Le design des ballons de football -et, en général, de tout sport- est souvent mathématiquement très intéressant. Dans ces trois articles d’Images des Mathématiques, vous en découvrirez beaucoup sur ce sujet : celui-ci est lié aux dessins en général, celui-ci à la Brazuca (le ballon officiel de la Coupe du Monde 2014), et celui-ci au ballon -et au logo- de la Ligue des Champions, auquel nous nous référerons ici une nouvelle fois.

Vous avez peut-être remarqué qu’il y a eu un léger changement de design pour le ballon de la compétition. Si non, regardez attentivement : celui de gauche était le ballon de la version 2018-2019, et celui de droite est le ballon 2019-2020 (avec lequel on joue la nouvelle version de la coupe). Vous voyez la différence ? Les 12 étoiles ne se touchent plus à leurs extrémités, elles sont maintenant en contact le long de leurs côtés.

Comment a-t-on abouti à cet exploit de design ? Une façon de comprendre le processus est la suivante : d’abord, les étoiles ont été toutes pivotées du même angle et dans le même sens, puis elles ont été légèrement modifiées de sorte que les côtés se chevauchent parfaitement. Très original ! Mais que signifie « pivoter dans le même sens » ? Les étoiles étant sur une sphère, on peut se demander comment faire.

Or, il se trouve que la notion de « sens de rotation » sur une sphère est parfaitement bien définie. En fait, nous l’utilisons en permanence : notre planète est sphérique, et pourtant nous n’avons jamais aucun problème à comprendre ce que signifie « pivoter à gauche » ou « à droite », peu importe où nous sommes [1]. En général, les surfaces sur lesquelles cette notion a un sens sont appelées « orientables ». La sphère en fait partie, tout comme le tore (une surface en forme de beignet), le bitore (un beignet avec une poignée supplémentaire), le tritore, etc.

C’est quoi alors un exemple d’une surface non orientable ? La plus célèbre est sans aucun doute la bande de Möbius, magnifiquement décrite dans cet article. Celle-ci est obtenue en prenant un ruban et en joignant une extrémité à l’autre en faisant un demi-tour. Si ce demi-tour n’est pas fait, alors le ruban se ferme comme la surface d’un cylindre ; Si nous y mettons des étoiles et les tournons toutes dans le même sens, il n’y a pas de problème d’incompatibilité, comme illustré ci-dessous.

En revanche, sur la bande de Möbius, il est impossible de faire pivoter les étoiles dans une direction cohérente. Observez simplement : lors de la fermeture de la bande, les étoiles se tournent « dans des sens opposés ».

Heureusement, le football se joue avec un ballon et non avec une bande de Möbius ! [2].