Empiler des tétraèdres

Piste bleue Le 26 août 2011  - Ecrit par  Günter M. Ziegler Voir les commentaires (3)

Ce texte est la traduction d’une partie de l’article « Three mathematics competitions » publié dans le livre An invitation to Mathematics Springer (Schleicher, Dierk ; Lackmann, Malte (Eds.)), que nous recommandons chaleureusement à nos lecteurs.

Le tétraèdre régulier est l’une des figures les plus simples de la géométrie dans l’espace : quatre sommets, quatre faces, et six arêtes de même longueur.

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Un tétraèdre régulier

Avec quelle densité peut-on empiler des tétraèdres réguliers de même taille dans l’espace ?
Cette question fait partie du 18 ème des problèmes présentés par Hilbert au Congrès International des Mathématiciens de Paris, en 1900.

« Je voudrais indiquer la question suivante, en rapport avec la précédente, et importante en théorie des nombres et peut-être parfois utile en physique et en chimie : comment peut-on empiler de la manière la plus dense possible dans l’espace une infinité de solides qui ont tous une forme donnée, par exemple des sphères ayant tous le même rayon ou des tétraèdres réguliers dont les côtés ont tous une longueur donnée (ou dans une direction donnée), ou encore comment les agencer des façons à ce que le rapport entre l’espace rempli et l’espace laissé vide soit aussi grand que possible ? »

Mais en réalité, cette histoire a commencé beaucoup plus tôt.
Le philosophe grec Aristote a affirmé qu’il existe un empilement parfait dans lequel les tétraèdres remplissent tout, sans laisser d’espace — un empilement à 100 %.
Ce n’est pas correct, mais ce qu’affirme Aristote est encore pire.
Il écrit [1] :

« Il est admis qu’il n’existe que trois figures planes qui peuvent remplir le plan : le triangle, le quadrilatère, et l’hexagone, et seulement deux solides, la pyramide et le cube. »

Evidemment les « figures » font référence aux polygones et polyèdres réguliers, et la « pyramide » en question est un tétraèdre régulier.
En ce qui concerne la possibilité du remplissage de l’espace entier par des tétraèdres réguliers, Aristote ne se contente pas de l’affirmer, il écrit que « c’est admis ».
Bien connu ? Peut-être, mais ce n’est pas vrai !
Cependant, comme le grand Aristote y a fait référence comme « connu et admis », il faudra un certain temps avant que quelqu’un ose en douter…

L’erreur est passée inaperçue pendant près de 1800 ans, jusqu’à ce qu’un allemand, Johannes Müller (1436-1476), connu sous le nom de Regiomontanus, et l’un des pères de la trigonométrie, la révéla.
Son manuscrit De quinquet corporibus aequilateris quae vulgo regularis nuncupantur : quae videlicet forum locus impleant corporalem & quae non. contra commentatorem Aristotelis Averroem
semble perdu et nous n’en connaissons donc pas exactement le contenu — même si le titre en donne une indication claire.
Le fait que l’affirmation d’Aristote soit fausse peut se vérifier en fabriquant avec soin un modèle en carton, ou encore de manière plus simple (et plus crédible), en utilisant un peu de trigonométrie et une calculatrice : l’angle dièdre en chaque arête du tétraèdre est de $\arccos(1/3) \simeq 70,529 °$, et donc un peu inférieur à un cinquième de 360°.
Mais bien sûr cette trigonométrie et la calculatrice n’étaient pas à la disposition d’Aristote et de ses contemporains.
Il semble que Regiomontanus pouvait faire le calcul : il avait la trigonométrie à sa disposition.

Mais si 100% de l’espace ne peuvent pas être remplis, quelle densité de remplissage peut-on atteindre ?
Qu’on puisse empiler des cubes parfaitement peut s’observer par exemple dans les boîtes de sucres cubiques.
Des boules de mêmes rayons peuvent remplir l’espace jusqu’à une fraction de $\pi/\sqrt{18}\simeq 74,05\%$ ; c’est la conjecture de Kepler, formulée en 1611 et résolue en 1998 par Thomas C. Hales avec son étudiant Samuel Fergusson [2] et [3].

