau du même cône
  • le morceau de métal a la forme d’une ellipse (un cercle un peu aplati)
    Allons un peu plus loin :
  • les deux (morceaux de) boules sont tangentes au cône (le long des deux cercles qui en forment le bord)
    Voici ce qu’on ne peut pas vraiment imaginer si on ne le sait pas déjà :
  • les deux boules sont tangentes au plan dans lequel se trouve l’ellipse.

Ce n’est toujours pas clair ? Alors, c’est que vraiment le modèle est raté. Regardez la figure, suivante, que nous désignons sous le nom de « théorème belge ».

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Théorème belge

Si nous vous disons que ces deux figures représentent la même chose, vous comprendrez sans doute que l’ellipse en cuivre du modèle est l’intersection d’un cône (assez virtuel) et d’un plan (totalement inexistant).

Ellipse d’Apollonius...

L’intersection d’un cône et d’un plan est une conique. Suivant la position du plan (figure suivante), cette intersection peut avoir des formes différentes, parabole (rouge), hyperbole (bleue), ou ellipse (verte) [3].

... ou du jardinier

Une toute autre définition de l’ellipse : plantez deux piquets dans la terre, prenez une corde, fixez chacune de ses extrémités à l’un des piquets. Tendez la corde avec un grattoir et grattez... dessinant ainsi dans votre jardin une belle courbe, ovale ou cercle aplati, à l’intérieur de laquelle vous pourrez planter de la pelouse ou des fleurs et qui est, en réalité, une ellipse. La définition que vient de vous inspirer le jardinier est une définition mathématique : l’ensemble des points dont la somme des distances (la longueur de la corde) à deux points donnés (les deux piquets) est constante (la corde garde la même longueur) est une ellipse [4].

Reste à expliquer pourquoi cette courbe verte que nous avons vu apparaître en coupant le cône avec un plan, et que nous avons baptisée « ellipse », est une ellipse au sens du jardinier. Comment déterminer les deux points où le jardinier plante ses piquets, les foyers de l’ellipse ?

Une façon inélégante de le faire serait d’écrire des équations. Mais heureusement, il y a aussi les théorèmes belges.

Les théorèmes « belges »

Ils affirment, en particulier, que les approches « Apollonius » et « du jardinier » sont équivalentes.

Vous avez votre cône, votre plan, votre ellipse comme sur la figure rose et bleue, et puis vous dessinez les sphères tangentes au cône et au plan. Dans « les sphères tangentes au cône », le mot « tangente » ne doit pas faire peur : une boule de glace sur un cornet, si vous l’achetez chez un glacier ordinaire [5], sera justement tangente au cône. Regardez la figure rose et bleue. Vous prenez une de ces boules et vous la gonflez jusqu’à ce qu’elle touche le plan. Par dessus. Par dessous.

Le théorème de Dandelin affirme que ces deux points, les deux points où ces deux sphères touchent le plan, sont justement les foyers de l’ellipse.

Et ce n’est même pas difficile à démontrer.

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Appelons $F$ et $F'$ les points de tangence de la petite et de la grande sphère avec le plan de l’ellipse et $P$ un point de l’ellipse.

Traçons la « génératrice » du cône passant par $P$ (c’est-à-dire, tout simplement, la droite joignant $P$ au sommet du cône). Appelons $M$ et $M'$ les points où cette droite est tangente à la petite et à la grande sphère.

Les droites $PF$ et $PM$ sont deux tangentes à la petite sphère passant par $P$, donc les segments $PF$ et $PM$ ont la même longueur. De même pour $PF'$ et $PM'$ en utilisant la grande sphère. Donc
\[PF+PF'=PM+PM'=MM'\]
et clairement, $MM'$ est constante (ne dépend pas de $P$).

Il y a des énoncés du même genre pour les paraboles et les hyperboles (dont on trouvera les énoncés dans le paragraphe sur le Train bleu ci-dessous). L’ensemble constitue ce que l’on appelle les « théorèmes belges ».

