Un desafío por semana

Enero 2021, quinto desafío

Le 29 janvier 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 29 janvier 2021
Article original : Janvier 2021, 5e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente.

Semana 5

¿Cuántos pares de números primos $(p, q)$ son tales que $p^q+1$ sea igualmente un número primo ?

Solución del cuarto desafío de enero :

Enunciado

Si $R$ es el radio del círculo circunscrito al hexágono, y $r$ el del círculo inscrito, el área buscada es
\[ \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2). \]

Denotemos por $[AB]$ un lado del hexágono, por $M$ su punto medio y por $O$ el centro de ambos círculos.

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Tenemos que $AM = 1~\mathrm{cm}$, $OM = r$ y $OA = R$. Por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo $OAM$, obtenemos que $1^2 + r^2 = R^2$, o bien $R^2 - r^2 = 1$.

El área buscada es entonces igual a $\pi~\mathrm{cm}^2$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2021 — Bajo la dirección de Ana Rechtman.

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Pour citer cet article :

— «Enero 2021, quinto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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