Un desafío por semana

Enero 2020, primer desafío

Le 3 janvier 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 3 janvier 2020  - Traduit par  Ana Rechtman
Article original : Janvier 2020, 1er défi Voir les commentaires
Lire l'article en  

Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México) !

Semana 1

Determina los enteros positivos $n$ para los cuales $n^2 + 1$ divide a $n^2 + 5n + 2$.

Solución del cuarto desafío de diciembre :

Enunciado

La solución es $407$ triángulos.

Para contar las ternas de puntos que forman los triángulos no degenerados en segmentos, podemos primero contar todas las ternas de puntos y luego restarles aquellas de puntos alineados.

En lo que respecta a las ternas cualesquiera, como hay $15$ puntos, entonces
\[ \binom{15}{3} = \frac{15\times 14\times 13}{3\times 2\times 1} = 455 \]
es el número total de ellas.

En cuanto las ternas de puntos alineados, observa que dichos puntos están dispuestos ya sea paralelamente a uno de los lados del triángulo grande que forman todos los $15$, ya sea a lo largo de una altura de dicho triángulo.

Si los puntos están alineados paralelamente a un lado (por ejemplo, el horizontal), entonces pueden yacer bien sobre él, bien sobre una de las dos paralelas a éste, lo cual da
\[ \binom{5}{3} +\binom{4}{3} +\binom{3}{3} = 10 + 4 + 1 = 15 \]
posibilidades por cada direción ; si los puntos yacen sobre una altura, no hay más que una posibilidad por cada una.

En total, el número de ternas de puntos alineados es $3\times 15 + 3 = 48$, y el de triángulos no planos es entonces $455 - 48 = 407$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2020 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2019, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2020 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Enero 2020, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - LIGHTSPRING / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Le traducteur

Ana Rechtman