Pourquoi « belges » ?
Parce qu’ils furent énoncés par deux mathématiciens belges, Adolphe Jacques Quetelet (1796-1874) et Germinal Dandelin (1794-1847). Ils étaient déjà amis lorsqu’ils étaient élèves du lycée de Gand. Tous deux s’intéressaient aux mathématiques mais aussi à la littérature et à la musique [6].

Né en France, Dandelin fut élève de l’École polytechnique et colonel des armées de Napoléon. Il rentra en Belgique après la défaite de Napoléon.

Quetelet enseigna à l’Université de Gand et fut le promoteur d’une nouvelle discipline, la statistique sociale, qu’il a développée dans de nombreux ouvrages.

Autour de 1820, les deux amis énoncèrent des théorèmes sur les coniques et, parmi eux, le théorème de Dandelin. C’est Théodore Olivier, qui enseignait la géométrie descriptive au Conservatoire des Arts et Métiers, qui a diffusé ces théorèmes en leur donnant le nom de « théorèmes belges ». Les démonstrations de ces théorèmes se développent comme des simples constructions de géométrie dans l’espace ; ce qui constitue, selon Olivier, leur véritable force. Olivier a construit plusieurs modèles, en bois ou en métal, qu’il a utilisés dans ses cours. Nous ne savons pas s’il a construit des modèles « Dandelin » ni ce que seraient devenus ces modèles.

Le maçon italien, le train bleu, les lecteurs des bibliothèques, trois citations littéraires

Pour conclure cet article dans l’esprit de la rubrique Mathématiques ailleurs, nous vous proposons trois citations littéraires.

La première met en scène le maçon italien qui apparaît dans le titre de cet article. Elle « démontre » qu’un modèle (en plâtre) peut avoir des vertus pédagogiques. Le maçon italien est un personnage du livre de Jules Vallès, L’Enfant.

L’Enfant

Le héros, Jacques Vingtras, pas très fort en mathématiques, est envoyé prendre des cours particuliers [7].

[...] il me tendait un petit livre.

« C’est moi qui l’ai fait, dit-il. Aimez-vous les mathématiques ?... »

Il vit que non à mon air.

« Non ! – Eh bien ! mon livre vous plaira peut-être tout de même. Tenez, il y a une boîte avec. »

Il me conduisit jusqu’à la porte, tenant toujours sa culotte, et relevant ses lunettes avec ses bouts de doigts je l’entendis qui disait à son chien :

« C’est une leçon de quarante sous ; tu auras de la pâtée ; moi, j’aurai du pain. »

Il avait été adressé à mon père, par hasard, et mon père lui avait trouvé une répétition ; c’était l’objet de la lettre.

« Aimez-vous les mathématiques ? »

[...]

Qu’y avait-il dans sa boîte ?

Des plâtres en tranches.

Et dans ce livre ? Des mots de géométrie.

Le lendemain, un dimanche, au lieu d’aller chez un camarade, comme mon père me l’avait permis, je passai ma journée avec ce livre et ces plâtres.

C’est le samedi suivant que j’étais premier.

J’allai tout joyeux en faire part à cet homme, qui me raconta son histoire.

Il avait failli mourir sous les coups des agents du roi de Naples, qui étaient venus pour l’arrêter comme conspirateur, et contre lesquels il s’était défendu pour sauver des papiers qui compromettaient d’autres gens. C’est là qu’il avait eu les doigts hachés. Il avait pu se traîner dans un coin ; on l’avait ramassé, sauvé, et il était passé en France.

"Conspirateur ! Vous étiez conspirateur ?

– J’étais maçon, heureusement. J’ai profité de ce que je savais de mon métier pour faire ces modèles de géométrie. À propos : vous avez compris mon système, il paraît.

– Il n’y a qu’à regarder et à toucher. Tenez, voulez-vous que je vous explique ?« Prenant les plâtres que je trouvais sous la main, je refis ma démonstration. »C’est ça ! c’est ça ! disait-il en hochant la tête. On veut enseigner aux enfants ce que c’est qu’un cône, comment on le coupe, le volume de la sphère, et on leur montre des lignes, des lignes ! Donnez-leur le cône en bois, la figure en plâtre, apprenez-leur cela, comme on découpe une orange ! – De la théologie, tout leur vieux système ! Toujours le bon Dieu ! le bon Dieu !

