Emma Castelnuovo : objets et actions pour un enseignement constructif de la géométrie

Piste verte Le 15 mai 2019  - Ecrit par  Valentina Celi Voir les commentaires

Emma Castelnuovo (1913-2014), une enseignante italienne dont la manière de concevoir l’enseignement de la géométrie pour des jeunes élèves de onze à quatorze ans a été influencée par l’ouvrage de Clairaut (1713-1765)...

Quelque deux cents ans après la publication des Éléments de géométrie (1741) d’Alexis-Claude Clairaut, Emma Castelnuovo, enseignante italienne de mathématiques, s’interroge sur les difficultés d’apprentissage éprouvées par les élèves lors d’un cours magistral de géométrie. En s’inspirant alors de l’ouvrage du scientifique français, elle publie en 1948 la première édition de sa Geometria intuitiva. Mais, en plus d’élaborer un ordre nouveau dans la présentation de contenus géométriques (Castelnuovo, 1959), elle propose une méthode constructive pour laquelle on est obligé d’avoir recours à des bases concrètes (Castelnuovo, 1958).

Ici, en puisant dans quelques-unes de ses pages publiées entre 1946 et 1964, nous proposons une synthèse sur les idées novatrices de Emma Castelnuovo et soulignons l’influence que l’ouvrage de Clairaut a eu sur sa manière de concevoir l’enseignement de la géométrie pour des élèves de onze à quatorze ans.

Ce travail a déjà fait l’objet d’une publication (Celi, 2014) et d’une présentation sous forme d’affiche (Celi, 2016).

La géométrie intuitive de Emma Castelnuovo

En 1900, en Italie, les concepteurs des textes officiels de l’enseignement secondaire reconsidèrent une proposition faite vingt ans auparavant par le Ministre de l’Instruction Publique de l’époque, Guido Baccelli, mais jamais réalisée : l’introduction d’un cours de géométrie à caractère empirique, préalable au cours traditionnel de géométrie rationnelle, le seul existant jusque-là. Et cela dans le but d’introduire l’élève dans le monde géométrique à travers un ensemble d’observations, d’expériences, de constructions suggérées par le monde réel (Castelnuovo, 1958a).
Moins de cinquante ans plus tard, Emma Castelnuovo, enseignante novice de mathématiques auprès d’élèves de onze à quatorze ans, constate néanmoins assez rapidement que, dans les faits, rien n’a vraiment changé depuis l’introduction du cours de géométrie intuitive voulu par le Ministre Baccelli (Castelnuovo, 1958a). Bien que les démonstrations soient remplacées par des preuves pragmatiques, les manuels scolaires proposent un cours de géométrie rationnelle édulcoré, descriptif et statique (Castelnuovo, 1950a) :

« L’ordre suivi est exactement celui du cours rationnel ; le professeur connaît le pourquoi de cet ordre, l’élève l’ignore puisque c’est l’enchaînement des démonstrations qui explique cet ordre et que cet enchaînement, dans son ensemble, ne lui est pas expliqué ».

Confortée par les études de Jean Piaget (cité par Castelnuovo, 1959b), qui montrent que ce n’est que vers les quatorze ans que l’adolescent élabore petit à petit un mécanisme formel fondé sur des structures logiques, l’enseignante italienne considère en outre que les difficultés éprouvées par les élèves dans le cours de géométrie sont à mettre en relation avec leur développement cognitif (Castelnuovo, 1950b) :

« Le professeur et sans doute les programmes exigent de la part de l’élève un effort d’abstraction et une compréhension de la rigueur qui ne peuvent pas être toujours saisis par un enfant […] la rigueur mathématique est un besoin de l’esprit que l’on ne peut pas comprendre tout d’un coup et qui se rattache étroitement à l’âge mental ».

En 1948, Emma Castelnuovo publie ainsi la première édition de sa Geometria intutiva, un manuel scolaire à l’intention d’élèves de onze à quatorze ans et de leurs enseignants, où une approche descriptive et statique est remplacée par une méthode constructive et dynamique.

