Un desafío por semana

Enero 2020, tercer desafío

El 17 enero 2020  - Escrito por  Ana Rechtman
El 17 enero 2020
Artículo original : Janvier 2020, 3e défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México)!

Semana 3

Tres números primos $p$, $q$ y $r$ son tales que su suma es par. Determina el valor de $pqr - 2(pq+qr+rp) + 4(p+q+r)$.

Solución del segundo desafío de enero:

Enunciado

Consideremos uno de los triángulos, como se muestra a continuación:

Por el teorema de Pitágoras, tenemos que
$BC = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}\,\text{cm}$.

Por otro lado, la construción inicial indica que los ángulos $\langle CAD$ y $\langle ABD$ son iguales, porque pertenecen a triángulos superponibles.

Los triángulos rectángulos $ABD$ y $CBA$ son semejantes, por lo que $AD/AC = BA/BC$, de donde obtenemos que $AD = 3/\sqrt{10}\,\text{cm}$.

Utilizando de nuevo el teoréma de Pitágoras, esta vez al triángulo $ADB$, obtenemos que
\[ BD = \sqrt{3^2 - \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2} = \sqrt{\frac{81}{10}} = \frac{9}{\sqrt{10}}\,\text{cm}. \]

De aquí deducimos que el área del triángulo $ABD$ vale
\[ \frac{1}{2}\Bigl(\frac{9}{\sqrt{10}}\Bigr) \Bigl(\frac{3}{\sqrt{10}}\Bigr) = \frac{27}{20}\,\text{cm}^2. \]

Como el área coloreada está compuesta de cuatro copias superponibles del triángulo $ABD$, se tiene
\[ 4\times \frac{27}{20} = \frac{27}{5}\,\text{cm}^2. \]

Además, el área total del cuadrado es $3^2 = 9 =45/5$ $\text{cm}^2$, así que el porcentaje buscado es
\[ \frac{27/5}{45/5} = \frac{27}{45} = \frac{3}{5} = \frac{60}{100}. \]

La solución es $60\,\%$
.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2020 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2019, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2020 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos: Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

— «Enero 2020, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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