– Qu’est-ce que vous dites du bon Dieu ?

– Rien, rien."

Il eut l’air de sortir d’une colère, et il me reparla de la géométrie avec des fils et du plâtre.

Les modèles du maçon italien semblent avoir été plus réussis que notre modèle en bois et cuivre.

Le train bleu

Ce n’est certainement pas dans un train de luxe que le maçon et conspirateur italien avait fait le voyage qui l’avait amené en France. Le train bleu est le cadre de nouvelles policières de Boileau-Narcejac.

Dans la citation qui suit [8], le héros, Michel, pris en otage, tente de saouler ses ravisseurs par un discours ininterrompu dans lequel il cite la théorie de Dandelin. Ce n’est pas tous les jours qu’on trouve des vrais énoncés de mathématiques (même belges) dans un roman policier. Ici les énoncés semblent l’exemple-même de textes auxquels on ne comprend rien. Peut-être ces auteurs ont-ils contemplé notre modèle.

Tout en me promenant, je révise mes cours… Ce n’est pas des blagues… Je fais ça de tête… Vous voulez que je vous récite la théorie de Dandelin ?... (Nouveau coup de tête au rétroviseur. L’homme n’avait pas bougé). « Tout plan parallèle à un plan tangent à un cône de révolution coupe le cône suivant une parabole. Le foyer est le point de contact avec le plan sécant de la sphère inscrite dans le cône et tangente à ce plan. La directrice [9] est l’intersection du plan du parallèle de contact de la sphère et du cône avec le plan sécant... »

Il croisèrent une voiture. À la lumière des phares, Michel put, plus distinctement, observer l’homme. Il était maintenant affaissé contre la vitre, la bouche pendant un peu, comme celle d’un mort.

« Le lieu des sommets des cônes de révolution contenant une parabole donnée est la parabole focale de celle-ci. Cette courbe est aussi l’enveloppe des axes des cônes considérés... »

La 2CV virait dans des lacets, ralentit encore, s’arrêta.

« Toute section plane d’un cylindre de révolution est une ellipse dont le petit axe est égal au diamètre du cylindre... »

Espèces d’espaces

Pour remercier le lecteur anonyme dont le reflet contribue à la qualité du logo de cet article... et la bibliothèque, espace rassurant, où cet article a pris naissance, nous leur dédions une dernière citation [10]. Juste pour le plaisir :

Les lecteurs studieux lisent dans les bibliothèques. Les professeurs font leurs cours. Les étudiants prennent des notes. Les comptables alignent des colonnes de chiffres. Les apprentis pâtissiers fourrent de crème au beurre des rangées de petits choux. Les pianistes font leurs gammes. Assis à leur table, méditatifs et concentrés, les écrivains alignent des mots.

Image d’Epinal. Espace rassurant.

Post-scriptum :

Outre le lecteur anonyme remercié ci-dessus et la bibliothèque dans laquelle cet article est né, nous (MA et RT) remercions Brigitte Yvon-Deyme, la bibliothécaire (de l’Institut Henri Poincaré), pour les informations qu’elle nous a données sur le modèle...

La rédaction d’Image des mathématiques et nous-mêmes remercions les relecteurs dont les noms ou pseudonymes sont Herve5 et Nicolas Duhamel pour le temps qu’ils ont pris à relire une version préliminaire de cet article et pour leurs suggestions d’amélioration.

Article édité par Michèle Audin

Notes

[1liée par exemple à celle de l’Institut et des relations amicales de son fondateur et premier directeur Émile Borel avec le fondateur et premier directeur du Palais de la Découverte, Jean Perrin

[2C’est une opinion. On peut ne pas être d’accord. Ce modèle a été réalisé par Martin Schilling à Halle (en Allemagne) au début du vingtième siècle. Schilling en a fabriqué beaucoup d’autres, pour illustrer d’autres théorèmes, d’autres propriétés. Ses modèles sont en général beaucoup plus clairs.