Objets et actions pour un enseignement constructif

Les dessins géométriques de l’Homme préhistorique schématisent ce qu’il construit matériellement (Castelnuovo, 1959a) :

« c’est juste la construction d’un objet qui porte à une analyse beaucoup plus profonde que la seule observation du même objet fait par autrui. La construction, en effet, suppose d’abord la connaissance (et la reconnaissance) des éléments fondamentaux de l’objet […] elle fait comprendre que tous les éléments d’un objet n’ont pas la même valeur. Une telle constatation conduit à cette mentalité […] qui porte à représenter un tout seulement par quelques traits, à styliser ».

Emma Castelnuovo est alors persuadée que, à partir de la manipulation de matériel, l’élève pourra refaire ces tentatives de construction qu’on a faites aux premières heures de l’humanité et qui, peu à peu, amèneront à fixer graphiquement les images (Castelnuovo, 1959b).
En débutant le cours de géométrie intuitive par un chapitre sur la manipulation d’un matériel, l’élève sera aussi aidé à changer de regard sur des figures géométriques, connues autrement à l’école primaire.
À l’instar de Piaget (Piaget et al., 1956), qui attribue à l’action sur les objets physiques un rôle fondamental pour que l’enfant puisse parvenir à combiner différentes opérations, l’enseignante italienne croit que (Castelnuovo, 1958b) :

« c’est, en effet, la mobilité qui attire l’attention de l’enfant et qui le conduit du concret à l’abstrait, car ce n’est pas le matériel qui est l’objet de son attention mais plutôt sa transformation, une opération donc qui, étant indépendante du matériel même, est abstraite. À notre avis, le matériel provoque l’inspiration […] pour la formation opératoire ».

C’est ainsi qu’Emma Castelnuovo pense pouvoir fournir à ses élèves des bases concrètes, intuitives pour mieux aborder plus tard la théorie axiomatique et les propriétés qui seront rigoureusement justifiées.
Ces bases consistent en une série de manipulations que chaque élève fait subir à un matériel mobile en continuité. En comparant un cas particulier avec les cas limites, les élèves parviennent à induire des propriétés générales : ils saisissent des éléments invariants et des éléments qui changent selon des lois qu’ils découvriront grâce aussi à l’étayage de leur enseignante.
Avec quatre baguettes, deux à deux de même longueur, et des attaches parisiennes, des figures géométriques s’animent entre les mains des élèves : l’enseignante les aide à remarquer que l’on peut obtenir un rectangle et une infinité de parallélogrammes et leur pose ensuite des questions utiles pour poursuivre la recherche et repérer les propriétés qui varient et celles qui ne varient pas (Castelnuovo, 1959a ; 1964 ; 1998).

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Quatre baguettes et quatre attaches parisiennes

Quel est le périmètre de ces parallélogrammes par rapport au rectangle ? Et l’aire change-t-elle en passant de l’un aux autres ? Et la somme des angles ?

À l’aide d’un fil élastique, à ajouter en guise de diagonale au quadrilatère mobile, l’enseignante sollicite ensuite la curiosité de ses élèves en demandant :

le quadrilatère articulé sera partagé en deux triangles : sont-ils superposables ?

D’autres questions surgissent lorsque les élèves ont dans leurs mains deux baguettes, de même longueur et attachées en leur milieu, ainsi qu’un fil élastique, passant par les trous percés aux extrémités de chacune des deux baguettes, de façon à constituer le contour du quadrilatère.

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Deux baguettes, une attache parisienne et un élastique

Combien de rectangles peut-on obtenir en bougeant les deux diagonales ? Peut-on obtenir des parallélogrammes non rectangles ? Quelle autre figure peut-on obtenir ?

Et lorsque les élèves découvrent que l’on peut passer du rectangle au carré, les questions portent alors sur les transformations que les caractéristiques de ce matériel subissent dans le passage d’un quadrilatère à l’autre :

les angles changent-ils ? Et les angles formés par les diagonales ? Les différentes figures obtenues ont-elles le même périmètre ?

