Encore des maths dans un ballon de foot

Le 21 novembre 2020  - Ecrit par  Andrés Navas, avec la collaboration de María José Moreno pour les illustrations Voir les commentaires
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Le design du nouveau ballon de la Ligue de Champions comporte un changement très intéressant en relation à la position relative des étoiles... qui n’est pas du tout trivial !

Le design des ballons de football -et, en général, de tout sport- est souvent mathématiquement très intéressant. Dans ces trois articles d’Images des Mathématiques, vous en découvrirez beaucoup sur ce sujet : celui-ci est lié aux dessins en général, celui-ci à la Brazuca (le ballon officiel de la Coupe du Monde 2014), et celui-ci au ballon -et au logo- de la Ligue des Champions, auquel nous nous référerons ici une nouvelle fois.

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Vous avez peut-être remarqué qu’il y a eu un léger changement de design pour le ballon de la compétition. Si non, regardez attentivement : celui de gauche était le ballon de la version 2018-2019, et celui de droite est le ballon 2019-2020 (avec lequel on joue la nouvelle version de la coupe). Vous voyez la différence ? Les 12 étoiles ne se touchent plus à leurs extrémités, elles sont maintenant en contact le long de leurs côtés.

Comment a-t-on abouti à cet exploit de design ? Une façon de comprendre le processus est la suivante : d’abord, les étoiles ont été toutes pivotées du même angle et dans le même sens, puis elles ont été légèrement modifiées de sorte que les côtés se chevauchent parfaitement. Très original ! Mais que signifie « pivoter dans le même sens » ? Les étoiles étant sur une sphère, on peut se demander comment faire.

Or, il se trouve que la notion de « sens de rotation » sur une sphère est parfaitement bien définie. En fait, nous l’utilisons en permanence : notre planète est sphérique, et pourtant nous n’avons jamais aucun problème à comprendre ce que signifie « pivoter à gauche » ou « à droite », peu importe où nous sommes [1]. En général, les surfaces sur lesquelles cette notion a un sens sont appelées « orientables ». La sphère en fait partie, tout comme le tore (une surface en forme de beignet), le bitore (un beignet avec une poignée supplémentaire), le tritore, etc.

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C’est quoi alors un exemple d’une surface non orientable ? La plus célèbre est sans aucun doute la bande de Möbius, magnifiquement décrite dans cet article. Celle-ci est obtenue en prenant un ruban et en joignant une extrémité à l’autre en faisant un demi-tour. Si ce demi-tour n’est pas fait, alors le ruban se ferme comme la surface d’un cylindre ; Si nous y mettons des étoiles et les tournons toutes dans le même sens, il n’y a pas de problème d’incompatibilité, comme illustré ci-dessous.

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En revanche, sur la bande de Möbius, il est impossible de faire pivoter les étoiles dans une direction cohérente. Observez simplement : lors de la fermeture de la bande, les étoiles se tournent « dans des sens opposés ».

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Heureusement, le football se joue avec un ballon et non avec une bande de Möbius ! [2].

Article édité par Laurent Bartholdi

Notes

[1Ceci lorsqu’on ne parle pas de politique. Dans ce monde, d’après Nicanor Parra, « la gauche et la droite unies ne seront jamais vaincues ».

[2Bien que d’après quelques résultats récents, certaines équipes semblent être un peu désorientées...

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Pour citer cet article :

Andrés Navas, avec la collaboration de María José Moreno pour les illustrations — «Encore des maths dans un ballon de foot» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - https://www.elespanol.com/deportes/futbol/20190605/nuevo-balon-champions-league/403989607_3.html

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