En plein XXI^e siècle, on peut encore s’amuser à proposer des démonstrations nouvelles pour le théorème de Pythagore!

Le théorème de Pythagore est peut être le plus important des résultats des mathématiques anciennes. En cherchant sur Images des Mathématiques on trouve plusieurs articles où il est traité sous des différents angles (par exemple, ici). En particulier, on trouvera quelques preuves classiques ici, ici, ici, ici, ici, ici et ici.

Le gâteau du logo de cet article représente lui aussi une preuve, qui est l’une des plus connues (cliquez sur l’image à gauche pour voir la vidéo - muette, mais elle ne nécessite aucune explication). Parmi toutes, c’est ma préférée, non seulement pour sa simplicité et sa clarté mais aussi pour des raisons personnelles. Comme dans beaucoup de cas, mon professeur n’a jamais expliqué pourquoi le théorème était vrai ; il l’a plutôt réduit à une simple «formule», une recette avec laquelle on pouvait calculer la longueur de l’un des côtés d’un triangle rectangle en connaissant celles des deux autres (et ainsi répondre avec joie à des exercices de routine lors des examens...) J’ai trouvé cette preuve dans un livre d’histoire des mathématiques qui, par chance, tomba entre mes mains, et qui fit naître mon goût pour la géométrie.

Il est fort probable que la plupart des personnes passionnées par les mathématiques puissent raconter une histoire similaire et, en passant, confirmer ce diagnostic sur leur enseignement au lycée. En ce qui concerne la géométrie, on en traite dans cet article et dans sa « suite ». Mon but ici n’est pas de rentrer à nouveau dans cette discussion (sur laquelle on a déjà dit beaucoup sur ce site, mais on pourrait certainement dire encore beaucoup plus), mais plutôt de vous présenter une preuve peu conventionnelle du théorème. Mais tout d’abord, une question un peu «naïve»:

Combien de preuves du théorème de Pythagore existe-t-il ?

Une réponse intentionnellement vague est : beaucoup plus que celles que l’on enseigne habituellement. On trouvera un recueil remarquable de 256 démonstrations différentes dans le livre The Pythagorean Proposition (en anglais), de Elisha Loomis, qui date de 1927 (on peut cependant signaler que quelques-unes de ces preuves peuvent être critiquées pour la somme des connaissances qu’elles nécessitent, notamment la dernière qui passe par la géométrie hyperbolique !). Dans cette liste, certaines sont souvent attribuées à des personnes célèbres tels que Leonardo da Vinci, Benjamin Franklin et Albert Einstein (toutefois les spécialistes remettent souvent ces attributions en question).

Un recueil plus moderne et interactif est ce blog (également en anglais), qui compte déjà plus de 120 preuves distinctes. Celle qui apparaît au numéro 117 date de 2016 et, après une recherche bibliographique méticuleuse, je suis persuadé qu’elle est nouvelle.

L’idée de la démonstration m’en est venue justement en cherchant des informations autour du théorème sur internet afin de préparer un exposé pour des étudiants de lycée. Sur une page (que je n’ai malheureusement pas réussi à retrouver), je suis tombé sur des dessins de ce type:

Si je m’en souviens bien, ils étaient accompagnés d’une question tout à fait naturelle:

Est-ce que la somme des aires des figures appuyées sur les petits côtés des triangles rectangles est égale à l’aire de la figure appuyée sur le grand côté ?

Il est fort probable que la réponse ne soit pas évidente pour un étudiant; d’ailleurs, il se peut que même des mathématiciens professionnels mettent —par précaution— quelques secondes avant de répondre. En effet, nous sommes tellement habitués à «apprendre» et «répéter» le théorème comme étant un résultat qui vaut pour des carrés construits sur les côtés que si l’on change ces figures par d’autres (triangles, pentagones, etc), cela peut nous créer un blocage intellectuel. Néanmoins, une petite réflexion nous montre que l’aire de ces figures est proportionnelle à celle des carrés, avec un rapport qui ne dépend que de la «forme» de la figure : ce rapport n’est rien d’autre que l’aire de cette figure lorsqu’elle est dessinée à une échelle telle qu’elle s’appuie parfaitement sur un segment de longueur 1. En fait, il n’est pas nécessaire que la figure soit polygonale : elle peut avoir des courbes, une silhouette, etc. Elle peut être même celle d’un hippopotame!

Le théorème de Pythagore pour des hippopotames : la somme des aires des hippopotames sur les petits cotés est égale à celle de l’hippopotame sur l’hypoténuse (ce dernier est appelé l’hyppopoténuse dans certains cercles pythagoriques modernes...)

De manière réciproque, il devrait être évident que pour des formes semblables quelconques qui s’appuient sur les cotés d’un triangle rectangle, l’égalité de la somme des aires de celles sur les petits cotés avec l’aire de celle du grand coté entraîne le validité du théorème de Pythagore classique (pour des carrés). À nouveau, il suffit de multiplier tous les termes de cette égalité par une constante bien choisie.

Peut-on donner une preuve «directe» pour certaines de ces égalités, c’est-à-dire un argument qui ne passe pas par le fait que nous connaissons déjà le théorème classique ? S’il s’agit de figures arbitraires, cela est fort improbable. Cependant, on trouvera dans cette vidéo et dans celle-ci (les deux en anglais) des jolies discussions à propos de la preuve qui se trouve ici (laquelle est souvent attribuée à Einstein...), laquelle suit cette idée. Dans ce cas, les figures que l’on considère sur chaque côté sont des copies du triangle de départ !

Si l’on dessine des polygones réguliers sur les côtés du triangle d’origine (comme illustré plus haut), on peut donner des preuves directes. Voici une démonstration avec des triangles équilatéraux qui est dans l’esprit des preuves classiques. Mais puisque nous sommes au XXI^e siècle, je préfère la laisser sous la forme d’une vidéo Youtube au lieu de la réécrire (le texte se trouve néanmoins ici).

Et voilà comment, en plein XXI^e siècle, on peut encore apporter des nouveautés aux mathématiques de l’ancienne Grèce [1]. Une nouvelle preuve d’un théorème de 2500 ans d’antiquité ! (peut être plus...).

C’est quand même rafraîchissant...

Problème 1: Cet article peut être complémenté avec le théorème d’équirépartition de Wallace-Gerwien-Bolyai, qui est traité de manière remarquable ici. Après lecture, on notera que si l’on dessine des pièces polygonales semblables sur chaque coté d’un triangle rectangle, alors celles qui sont sur les petits cotés peuvent être coupées en des morceaux polygonaux qui, rassemblés, remplissent exactement celle de l’hypoténuse.

Quelle est la décomposition obtenue pour des pentagones, des rectangles d’or, des triangles équilatéraux, etc ?

Problème 2: Si l’on trace des demi-cercles sur les cotés d’un triangle rectangle, avec ceux des petits côtés tournés vers l’extérieur et celui de l’hypoténuse vers l’intérieur, alors les régions entre ces demi-cercles sont les fameuses lunes d’Hypocrate. Une propriété fondamentale (que l’on vérifie aisément à l’aide du théorème de Pythagore) est que la somme des aires des lunes est égale à l’aire du triangle original [2].

Sous quelles conditions les deux lunes sont-elles des figures semblables ?

La somme des aires des lunes (en bleu ciel) est égale à l’aire du triangle original (en bleu).

Problème 3: Dans la figure des hippopotames sur le triangle rectangle, le volume de celui sur l’hypoténuse est-il supérieur, égal ou inférieur à la somme des volumes des hippopotames sur les petits cotés ?

On attend vos réponses dans les commentaires !