Et puis, afin de parvenir à une classification des quadrilatères particuliers [1], les élèves manipulent quatre baguettes de même longueur, le lien entre le losange et le carré se réalisant sous leurs yeux (Castelnuovo, 1958a) :

« l’élève construira le carré mais il se rendra vite compte que la figure qu’il manipule est articulée […] le carré bouge et peut se transformer en un losange. C’est ainsi que plusieurs problèmes surgissent, ils ne seraient pas surgis en comparant deux dessins. On observe, dans la transformation, que certains éléments changent et d’autres ne changent pas […] la position réciproque des diagonales ou la somme des angles mènent à caractériser cette famille de quadrilatères ».

Cette manière de concevoir l’enseignement de la géométrie au cours des premières années de l’école secondaire est encore présente dans les éditions plus récentes du texte scolaire dont Emma Castelnuovo est devenue plus tard co-auteure. S’inscrivant dans la tradition des ressources pédagogiques pour apprendre et enseigner les mathématiques, ce texte a en effet connu d’autres éditions dont les deux dernières (1988 et 1998) ont été revisitées avec l’aide de deux collègues, Carla Degli Esposti et Paola Gori, afin de prendre en compte l’évolution du monde des jeunes avec lesquels l’auteure n’était plus en contact direct depuis son départ à la retraite.

Les Éléments de géométrie de Clairaut [2], source d’inspiration pour un enseignement constructif

Fille de Guido Castelnuovo et nièce de Federigo Enriques, deux personnalités clés dans le domaine de la géométrie algébrique au début du 20e siècle [3], c’est sans doute leur engagement dans la recherche et dans l’enseignement qui a été un exemple significatif pour Emma Castelnuovo. Son intérêt pour les théories pédagogiques qui se développaient à l’époque où elle commençait à enseigner ainsi que les échanges qu’elle entretenait régulièrement avec ses collègues, italiens et étrangers, ont aussi joué un rôle fondamental dans l’enrichissement de ses réflexions sur l’enseignement des mathématiques.
Mais sa source d’inspiration sur l’enseignement et l’apprentissage de la géométrie est, en particulier, à retrouver ailleurs et en remontant dans le temps, comme elle l’indique à plusieurs reprises dans ses écrits [4] (Castelnuovo, 1946) :

« C’est un livre de 1741 qui m’a suggéré l’idée de cette orientation : les Éléments de géométrie d’Alexis-Claude Clairaut. […] C’est un véritable bijou d’exposition : une découverte incessante et naturelle des propriétés des figures à partir de l’observation et de la mesure ; c’est – on peut dire – une vision du monde qui nous entoure avec la loupe du géomètre ».

Emma Castelnuovo partage pleinement les idées de Clairaut qui, deux siècles auparavant, proposait déjà de ne pas présenter aux débutants un produit fini mais de leur fournir les moyens pour suivre le processus qui a lentement conduit à une organisation axiomatique du savoir géométrique. Comme dans l’ouvrage du scientifique français, elle est alors persuadée qu’il faut remonter à la source et se poser les questions mêmes qui sont à l’origine de la géométrie : la théorie de l’équivalence des surfaces est alors le chapitre le plus pertinent et naturel pour démarrer un cours de géométrie.
Dans un pays, l’Italie, où le texte d’Euclide avait été adapté comme manuel scolaire à l’intention des lycéens [5] et où l’empreinte euclidienne (Celi, 2005) influence encore aujourd’hui la structure des manuels scolaires consacrés à la géométrie élémentaire [6], c’est grâce à Clairaut qu’Emma Castelnuovo n’a pas succombé à cette empreinte et a établi un ordre nouveau dans la programmation de son enseignement de la géométrie. Car, comme Clairaut, elle considère que le savoir mathématique doit être vu comme un processus qui se construit à partir d’une problématique et prend du sens dans des pratiques et non pas comme le produit d’un discours organisé et figé (Barbin, 1991).
Mais, en suivant le développement historique, si Clairaut lui suggère la manière d’inverser l’ordre de présentation des contenus, elle saura de surcroît enrichir son enseignement de la géométrie en proposant une méthode constructive et dynamique.

