Un desafío por semana

Enero 2020, segundo desafío

Le 10 janvier 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 10 janvier 2020
Article original : Janvier 2020, 2e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México) !

Semana 2

Un cuadrado de lado $3$ cm es cortado de la manera siguiente :

¿Cuál es el porcentaje del área coloreada ?

Solución del primer desafío de enero :

Enunciado

La solución es $1$ y $5$.

De la rescritura $n^2 + 5n + 2 = (n^2 + 1) + (5n + 1)$ vemos que si $n$ es tal que $n^2 + 1$ divide a $n^2 + 5n + 2$, necesariamente debe dividir a $5n + 1$ y, en particular, debe ser menor o igual a esta última expresión.

Ahora bien, como $n > 0$, la desigualdad $n^2 + 1\leq 5n + 1$ nos da $n^2\leq 5n$, y por tanto $n\leq 5$. Podemos verificar los cinco casos uno por uno :

  • Si $n = 1$, entonces $n^2 + 1 = 2$, $5n + 1 = 6$ y $n^2 + 5n + 2 = 8$ : este número es apropiado ;
  • Si $n = 2$, entonces $n^2 + 1 = 5$, $5n + 1 = 11$ y $n^2 + 5n + 2 = 16$ : este número no es apropiado ;
  • Si $n = 3$ entonces $n^2 + 1 = 10$, $5n + 1 = 16$ y $n^2 + 5n + 2 = 26$ : este número no conviene ;
  • Si $n = 4$, entonces $n^2 + 1 = 17$, $5n + 1 = 21$ y $n^2 + 5n + 2 = 38$ : este número no conviene ;
  • Si $n = 5$, entonces $n^2 + 1 = 26$, $5n + 1 = 26$ y $n^2 + 5n + 2 = 52$ : este número es apropiado.

En consecuencia, los números buscados son $1$ y $5$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2020 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2019, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2020 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Enero 2020, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - LIGHTSPRING / SHUTTERSTOCK

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