[3Ces figures ont déjà été utilisée dans un autre article de ce site.

[4Il a déjà été question de coniques et même d’ellipses dans beaucoup d’articles d’Images des mathématiques. Nous suggérons d’utiliser le moteur de recherche du site pour en trouver d’autres. Nous nous contenterons de faire un lien avec celui-ci, parce que c’est de lui que viennent les figures de cette partie.

[5Nous l’espérons pour vous, vous saurez aussi trouver des lieux où les boules de glace seront plutôt comme sur cette photographie.

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Glace à la cassate sicilienne

[6Ils ont composé pour le théâtre et rédigé le livret d’un opéra, Jean Second, qui fut représenté à Gand en 1816.

[7Le premier volume de la trilogie autobiographique de l’écrivain, journaliste et communard Jules Vallès, l’Enfant, dont le texte qui suit est extrait, est paru en 1879, alors que l’auteur était en exil à Londres.

[8C’est une référence qui nous vient de la page wikipedia consacrée au théorème de Dandelin.

[9Car, outre les foyers, les coniques ont des directrices... Celles et ceux qui savent ce que c’est ont ainsi l’énoncé complet du théorème, les autres peuvent se laisser porter par cette mer de mots.

[10Georges Perec, Espèces d’espaces.

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Pour citer cet article :

Michèle Audin, Rossana Tazzioli — «Ellipse belge et maçon italien» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Crédits image :

Image à la une - Collection privée des auteurs.
Glace à la cassate sicilienne - Michèle Audin
Théorème belge - Michèle Audin pour Mai vu du quai Conti

Commentaire sur l'article

  • Ellipse belge et maçon italien. Je conteste le côte « raté »

    le 23 juin 2013 à 09:53, par Jean Brette

    Chère Michèle,

    Je te trouves très sévère avec Martin Schilling quand tu qualifies son modèle de « raté », même tempéré par « peut-être », et même si tu précises dans la note 2, qu’il s’agit d’une opinion qui peut être discutée. Pour tout dire, je te trouve même un peu de mauvaise foi. ;o)

    Je m’explique :

    Commençons par la première figure, rose et bleue, légendée Théorème Belge.
    Tu évoques « l’intersection d’un cône (assez virtuel) et d’un plan (totalement inexistant) » . C’est très exagéré.

    D’une part le cône est visible dans ses parties supérieure et inférieure, ce que tu dis d’ailleurs dans ta descrtiption,mais il y a même une génératrice métallique, que l’on voit bien à droite de la photo. D’autre part il ne t’aura pas échappé que l’ellipse du modèle est le bord d’un morceau de tôle ajouré qui est vissé sur chacune des demi sphères (visible sur la photo 2). Le plan de la tôle est bien réel et pas du tout inexistant !

    Par ailleurs, dans cette figure bleue et rose, les deux sphères portent des cercles qui n’ont pas grand chose à voir avec le théorème. Passe encore pour celui qui représente l’équateur de la petite sphère, (même s’il n’intervient pas dans le théorème), mais l’autre ? Ni équateur, ni cercle tangent au cône, ni aucune existence dans la maquette.

    Pourquoi ne pas avoir donné le même schéma que celui qui figure dans la démonstration ?, et qui a l’avantage d’avoir entièrement sa contrepartie dans le modèle :

    • Les deux cercles où les sphères sont tangentes au cône sont visibles sur la photo. Celui du haut montre bien l’espace entre le sommet du cône et la portion de sphère. Il y a le même espace (mais non visible ici) entre la sphère du bas et la partie inférieure du cône. Ces deux espaces ont leur importance pour le modèle

    • les deux foyers F et F’ de l’ellipse sont précisément les points où la tôle ajourée citée plus haut (et dont l’ellipse est le bord), est vissée sur les deux sphères. Il est donc parfaitement visible que le plan est tangent aux sphères.