Des idées encore d’actualité

À l’instar de Ghys (2013), qui a récemment défini l’ouvrage de Clairaut comme un petit bijou qui pourrait nous inspirer aujourd’hui, alors que l’enseignement de la géométrie est en pleine crise, il nous semble pertinent revenir sur l’œuvre de Emma Castelnuovo pour s’en inspirer également. D’extrême actualité, la pensée de l’enseignante italienne a su traverser le temps mais est aussi partagée en dehors de ses frontières car elle semble faire écho à quelques aspects mis en évidence dans les textes officiels français actuellement en vigueur. Notamment à propos de l’importance des phases de manipulation qui, dans les apprentissages, permettent l’accès à l’abstraction, on y lit (MEN, Programme de cycle 4, p. 147) :

« des nombreux objets réels […] permettent d’approcher certaines notions abstraites de manière tactile, sensorielle. Il ne faut pas se priver d’y recourir lorsque cela s’avère nécessaire, même au collège ».

Sans oublier que, dans un récent rapport rédigé par Villani et Torrosian (2018), la manipulation est placée au même rang que la verbalisation et l’abstraction. On y lit entre autres (p. 13 et p. 57) :

« Parmi les enjeux didactiques, celui des manipulations concrètes est essentiel pour favoriser l’apprentissage des élèves et les accompagner dans la construction d’abstractions […] Les objets mathématiques sont abstraits, donc construits théoriquement. Épistémologiquement, il est donc important de respecter la progression qui permet de passer d’un objet familier et sensible […] à la généralisation des faits et des phénomènes par la rencontre du symbolisme. Enseigner les mathématiques aux plus jeunes ne peut se faire sans leur faire expérimenter des situations. Le vécu expérimental et manipulatoire des élèves favorise l’acquisition des connaissances et leur mémorisation ».

Lorsque l’œuvre de Clairaut a suggéré à Emma Castelnuovo que le monde qui entoure l’enfant lui donnera la motivation pour construire les mathématiques, en exerçant son métier d’enseignante, elle s’est alors donné assez vite comme mission celle d’accompagner ses élèves dans le passage de l’observation à la mathématisation (Castelnuovo, 1977), de la manipulation à l’abstraction.

Références bilbiographiques

Barbin, E. (1991). Les éléments de géométrie de Clairaut : une géométrie problématisée. Repères-IREM, 4, Topiques éditions, 119-133.

Castelnuovo, E. (1946). Un metodo attivo nell’insegnamento della geometria intuitiva. Periodico di Matematiche, 24-IV, 263-269.

Castelnuovo, E. (1948). Geometria intuitiva, Carabba, Lanciano-Roma.

Castelnuovo, E. (1950a), La géométrie intuitive dans l’enseignement italien. Cahiers Pédagogiques, 5, 161-164.

Castelnuovo, E. (1950b). Les erreurs des maîtres d’après nos collègues italiens. Cahiers Pédagogiques, 5, 192.

Castelnuovo, E. (1958a). Basi concrete in un primo insegnamento della geometria. Archimede, X, 90-97.

Castelnuovo, E. (1958b). L’Objet et l’action dans l’enseignement de la géométrie intuitive, dans Gattegno et al., Le matériel pour l’enseignement des mathématiques. Neuchâtel : Delachaux & Niestlé, 41-59.

Castelnuovo, E. (1959a). Le bases intuitives de l’axiomatique en géométrie. L’enseignement des sciences, I(3), 21-24.

Castelnuovo, E. (1959b). Didattica della geometria. Ricerche didattiche, 54, 213-217.

Castelnuovo, E. (1964). Costruiamo la geometria. Scatola di materiale utilizzabile per la costruzione e lo studio di poligoni articolabili. La Nuova Italia Editrice, Firenze.

Castelnuovo, E. (1977). L’enseignement des mathématiques. Educational Studies in Mathematics, 8, 41-50.

Castelnuovo, E. (1988). La Matematica : La Geometria. Firenze : La Nuova Italia. Esercizi a cura di C. degli Esposti e P. Gori.

