’’Reconozcámoslo : la mayoría de los niños no logra comprender nunca el significado real de los conceptos matemáticos. A lo más, se convierten en técnicos consumados en el arte de manipular conjuntos complicados de símbolos ; en el peor de los casos, se sienten repelidos por situaciones imposibles en las cuales las exigencias matemáticas actuales en la escuela tienden a ponerlos. Una actitud demasiado corriente consiste simplemente en « pasar el examen », después del cual ningún pensamiento más estará enlazado con las matemáticas.’’

Esta comprobación no es nuestra ; tampoco es de hoy, sino más bien de ayer, ya que es mediante ella que Z. P. Dienes inicia una pequeña obra titulada ’’Construction des mathématiques’’ publicada en... $1966$ por las Presses Universitaires de France.

Para retomar una fórmula provocadora, e incluso visionaria, de André Revuz : ¿Es —decididamente— imposible enseñar las matemáticas ?

Las matemáticas, para la mayoría de nosotros, no son una lengua natural. No es un defecto de esta disciplina (inútil, por lo tanto, reprochársela), sino que es una de sus características, tal vez la esencia misma de su interés. Pero si bien la barrera de la lengua existe, no es infranqueable. A fuerza de coraje, de perseverancia, uno puede esperar convertirse ’’localmente’’ en bilingüe.

Es cierto que se necesitan las ganas, la motivación para hablar esta lengua ; es cierto también que es necesario hacer un esfuerzo de educación del ojo y de la mente para poder percibir la belleza y la riqueza. Pero, ¿cómo resistírsele, si finalmente es la única que puede jactarse de ser universal e intemporal ?
Como si se tratara de una lengua ’’hablada’’, hay que aceptar aprender algunas reglas de construcción para que, poco a poco, uno sea capaz de hacer frases cada vez más elaboradas ; para que, poco a poco, uno sea capaz de comprender, de hacerse comprender, de intercambiar, de transmitir, e incluso, en el mejor de los casos, de crear. La gramática matemática es difícil, en especial porque sus códigos no son los de la vida corriente, pero iluminan esta vida corriente tal como el griego antiguo puede ayudar al sentido de una palabra (la etimología obliga).

Uno no le reprocha al griego antiguo por ser delicado o apremiante, mientras que a las matemáticas se les da el beneficio de la duda, tanto que uno puede vivir sin o lejos de ellas. Lo que lamento es que, en cierta medida, las matemáticas son una escuela de vida. Ellas suponen replanteos permanentes, paciencia, tenacidad, capacidad de escuchar, reflexión y, sobre todo, humildad, ya que siempre estarán por delante nuestro. Hacer matemáticas pasa por el hecho de aceptar el fracaso como un resultado posible, ya no como una sentencia o incluso un fin. Uno quisiera agregar que las matemáticas tienen esta ventaja sobre la vida, que son morales y justas.

Este deseo de aprender, de saber más sobre cómo hacerlas brotar, cómo despertarlas y —cuando están presentes— cómo mantenerlas vivas al momento de transmitirlas es una especie de teoría de las catástrofes de la enseñanza : ¿pueden causas insignificantes y aparentemente ajenas arreglarlo todo, comprometerlo todo, arruinarlo todo o al revés, resolverlo todo ? Como Einstein con Dios, algunos alumnos parecen no tener necesidad de esta hipótesis ; las matemáticas nos los ayudan ni los alivian, ellos no les ven el interés ni la necesidad. Otros, por el contrario, encontrarán ahí un lugar de descanso, un refugio que les da seguridad y alivio. Uno hace matemáticas de manera diferente, según su historia personal, según su interlocutor.

Se necesitaría por lo tanto casi una reforma por cada persona o por ’’clases de equivalencia de personas’’. Las matemáticas son probablemente demasiado sensibles a las condiciones exteriores, demasiado delicadas como para florecer en una enseñanza masiva.