    • le segment MM’ est matérialisé dans le modèle par la tige métallique que j’ai citée. Cette tige métallique est en fait plus complexe qu’un simple segment puisqu’elle peut tourner autour de l’axe du modèle.Si O et O’ sont les centres des cercles passant par M et M’, la tige est formée des trois segments OM, MM’, M’O’. Cette "génératrice peut donc tourner autour du cône. Le fait qu’elle soit métallique implique que la distance MM’ est constante.

    • Enfin, un fil (inexistant aujourd’hui sur la maquette) passe par les deux points de fixation en contournant la génératrice au point P. On peut ainsi s’assurer qu’il reste tendu pendant que la génératrice tourne autour du cône, et que le point P décrit l’ellipse. (Evidemment, s’il n’y a plus le fil, c’est moins visible).

    Par ailleurs, tu dis au début : « non ce n’est pas une photo ratée ». Si ! Elle est sous exposée, et prise derrière une vitrine, ce qui en masque une partie des détails, par exemple le foyer qui est visible.

    Tu précises à la fin que « les modèles en plâtre du maçon semblent avoir été plus réussis que notre modèle en bois et cuivre ». Là encore, je te trouve sévère avec Schilling. D’une part, il y a aussi des modèles en plâtre dans sa collection, montrant les intersections possibles d’un cône et d’un plan (et ils sont visibles à l’IHP), et d’autre part ces modèles ne montrent rien concernant le théorème de Dandelin (et sûrement les modèles du maçon non plus). Non seulement le modèle illustre le théorème, mais c’est même l’un des rares cas que je connais où un modèle donne presque intégralement la démonstration !

    Evidemment, il est plus facile de l’apprécier quand on connait déjà le théorème, mais il en est de même pour presque tous les modèles de Schilling.

    Ces modèles étaient destinés à être montrés en amphi, avant que les étudiants ne s’en approchent. Par exemple, les modèles de la collection des polyèdres sont d’une taille inutilement grande s’il s’agissait seulement de les montrer dans une vitrine.

    Pour finir, j’ai une question : Comment aurais tu fait, toi, techniquement, physiquement, pour illustrer et mettre en oeuvre ce théorème ?

    Bien amicalement

    Jean

    Répondre à ce message
  • Ellipse belge et maçon italien

    le 24 juin 2013 à 10:06, par Michèle Audin

    Cher Jean

    je suis très honorée (et je suis sûre, Rossana aussi) de ta visite sur notre article. Les critiques « modèle raté » ne s’adressaient pas à la figure rose et bleue (qui a ses défauts mais montre ce qu’on veut qu’elle montre) mais au modèle en bois et métal lui-même.

    Je maintiens que, s’il s’agit de montrer l’intersection d’un cône et d’un plan, c’est raté... puisqu’il n’y a ni cône ni plan.

    je maintiens aussi que j’accepte que l’on soit d’un autre avis.

    Comment aurais tu fait, toi, techniquement, physiquement ?

    Mais, je ne sais pas faire ça, bien entendu ! Ma technique à moi, c’est l’écriture, pas le plâtre, le travail du bois ou du métal. J’espère simplement que, dans notre article, le théorème belge, par l’écriture, est un peu clair.

    Encore merci

    Michèle

    Répondre à ce message
  • Ellipse belge et maçon italien. Je conteste le côte « raté » (suite)

    le 24 juin 2013 à 15:01, par Jean Brette

    Chère Michèle,

    Pardonne mon retard mis à te répondre, mais je rentre juste de la bibliothèque de l’IHP, où je suis allé pour toi ce matin prendre des photos du dit modèle, avec des gros plans sur les détails. Cela m’a donné l’occasion de constater que ma mémoire m’avait un peu trahi : ce n’est pas la génératrice qui tourne (elle est fixée sur les deux portions de cône) mais l’ensemble des deux portions de sphère et de l’ellipse, ce qui ne change rien au principe.

    J’ai également photographié le modèle en plâtre illustrant les trois types d’intersections non dégénérées (ellipse, parabole et une branche d’hyperbole.)

    J’avais bien compris que la première partie de votre article critiquait le modèle, et non la figure rose et bleue. Mais puisque la dite figure est sensée rendre compte, sous forme de schéma, des photos vues précédemment, je maintiens qu’il eut été préférable de donner celle qui accompagne la démonstration.