Castelnuovo, E. (1998). La Matematica : Figure piane A, Figure piane B. Con Esercizi di Paola Gori e Carla degli Esposti. Firenze : La Nuova Italia.

Celi, V. (2005). Une comparaison de l’enseignement de la géométrie dans le secondaire en France et en Italie. Revue Canadienne de l’enseignement des sciences, des mathématiques et des technologies, 5-3, 377-399.

Celi, V. (2014). La géométrie intuitive d’Emma Castelnuovo. Petit x, n. 95, 71-82, IREM de Grenoble.

Celi, V. (2016). Quand Emma Castelnuovo rencontra Alexis-Claude Clairaut. L’histoire d’un esprit novateur dans l’enseignement de la géométrie pour des jeunes élèves. Histoire et Pédagogie des Mathématiques (HPM) 2016. Colloque satellite de l’ICME 13, 18-22 juillet 2016, Montpellier (France).

Clairaut, A. C. (1741). Éléments de géométrie. Gauthier-Villars et Cie éditeurs.

Ghys, E. (2013). Les « éléments de géométrie » de Clairaut : une manière moderne d’enseigner la géométrie ?. Tricentenaire de Clairaut, mathématicien et géophysicien, Séance publique de l’Académie des Sciences du 14 mai 2013. http://www.academie-sciences.fr/fr/Colloques/tricentenaire-de-clairaut-mathematicien-et-geophysicien.html

MEN (2018). Programmes du cycle 4, Éduscol, Ministère de l’Éducation Nationale et de la Jeunesse. http://eduscol.education.fr/cid99696/ressources-maths-cycle-4.html

Piaget J., Boscher, B., Chatelet A. (1956). Avviamento al calcolo. La Nuova Italia.

Villani, C. et Torossian C. (2018). 21 mesures pour l’enseignement des mathématiques. Ministère de l’Éducation National et de la Jeunesse. https://cache.media.education.gouv.fr/file/Fevrier/19/0/Rapport_Villani_Torossian_21_mesures_pour_enseignement_des_mathematiques_896190.pdf

Post-scriptum :

Remerciements
Merci à Lucilla et Stéphane qui m’ont encouragée à mener à bien ce travail sur Emma Castelnuovo et à Aziz El Kacimi de l’avoir accueilli avec enthousiasme dans la rubrique Mathématiques de l’enseignement et plus . Merci aussi aux relecteurs alainfa, Didier Roche et Clément Caubel qui en ont apprécié le contenu et qui m’ont signalé les coquilles et maladresses qu’il fallait retoucher pour une version finale du texte.

Article édité par Aziz El Kacimi

Notes

[1Pour d’autres exemples d’exercices exploitant du matériel articulé, cf. Celi, 2014, pp. 79-80.

[3Pour plus de détails sur la vie de Emma Castelnuovo, cf. Sandra Linguerri.

[4En 2009, elle évoquera encore l’ouvrage de Clairaut comme source d’inspiration, dans CASTELNUOVO E. (2009), Come imparare la geometria ?, Treccani.it, l’enciclopedia italiana.

[5Par exemple l’édition publiée par Betti et Brioschi, en 1867 ; ou bien, celle de Enriques, en 1925.

[6Dans Celi (2005), l’analyse de manuels scolaires récents m’a conduite à parler d’empreinte euclidienne en signifiant par là que nous avons hérité d’Euclide non seulement un savoir mais aussi un exemple de style et de méthode pour le transmettre.

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Pour citer cet article :

Valentina Celi — «Emma Castelnuovo : objets et actions pour un enseignement constructif de la géométrie» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - Collection personnelle.
img_19256 - Photographie personnelle, prise à la bibliothèque de l’Istituto d’Insegnamento Superiore Darwin (Rome) où l’on a accès à la collection d’ouvrages et matériels qui ont appartenu à Emma Castelnuovo.
img_19257 - Photographie personnelle, prise à la bibliothèque de l’Istituto d’Insegnamento Superiore Darwin (Rome) où l’on a accès à la collection d’ouvrages et matériels qui ont appartenu à Emma Castelnuovo.

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