Hay que decir que se ha pasado de lo desmesuradamente abstracto de esa —hoy en día desacreditada— época en que el uso de la intuición, especialmente gráfica, era percibido como una mancha (uno piensa en la definición tan famosa como angustiante de la ’’recta afín’’), a una pérdida total de contenidos y de « materia » a fuerza de simplificaciones, a fuerza de casos particulares, y a menudo de casos concretos mal manejados que muy tempranamente y muy perdurablemente vienen a cortar las alas de la imaginación a los alumnos.

Los objetos matemáticos pueden ser puestos, es cierto, al servicio de las ciencias humanas, de las ciencias físicas, que son un vivero de motivaciones para la investigación. Rcordemos, sin embargo, que son o serían legítimas sin eso. En una primera etapa, por lo tanto, habría que reintroducir en la mente de los jóvenes el gusto y el respeto por el razonamiento, el razonamiento sin otro objetivo que sí mismo, que la búsqueda de la coherencia, el placer y la satisfacción de haber comprendido el desarrollo de una argumentación o de haber detectado las debilidades.

’’El utilitarismo total’’ ha convertido a los alumnos en consumidores a menudo cansados, desatentos, que ’’pasan’’ por los capítulos sin vivirlos, sin vincularlos, a la espera de que se vayan y todo termine. Pasar por la modelización, razonar a partir de casos particulares puede ayudar tanto como corromper ; la generalidad no siempre es el enemigo que uno cree.

Las ideas de clasificar según un carácter, de crear una medida de defecto en relación a una situación ideal, de exhibir limitaciones de existencia, están completamente ocultas en la secundaria. La noción de conjuntos también es estimada demasiado general, demasiado abstracta, y uno debe tratar de evitarla, de retrasarla, de limitarla a algunos ejemplos simples que, a falta de comprenderlas, siempre se podrá memorizar. Desgraciadamente, entre los muy numerosos alumnos de secundaria que no comprenden la noción de conjuntos de definición de una función, uno encontrará al final de su ciclo de estudios jóvenes completamente confundidos por la noción de límite, cuya necesidad no comprenderán.

Por supuesto, quedan algunas preguntas con motivo de los capítulos acerca de los vectores, o referidos a los números complejos, donde se propone determinar ’’el conjunto de puntos M del plano tales que...’’, pero la mayoría de los estudiantes resuelven esas ecuaciones por mimetismo, por ’’exclusión’’ o incluso por eliminación, ya que saben por experiencia que siempre se trata de un círculo o de una recta.

Las rectas, por cierto... hablemos de ellas. Los estudiantes las manipulan desde los primeros años del colegio. Sin embargo, hacer comprender a los estudiantes lo que significa la pertenencia de un punto a una recta es una verdadera carrera de obstáculos. Ellos en general no captan que una ecuación de recta realiza o « concretiza » una limitación, una regla decretada que una pareja de coordenadas puede o no satisfacer. Para esos jóvenes, no hay ninguna diferencia notable entre la expresión $ 2x-3 $ y la relación $ y=2x-3.$

Ellos realmente no buscan comprender las preguntas, tal vez por falta de confianza, pero con frecuencia por falta de ganas. No buscan reformularlas, tampoco adueñarse de ellas, simplemente no captan la idea. Los alumnos hoy en día buscan acordarse. Uno tiene la sensación de que solo son una ’’memoria’’ animada, más o menos entrenada, más o menos confiable, igual que los aparatos que abarrotan sus bolsillos. En resumen, es una versión 3G de los alumnos, con la cual de ahora en adelante hay que trabajar, para bien o para mal...

Durante las clases de matemáticas ellos están en tierra ajena, aunque desprovistos de toda curiosidad y por lo tanto más bien en peligro. Un medio es percibido hostil cuando uno está mal o nada de preparado. La fortuna y el azar son preferidos a los razonamientos, decididamente más costosos. ¿Cómo podría ser de otra manera en la era de los ’’Verdadero/Falso’’ y de los ’’cuestionarios de elección múltiple’’ que de ahora en adelante son legión en los primeros años de universidad ?

