Un desafío por semana

Enero 2017, segundo desafío

Le 13 janvier 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 13 janvier 2017
Article original : Janvier 2017, 2e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 2 :

Queremos descomponer al conjunto $\{2,3,\dots, 32\}$ en subconjuntos que cumplan que ninguno de sus elementos divida al resto. ¿Cuál el número mínimo de subconjuntos necesario para que esto sea posible ?

Solución del primer desafío de enero :

Enunciado

La respuesta es no.

Como $2017$ es impar y la suma de dos números impares es par, el número de enteros impares consecutivos es necesariamente impar. Denotemos $c$ el número central de la suma que da como resultado $2017$. Los números adyacentes a este, $c-2$ y $c+2$, suman $2c$. De la misma manera, los siguientes términos adyacentes también suman $2c$. En efecto $(c-4) + (c+4) = 2c$.
Así, al reagrupar los términos de la suma en pares, obtenemos que $2017$ se escribe como un múltiplo de $c$, es decir, $c$ divide a $2017$.
Sin embargo, $2017$ es primo, por lo que $c=1$ o $c=2017$.

  • Si $c=1$ entonces $c-2<0$, lo cual no puede ser por el enunciado.
  • Si $c=2017$ entonces la suma solo tendría un término, lo cual tampoco puede ser.

Por lo tanto, $2017$ no se puede escribir como la suma de números impares consecutivos.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Enero 2017, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - Sinclair stammers / SPL-Science photo library / Biosphoto

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