Il y a deux mois,
un billet signalait le fait que les notes de mathématiques des
élèves des classes préparatoires étaient bien moins corrélées avec leurs
notes antérieures que ne l’étaient par exemple les notes de
physique ou de langue ...

Ce fait ne m’était pas inconnu, grâce au témoignage d’un collègue enseignant en MPSI qui suit régulièrement le séminaire de géométrie de Montpellier.
Par contre quelques réactions de lecteurs d’Images des Mathématiques
me font penser qu’il est relativement ignoré.

Plus généralement, il me semble que le contenu de l’enseignement
des mathématiques au collège ou au lycée est relativement
peu connu des enseignants chercheurs et des chercheurs.

Je voudrais signaler deux faits un peu trop ignorés, sans trop de commentaires pour éviter les polémiques.

L’exponentielle et la radioactivité.

« L’homme de la rue » pourrait savoir, après avoir usé ses fonds de culotte
dans les écoles de la république,
que si $T$ est la demi-vie d’un corps radioactif,
la masse restant au bout d’un temps $t$ est

\[ M(t)=M_02^{-\frac{t}{T}}.\]

Cette formule permet des calculs simples, sans calculette, pour peu
que l’on sache que $2^{10}$ fait à peu près 1000. Elle pourrait être abordée
dès les premières années de collège.

Mais pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? Ce qui est
enseigné aux élèves, c’est la formule

\[ M(t)=M_0 \exp({-\frac{t}{\ln 2 T}}).\]

On a d’abord dit aux élèves, qui viennent de digérer la notion de dérivée,
qu’il existe une unique fonction égale à sa dérivée et valant 1 en
0, puis on a défini $ln$ comme sa fonction réciproque.
(Voilà pourquoi, dans une radio périphérique, une lucrative société
de cours particuliers diffuse des publicités où l’on parle du
logarithme népérien). [1]

La formule qui utilise les puissances de 2 est signalée dans les instructions ministérielles,
mais n’est pas enseignée le plus souvent.

Le sinus et le cosinus.

Je me refuse à rentrer dans le discours sur la baisse du niveau.
En raison de la concurrence des classes prépas, on manque sérieusement dans les premières années
d’université d’étudiant(e)s vraiment bons en
mathématiques. C’était déjà le cas à mes débuts en 1967, c’est resté le cas aujourd’hui. Mais j’ai repéré il y a une dizaine d’années environ
une faute nouvelle et fréquente, qui n’existait pas ou peu à mes débuts
d’enseignant-chercheur : la confusion entre le sinus et le cosinus.

Par un pur hasard, j’ai eu l’explication : cette faute est celle d’une
génération d’élèves à qui l’on a enseigné le cosinus en quatrième,
et le sinus en troisième.

En guise de conclusion

Nous avons tous des petites (ou des grandes) idées sur la forme et le contenu de l’enseignement des mathématiques.

Il y a toujours eu, sous des formes diverses, des commissions ou des groupes de travail,
comprenant le plus souvent des collègues compétents. Au delà des inévitables (et salutaires) divergences
d’opinions, une question fondamentale est la mise en oeuvre concrète des propositions
que l’on peut avoir. Sur cette question comme sur beaucoup d’autres, le diable est dans les détails.