Tengo en la memoria algunas palabras de una intervención oral del filósofo Georges Didi Huberman a propósito de la obra de Baudelaire que se adapta completamente al aprendizaje de las matemáticas y que decía, en esencia, que el crear relaciones entre las cosas, correspondencias, analogías, es la manera como la imaginación genera un saber, un saber aún inadvertido (por uno al menos) pero un saber perenne, del cual uno será el ’’maestro’’ porque tendrá la sensación de haberlo engendrado hasta el punto de poder transmitirlo, completarlo, refundarlo.

La autonomía liberadora es justamente el regalo que uno tanto desearía poder ofrecerles, que uno tanto desearía que aceptaran.

Las matemáticas son una disciplina de largo plazo : a la versión ’’para microondas’’, lista en dos minutos, le falta textura y calidad nutricional. Por un instante uno cree que las cosas son captadas, pero rápidamente la duda se instala. ¡No se puede comprender rápido lo que se ha explicado por mucho tiempo !

Supuestamente, la introducción de la algorítmica en el liceo está motivada justamente por el hecho de que debería ayudar a los alumnos a extraer las médulas sustantivas (en el sentido de ’’esqueleto’’ o ’’trama’’) de los razonamientos. Yo soy terriblemente escéptico ante este argumento. Los alumnos no están aliviados y aún menos interesados por esta nueva manera de traducir una instrucción. La encuentran oscura y apremiante, ya que es en sí misma un nuevo lenguaje, un lenguaje demás pues las matemáticas solas ya plantean problemas y el idioma por sé también plantea problemas (por supuesto, la intersección entre ambos no es vacía).

No faltan iniciativas para modificar la forma de las clases, hasta el extremo de liberarse de toda clase magistral y de descubrir los objetos mediante ejercicios :-( ; y sin embargo todo se pierde y nada parece crearse, sino una profunda incomprensión y una utilización masiva de la calculadora, al punto que los resultados de esta última decretan a menudo el modo de resolución.

Antes que los programas, el primer problema que se plantea es humano, relacional. En un curso de 40 alumnos, uno no los encuentra, sino que los sobrevuela y los cuenta. Habría que restablecer una proximidad, ya que solo de ella puede nacer una relación de confianza, que es una condición casi siempre necesaria para el progreso. Si no es posible distinguir el alumnado, según yo, habría que copiar el principio de los khôlles (interrogaciones periódicas orales o escritas) en secundaria para enfrentar las dudas a medida que surgen. La palabra es una herramienta más fácil de usar que la escritura y es siempre complementaria.

Cuando una tarea se suspende, el profesor se siente traicionado (ya que él ha hecho su mejor esfuerzo... a veces), los alumnos también (ya que ellos han hecho su mejor esfuerzo... a veces) y el diálogo se debilita antes de que haya riesgo de quebrarse. La introducción de controles orales podría ser la oportunidad para un intercambio que se ha vuelto demasiado escaso.

Los programas, finalmente, son el foco de un eterno dilema ya que son a la vez ’’demasiado’’ o ’’muy poco’’ ambiciosos. ’’Muy ambiciosos’’, debido a la diversidad de los temas abordados, especialmente al final de la secundaria. ’’Muy poco ambiciosos’’, ya que todo se pasa por encima de manera tan superficial, anecdótica, que nada parece estar escrito más que en la arena. En matemáticas, como en otras partes, se necesita puntos de referencia, una red que nos permita tejer lazos para establecer esas famosas correspondencias que no son queridas más que a Baudelaire :

La Naturaleza es un templo donde pilares vivos

Dejan a veces salir palabras confusas ;

El hombre pasa a través de bosques de símbolos

Que le observan con miradas familiares.

Los pilares matemáticos sin duda demoran bastante en ser abordados. La juventud a veces es una ventaja para cierta forma de abstracción, ya que es libre y sin complejos. En matemáticas a veces hay que atreverse.

Se trata de una comprobación parcial, personal, forzosamente parcial y sugerida por mis preciosas víctimas desde hace nueve años (les rindo homenaje, así como a Amandine y a sus alumnos por su paciencia y las palabras -sobre todo las malas, en realidad- que ellos aceptaron confiarnos para guiar mi reflexión) ; el debate continúa... para ellos, sobre todo y ante todo para ellos.