Enunciado

Sea $ABCD$ el cuadrilátero y supongamos que tenemos $AB = 2~\mathrm{cm}$. Seat $M$ el punto medio del segmento $[AB]$, de manera que $AM = MB = 1~\mathrm{cm}$.

Vamos a mostrar que $M$ es el centro del círculo. Para ello, basta con probar que $MD = MC = 1~\mathrm{cm}$.

Por simetría de la figura con respecto al eje vertical (pasando por $M$), los ángulos $\widehat{MBC}$ y $\widehat{MAD}$ son iguales : denotemos con $x$ su valor. Como $AM = AD = 1~\mathrm{cm}$, el triángulo $AMD$ es isósceles en $A$, y entonces
\[ \widehat{AMD} = \widehat{ADM} = \frac{(180^\circ - x)}{2} = 90^\circ -\frac{x}{2}. \]

Por simetría, tenemos que
\[ \widehat{BMC} = \widehat{BCM} = 90^\circ -\frac{x}{2}. \]

Obtenemos pues que
\[ \widehat{CMD} = 180^\circ -\widehat{AMD} -\widehat{BMC} = 180^\circ -\Bigl(90^\circ -\frac{x}{2}\Bigr) - \Bigl(90^\circ -\frac{x}{2}\Bigr) = x. \]

Por consiguiente, los ángulos de los triángulos $AMD$ y $MCD$ son iguales (uno a $x$ y los otros dos a $90^\circ - x/2$), y entonces son semejantes.

Tenemos que
\[ \frac{AD}{MD} = \frac{MD}{CD}, \]
de donde $MD^2 = 1$, y $MD = MC = 1~\mathrm{cm}$. Comme $AM = MB=1~\mathrm{cm}$, el punto $M$ es el centro del círculo y su radio vale $1~\mathrm{cm}$.