Un desafío por semana

Enero 2015, cuarto desafío

El 23 enero 2015  - Escrito por  Ana Rechtman
El 26 enero 2015
Artículo original : Janvier 2015, 4e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 4:

En la figura de abajo, los números indican las áreas de las zonas coloreadas expresadas en cm$^2$.

¿Cuánto vale $x$?

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Solución del tercer desafío de enero:

Enunciado

La respuesta es $2^a\cdot 3^b-1$, con $a\leq b$ números de Fibonacci consecutivos.

Notemos que $m+n+mn=(m+1)(n+1)-1$. Escribamos los primeros números de la secuencia del pizarrón:

PNG - 23.8 KB

En la tercera columna, cada número es el producto de los dos precedentes. Notemos que esos números son de la forma $2^a\cdot 3^b$, con $a$ y $b$ enteros positivos. Puesto que al multiplicar números de esta forma se debe sumar los exponentes, la secuencia de exponentes de 2 es 1, 1, 2, 3, 5..., es decir, cada número es la suma de los dos precedentes. Se trata entonces de la sucesión de Fibonacci. De la misma forma, la sucesión de los exponentes de 3 es 1, 2, 3, 5, 8..., que también es la sucesión de Fibonacci. Por lo tanto, $a$ y $b$ son números consecutivos de la sucesión de Fibonacci.

En consecuencia, los números escritos en la pizarra son $2^a\cdot 3^b-1$, con $a$ y $b$ números de Fibonacci consecutivos tales que $1\leq a\leq b$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart. 2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Enero 2015, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Jean-Lou Zimmermann/Biosphoto

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