Mais qu’en est-il pour les tétraèdres ?
Quelle densité peut-on obtenir pour un « sable » dont les grains seraient des tétraèdres réguliers de même taille ?
Le problème est assez facile à résoudre si vous supposez que tous les tétraèdres sont orientés de la même manière dans l’espace et que par ailleurs leurs centres sont sur un réseau périodique dans l’espace.
Dans ce cas, l’empilement le plus dense ne remplit qu’à peine $18/49\simeq 36,73 \%$ de l’espace de dimension 3 (voir la figure ci-dessous) :

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L’empilement périodique le plus dense

Si vous ne demandez plus que les centres soient sur un réseau périodique, les choses sont beaucoup plus compliquées (la même chose est d’ailleurs vraie également pour les empilements de sphères, pour lesquels Gauss avait résolu le problème de l’empilement en réseau périodique).
Mais si vous autorisez en plus les tétraèdres à tourner arbitrairement dans l’espace, alors le problème devient vraiment compliqué.
Il s’agit du Tetris Tétraédrique© : vous pouvez et vous devez essayer de tourner les tétraèdres intelligemment pour qu’ils remplissent le mieux possible les espaces laissés par les autres.
Mais quelle densité peut-on atteindre ?

Ce n’est que récemment que ce problème est entré dans le domaine de la recherche — et qu’il est devenu l’objet d’une compétition qui met en jeu des scientifiques de disciplines assez différentes.
Ma présentation de l’histoire doit beaucoup au rapport publié dans le New York Times par Paul Chang [4] qui contient beaucoup de choses sur cette histoire (mais pas tout, loin de là, d’après ce que me disent des scientifiques proches de cette compétition).

Le signal du départ pour la compétition a été donné en 2006 par John H. Conway, un géomètre et théoricien des groupes de légende, travaillant à Princeton (USA), et par Salvatore Torquato, l’un de ses collègues, travaillant au département de chimie.
Ensemble, ils ont obtenu un résultat remarquablement mauvais, qu’ils ont publié [5] aux Proceedings of the National Academy of Sciences : ils ne pouvaient pas remplir plus de $72 \%$ de l’espace avec des tétraèdres réguliers de même taille — c’est moins bien qu’avec le remplissage optimal avec des boules !

Cela a semblé incroyable à Paul Chaikin, un physicien de l’Université de New York : il acheta de grands paquets de dés de formes tétraédrales (comme ceux utilisés dans le jeu « Donjons et Dragons »), et il demanda à des élèves de lycée de faire des expériences avec ces dés.
En secouant et en pressant un peu les tétraèdres dans de grands récipients, ils obtinrent un pourcentage bien plus grand que $72 \%$.
Bien sûr, ce genre d’expériences physiques ne peut pas être accepté comme des preuves par la communauté des mathématiciens — puisque par exemple, les dés en plastique utilisés ont des coins et des arêtes légèrement arrondis et ne sont donc pas des tétraèdres idéaux. Est-ce que cela peut faire une différence ? Difficile à dire !

En même temps, à Ann Arbor (Michigan, USA), le mathématicien Jeff Lagarias mettait au défi son étudiante Elizabeth Chen : « Tu dois les battre. Si tu y arrives, ce sera très bon pour toi. »
Chen commença, étudia un grand nombre de possibilités pour des configurations locales et, en août 2008, elle présenta un empilement d’une densité remarquable de $78 \%$ [6].
Au début, Lagarias ne pouvait pas la croire !

