Un desafío por semana

Enero 2014, cuarto desafío

Le 24 janvier 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 22 janvier 2014
Article original : Janvier 2014, 4ème défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 4 :

En una grilla de 3 líneas y 6 columnas se coloca números de 1 a 6. Sobre la primera línea se les dispone en orden creciente ; sobre la segunda, en un orden cualquiera ; y sobre la tercera se dispone el valor absoluto de la diferencia de los números de cada columna. ¿Puede usted llenar la segunda línea de manera que se obtengan 6 diferencias distintas ?

Solución del tercer desafío de enero

Enunciado

La respuesta es $ab=6$.

Como $a^2=6b+5ab$ y $b^2=6a+5ab$, uno tiene entonces

$a^2-b^2 = 6(b-a)$

$(a-b)(a+b) = 6(b-a)$

$(a-b)(a+b+6) = 0.$

Como $a \neq b$, se tiene $a+b+6=0$, de donde $a+b=-6$. Luego, al elevar al cuadrado uno obtiene $a^2+b^2+2ab=36$, por lo tanto $a^2+b^2=36-2ab$. Sin embargo, al adicionar las ecuaciones originales ahora se tiene $a^2+b^2=6(a+b)+10ab$,
y por lo tanto

\[36-2ab = -36+10ab,\]

\[72 = 12ab,\]

\[6 = ab.\]

Post-scriptum :

Para saber más acerca de la imagen del mes de enero, lea Une chambre hyperbolique de Jos Leys.

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Étienne Ghys - Ilustraciones : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Enero 2014, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - La edición francesa del calendario es una publicación de Presses Universitaires de Strasbourg y de Googol.

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