Enunciado

Ambos números aparecen la misma cantidad de veces.

Se observa que cuando uno reemplaza un número de la lista por el número que se obtiene como la suma de sus cifras, el residuo obtenido al dividir el número por 9 no cambia. Por ejemplo, el número 1567 da un residuo igual a 1 cuando se le divide por 9, y el número obtenido al adicionar sus cifras, $1+5+6+7=19$, da también un residuo igual a 1 cuando se le divide por 9. Este hecho es consecuencia del criterio de divisibilidad por 9. En general, el número de cuatro cifras $abcd$ da el mismo residuo al dividirlo por 9 que $a+b+c+d$.

Después de todas las sustituciones, los números de la lista están entre 0 y 9. Luego, todos los números 1 de la lista provienen de números que dan un residuo igual a 1 cuando se les divide por 9, a saber, 1, 10,19, 28, $\ldots$, 1999, 2008. Del mismo modo, todos los números 2 provienen de números que dan un residuo igual a 2 cuando se les divide por 9, esto es, 2, 11, 20, 29, 38, $\ldots$, 2000, 2009. Se observa que entre 1 y 2007 hay $ 223=\frac{2007}{9} $ números que son múltiplos de 9 y 223 números que dan un residuo de 1 cuando se les divide por 9; con 2008 hay en total 224 números que dan un 1 en la lista final. De manera análoga, entre 1 y 2014 hay 224 números que dan un residuo igual a 2 cuando se les divide por 9. En consecuencia, ambos números 1 y 2 aparecen la misma cantidad de veces.