    Dans ta réponse, tu me dis « je maintiens que, s’il s’agit de montrer l’intersection d’un cône et d’un plan, c’est raté ... ». Tu as raison ! Il existe d’autres modèles, par exemple en plâtre, qui font ça très bien. Mais il ne s’agit pas de ça ! il s’agit d’illustrer physiquement le théorème de Dandelin pour les ellipses, et de montrer ainsi, ce que tu dis, que les ellipses d’Apollonius et celles des jardiniers sont bien un même et unique objet. Ce qui suppose bein sûr qu’on sait déjà que l’intersection d’un cône et d’un plan peut être une ellipse !

    Une question que l’on peut se poser, à propos de ce modèle, est : « pourquoi faire un modèle alors que la démonstration est si simple ? » Je n’ai pas de réponse. Peut être parce qu’il paraît que 30% de la population ne perçoit pas le relief dans un dessin plan, au trait, c’est à dire n’arriverait pas à interpréter les deux schémas (le « rose et bleu », et le « bon »).

    Une autre question est : « Comment Apollonius, qui a découvert l’existence des foyers des coniques, ce qui ne saute vraiment pas aux yeux quand on les définit en terme d’intersections, a pu passer à côté de ce théorème magique de simplicité ? ». (je dis magique, parce que c’est encore l’effet de mon ébahissement quand je l’ai appris, il y a cinquante ans. C’est simplement beau !)

    Quant au « Comment aurais tu fait .... », c’était juste une petite pique amicale en souvenir de Martin Schilling. Il n’est vraiment pas facile de transformer des théorèmes en objets physiques. Cela mérite un peu d’indulgence. Cela dit, on peut ne savoir travailler ni le bois, ni le plâtre, ni le zinc, mais avoir quand même des idées sur ce qu’il faudrait faire....

    Bien amicalement

    Jean

    PS : je ne sais pas comment joindre à ce commentaire les photos que j’ai faites ce matin, et qui étayent mon premier message. Je te les adresse par mail standard, hors IdM, pour info, et pour usage sur IdM, si tu le souhaites, et si c’est techniquement possible.

    Répondre à ce message
  • Ellipse belge et maçon italien

    le 25 juin 2013 à 05:17, par Michèle Audin

    Cher Jean

    C’est avec plaisir que j’ajoute les photographies — le modèle sorti de sa vitrine — que tu commentes dans ton message ici (ce n’est pas comme auteur de l’article mais comme administratrice du site (et au prix de plusieurs manipulations) que j’ai pu le faire, en effet je ne crois pas que tu aurais pu le faire toi-même).

    J’ajoute que le point principal de cet article était de présenter les « théorèmes belges » et différentes illustrations ou apparitions littéraires liées aux images (en situation, derrière leurs vitres et leurs reflets, dans la bibliothèque), et certainement pas de polémiquer sur les qualités de tel ou tel modèle.

    Il est clair qu’un article sur les modèles mathématiques reste à écrire sur ce site. Avis aux amateurs. Un portrait d’un des auteurs de ces modèles, peut-être ?

    Encore merci pour tes commentaires et ton aide.

    Répondre à ce message
  • Ellipse belge et maçon italien. Modèles ?

    le 25 juin 2013 à 07:31, par Jean Brette

    Chère Michèle,

    Merci d’avoir placé ces photos sur le site. Le lecteur comprendra sans doute mieux maintenant la teneur de mes commentaires.

    Quant à un article sur les modèles, je vais y réfléchir. Il y a des problèmes variés, qui tiennent à l’utilisateur, au mode d’emploi, aux conditions d’emploi, aux lieux d’expositions, et bien sûr aux buts poursuivis. Ici, ce modèle était clairement un modèle « pédagogique », destiné à être utilisé par le prof pendant son cours, avant de l’être éventuellement par les élèves.

    Bien amicalement

    Jean

    Répondre à ce message

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Cet article fait partie du dossier «Mathématiques et littérature» voir le dossier

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