Un desafío por semana

Enero 2021, cuarto desafío

Le 22 janvier 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 22 janvier 2021
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente.

Semana 4

Construimos una circunferencia inscrita y otra circunscrita a un hexágono regular de lado $2~\mathrm{cm}$, como se indica en la figura :

PNG - 13.4 ko

¿Cuál es el área de la corona comprendida entre ambas circunferencias ?

Solución del tercer desafío de enero :

Enunciado

Si la descomposición en factores primos del primer número es $p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times \cdots\times p_k^{a_k}$, entonces éste cuenta con exactamente $(a_1 + 1) (a_2 + 1)\cdots (a_k + 1)$ divisores positivos.

Como $11$ es un número primo, $k = 1$ y $m = p^{10}$, donde $p$ es un número primo. De manera análoga, como $15 = 5\times 3$, el entero $n$ se escribe ya sea como $p^{14}$ o como $p^4 q^2$, con $p$ y $q$ primos.

Analicemos los diferentes casos posibles :

  • Si $m = p^{10}$ y $n = p^{14}$ (el mismo número primo aparece en ambos números), entonces $mn = p^{24}$ cuenta con $25$ divisores positivos.
  • Si $m = p^{10}$ y $n = q^{14}$ (los dos números primos son distintos entre sí), entonces $mn = p^{10} q^{14}$ posee $(10 + 1) (14 + 1) = 165$ divisores positivos.
  • Si $m = p^{10}$ y $n = p^4 q^2$, entonces $mn = p^{14} q^2$ cuenta con $(14 + 1) (2 + 1) = 45$ divisores positivos.
  • Si $m = p^{10}$ y $n = p^2 q^4$, entonces $mn = p^{12} q^4$ posee $(12 + 1) (4 + 1) = 65$ divisores positivos.
  • Si $m = p^{10}$ y $n = q^4 r^2$ (tres números primos distintos), entonces $mn = p^{10} q^4 r^2$ cuenta con $(10 + 1) (4 + 1) (2 + 1) = 165$ divisores positivos.

Por consiguiente, $mn$ posee al menos $25$ divisores positivos.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2021 — Bajo la dirección de Ana Rechtman.

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Pour citer cet article :

— «Enero 2021, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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