Un desafío por semana

Enero 2016, quinto desafío

El 29 enero 2016  - Escrito por  Ana Rechtman
El 29 enero 2016
Artículo original : Janvier 2016, 5e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2016 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 5:

Un tren de $900$ m de largo que viaja a $90$ km/h se acerca a un puente de $100$ m de largo. ¿Cuántos segundos se demora en cruzar el puente por completo?

Solución del cuarto desafío de enero:

Enunciado

La respuesta es $x+y+z=90^\circ$.

Supongamos sin pérdida de generalidad que cada cuadrado tiene $1$ cm de lado. Utilizando el teorema de Pitágoras obtenemos las longitudes de $BD=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$ cm y $ED=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$ cm. Además, $z=45^\circ$, pues $FD$ es la diagonal de un cuadrado.

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En la segunda figura de arriba tenemos

$BG^2+GD^2=\sqrt{5}^2+\sqrt{5}^2=10=BD^2.$

Por lo que el triángulo $BGD$ es isósceles y, por el recíproco del teorema de Pitágoras, rectángulo en $G$. El ángulo $\widehat{DBG}=x+y=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ.$ Por lo tanto, la suma $x+y+z$ vale $90^\circ$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2016 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

— «Enero 2016, quinto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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