Un desafío por semana

Enero 2018, cuarto desafío

Le 26 janvier 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 26 janvier 2018
Article original : Janvier 2018, 4e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático cada viernes, y su solución a la semana siguiente. No habrá edición del calendario 2018 en papel, ¡tendremos que esperar para la edición 2019 !

Semana 4 :

En cada casilla de un tablero de ajedrez de $1000\times 1000$ escribimos uno de los siguientes números : $1, -1$ o $0$. Luego, sumamos todos los números escritos en cada línea y columna, obteniendo $2000$ resultados. ¿Es posible construir un tablero de ajedrez de manera que estos $2000$ números sean todos distintos ?

Solución del tercer desafío de enero :

Enunciado

La respuesta es $0$.

Veremos que el menor valor posible es $0$. Como la expresión buscada es no negativa, basta dar un ejemplo para el cual obtenemos $0$.

Sea $n\geq 4$ un entero. Consideremos los números consecutivos $n$, $n+1$, $n+2$ y $n+3$. Podemos cambiar de la siguiente manera los signos $\bigcirc$ para obtener $0$ :

$+ n - (n+1)- (n+2) +(n+3)=0.$

Para los $3$ primeros números escribimos $1+2-3$, y reagrupamos los $804$ números siguientes en cuartetos $+ n - (n+1)- (n+2) +(n+3)$. De esta manera obtenemos

$|1+ 2-3 +(4-5-6+7)+ (8-9-10+11)+\cdots +(+804-805-806+807)|=0.$

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Pour citer cet article :

— «Enero 2018, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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