Un peu plus tard, dans la même université, mais au département d’ingénierie chimique, Sharon C. Glotzer commença à s’intéresser aux empilements de tétraèdres : elle et ses collègues voulaient comprendre si, en les secouant, les tétraèdres viendraient se mettre dans la position d’une structure cristalline qu’ils connaissaient parmi les cristaux liquides.
Pour le vérifier, ils écrivirent un programme d’ordinateur pour simuler la secousse et le réarrangement des tétraèdres — et ils découvrirent une structure quasi-cristalline compliquée qui consiste en une répétition périodique d’un bloc formé de 82 tétraèdres.
Compliqué mais dense : $85,03 \%$ !
Alors que ces résultats étaient en cours de publication dans la revue Nature [7], des concurrents apparurent : Yoav Kallus, Simon Gravel et Veit Elser du laboratoire de physique du solide et atomique de l’université de Cornell (USA) et ils découvrirent un empilement bien plus simple qui est fait de la répétition périodique d’un motif de $4$ tétraèdres [8].
(On se demande pourquoi cette configuration a échappé aux simulations de Glotzer et al.)
Densité : $85,47 \%$.

Mais la course a continué.
Un peu avant Noël 2009, Salvatore Torquato et son étudiant en thèse Yang Jiao ont obtenu une densité de $85,55 \%$ : ils ont analysé la configuration de Cornell et l’ont améliorée un peu [9].
Etait-ce la fin de la course ?

Non !
Le 26 décembre 2009, Elizabeth Chen frappa de nouveau.
Sa prépublication, soumise à ArXiv juste après la fin de l’année (et écrit en collaboration avec Sharon Glotzer et Michael Engel du département d’ingénierie chimique) décrit une nouvelle amélioration du cristal de Cornell ; elle fut décrite par une méthode systématique [10] : Densité : $4000/4671 \simeq 85,6348 \%$.
Et ceci, un an plus tard semble être encore le record (cet article est écrit en novembre 2010).

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Une configuration de tétraèdres

Où se trouve la ligne d’arrivée ?
Je ne le sais pas, bien sûr.
Et autant que je sache, on n’a pas aujourd’hui de bonnes estimations de la distance à l’optimum.
Peut-être que $85,6348 \%$ est l’optimum, peut-être qu’il existe des empilements bien plus denses.
Maintenant, il faut chercher des bornes supérieures, et celles-ci ne peuvent pas être obtenues par des constructions et nécessitent des méthodes bien différentes.
Peut-être que des estimations telles que celles obtenues pour le problème de Kepler pourraient aider (voir Lagarias [15] et Henk $\&$ Ziegler [12]) mais peut-être que non.

Cependant, je m’attends maintenant à une course qui commence de l’autre côté, à la borne $100 \%$ : quelqu’un peut-il montrer qu’on ne peut pas remplir plus de $95 \%$ de l’espace avec des tétraèdres réguliers de même taille ?
La seule chose qui semble connue aujourd’hui est que la densité ne peut pas atteindre $99, 999 999 999 999 999 999 999 974 \%$, selon Gravel et al. [11].

Article édité par Étienne Ghys

Notes

[1De Caelo III, 306b ; cité par Majorie Senechal dans l’article primé « Quels tétraèdres remplissent l’espace ? » Mathematics Magazine 54, 227-243 (1981)

[2Thomas C. Hales, A proof of the Kepler conjecture, Annals of Mathematics 162, 1063-1183 (2005), en se fondant sur de longs calculs sur ordinateur. Voir aussi Martin Henk et Günter M. Ziegler, Spheres and the Computer — the Kepler conjecture Mathematics everywhere, 143-164, American Mathematical Society Providence 2010.

[3George G. Szpiro, Kepler’s conjecture. How some of the greatest minds helped solve one of the oldest math problems in the world ? John Wiley and Sons, Hoboken (2003).

[4Kenneth Chang, Packing tetrahedrons, and closing in on a perfect fit, New York Times, January 4, 2010.

[5John H. Conway et Salvatore Torquato, Packing, tiling, and covering with tetrahedra, Proceedings of the National Academy of Sciences 103(28), 10612-10617 (2006)

[6Elizabeth R. Chen, A dense packing of regular tetrahedra. Discrete and Computational Geometry 40, 214-240 (2008).

