Un desafío por semana

Enero 2018, primer desafío

Le 5 janvier 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 5 janvier 2018
Article original : Janvier 2018, 1er défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático cada viernes, y su solución a la semana siguiente. No habrá edición del calendario 2018 en papel, ¡tendremos que esperar para la edición 2019 !

Semana 1 :

¿Cuántos centímetros debe medir $x$ para que el área de la parte pintada sea igual a la del triángulo $ABC$ ?

PNG - 20.4 ko

Solución del quinto desafío de diciembre :

Enunciado

La respuesta es 120 números.

Observemos que los resultados de las potencias de $3$ que nos interesan son : $3^0=1$, $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$, $3^5=243$, $3^6=729$ y $3^7>2017$.
Los números que tenemos que encontrar son los que se pueden escribir como :

\[ \_\, 3^6 + \_\, 3^5 + \_\, 3^4 + \_\, 3^3+ \_\, 3^2 + \_\, 3^1 + \_\, 3^0, \]

donde en cada espacio hay que poner el dígito $0$ o $1$.
Notemos que podemos poner un $1$ en cada una de estas casillas, ya que :

\[ 3^6 + 3^5 + 3^4 + 3^3+ 3^2 + 3^1 + 3^0=1093<2017.\]

Por lo tanto, cualquiera sea la manera de llenar los espacios, obtendremos un número entre $0$ y $1093$. Como hay dos posibilidades en cada caso, tendremos en principio $2^7 = 128$ posibilidades. Sin embargo, como en el enunciado se pide que la suma sea de al menos dos potencias diferentes, tenemos que excluir el caso en que todos los espacios tienen un $0$ y los $7$ casos en donde solo una casilla tiene un $1$. Por lo tanto, tenemos $128 - 1 - 7 = 120$ posibilidades.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Enero 2018, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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