Un desafío por semana

Enero 2021, primer desafío

Le 1er janvier 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 1er janvier 2021
Article original : Janvier 2021, 1er défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente.

Semana 1

Cuatro personas charlan sobre sus edades. Dos de ellas mienten y las otras dos son honestas :

— Bernardo es el más joven —dice Alfredo—.
— Yo soy el más joven —replica Luis—.
— Bernardo es el más viejo y yo el más joven —tercia Héctor—.
— No soy ni el más joven ni el más viejo —concluye Bernardo—.

¿Quién dice la verdad ?

Solución del cuarto desafío de diciembre :

Enunciado

Entre $1$ y $20$ hay ocho números primos, a saber $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17$ y $19$. Si a esta lista le añadimos $1$, obtenemos nueve números con la propiedad deseada : dos cualesquiera de ellos no tienen otro divisor común que $1$.

Para ver que no podemos hacer mejor que esto, supongamos que tuviéramos $10$ números satisfaciendo la propiedad. Entonces al menos habría nueve que son diferentes de $1$, y entonces al menos dos que son múltiplos de alguno de los ocho primos mencionados ; esos dos tendrían entonces un divisor común más grande que $1$, lo que contradiría la hipótesis.

Por consiguiente, a lo más hay nueve números cumpliendo con la propiedad requerida.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2021 — Bajo la dirección de Ana Rechtman.

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Pour citer cet article :

— «Enero 2021, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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