[7Amir Haji-Akbari et al. Disordered, quasicrystalline and crystalline phases of densely packed tetrahedra, Nature 462,773-777 (2009).

[8Yoav Kallus, Veit Elser, Simon Gravel : A dense periodic packings of tetrahedra with small repeating units,
Discrete & Computational Geometry 44 (2010), 245-252.

[10Elizabeth R. Chen, Michael Engel, and Sharon C. Glotzer, Dense crystalline dimer packings of regular tetrahedra, Discrete and Computational Geometry 44, 253-280 (2010).

[11Simon Gravel, Veit Elser, Yoav Kallus, Upper bound on the packing density of regular tetrahedra and octahedra, Discrete & Computational Geometry (online first), DOI : 10.1007/s00454-010-9304-x http://www.springerlink.com/content/x71q34h520126035/ .

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Pour citer cet article :

Günter M. Ziegler — «Empiler des tétraèdres » — Images des Mathématiques, CNRS, 2011

Crédits image :

Un tétraèdre régulier - http://www.software3d.com/Stella.php
Une configuration de tétraèdres - Extrait de l’article de Chen, Engel et Glotzer cité dans la bibilographie.
L’empilement périodique le plus dense - Extrait de l’article de Conway et Torquato cité dans la bibliographie

Commentaire sur l'article

  • Empiler des tétraèdres : un cas pratique, le rangement des berlingots de lait

    le 29 août 2011 à 11:11, par Bernard Hanquez

    Au début des années 60 est apparu en France l’emballage sous la forme de tétraèdre, principalement pour le lait. Ce type d’emballage, inventé par la société Tetrapak, présentait l’avantage d’être fabriqué en même temps qu’il était rempli.

    Ces tétraèdres, appelés à l’époque « Berlingots », étaient livrés aux détaillants dans des paniers métalliques ayant la forme d’un tronc de pyramide hexagonale. Je ne sais pas quelle était la densité obtenue mais cela donnait l’impression d’être assez compact. Ces tétraèdres en carton étant déformables cela devait aussi faciliter un peu les choses.

    On peut apercevoir de tels paniers sur cette page :

    http://www.tetrapak.com/fr/tetra_pak_france/qui_sommes_nous/tetra_pak_en_bref/pages/default.aspx

    Répondre à ce message
    • Berlingots de lait

      le 5 septembre 2011 à 22:39, par Rémi Peyre

      Bonjour,

      Merci pour cette image intéressante. Malheureusement, les berlingots de la photo ne sont pas des tétraèdres réguliers : on peut s’en convaincre à l’œil nu, ou constater que le dessus de l’empilement dans le panier métallique est formé d’un dôme pointu de 6 tétraèdres se touchant deux à deux, ce qui n’est possible que si l’angle des triangles au niveau de la pointe est strictement inférieur à 60°.

      À noter une autre subtilité : ce n’est pas parce qu’on sait remplir un panier de façon compacte qu’on sait pour autant remplir l’espace de façon compacte, car si ça se trouve le panier lui-même ne pave pas bien l’espace. Ainsi, on peut regrouper 20 tétraèdres par un sommet pour remplir un icosaèdre avec un taux de plus de 87 %, mais comme ensuite on ne peut pas paver efficacement l’espace par des icosaèdres, on n’est guère avancé... De même, la forme du panier de la photo ne semble pas non plus paver l’espace.

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  • Empiler des tétraèdres

    le 8 septembre 2011 à 11:40, par Jérôme Buzzi

    Sur le titre de l’ouvrage de Regiomontanus : De quinquet corporibus aequilateris quae vulgo regularis nuncupantur : quae videlicet forum locus impleant corporalem & quae non. contra commentatorem Aristotelis Averroem ? On se doute qu’il s’agit de quelque chose comme « Sur celui des cinq corps réguliers que le commun appelle l’équilatéral : à savoir quel lieu il occupe et n’occupe pas, contre Averroès, le commentateur d’Aristote » mais quelqu’un peut-il proposer une traduction précise ?

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