Énumération de fractions rationnelles réelles

Le 15 octobre 2006  - Ecrit par  Jean-Yves Welschinger Voir les commentaires

Le corps des réels n’est pas algébriquement clos, et par conséquent le nombre de solutions d’un système d’équations polynomiales à coefficients réels dépend en général fortement du choix des coefficients. Toutefois, lorsque ce système s’interprète géométriquement comme un problème de géométrie énumérative réelle, il est parfois possible de compter ses racines en fonction d’un signe $\pm 1$ de façon à extraire un invariant à valeurs entières, indépendant des données du problème. Après avoir rappelé quelques problèmes classiques de géométrie énumérative, nous allons mettre ce phénomène en évidence.

Introduction

Chacun sait que par deux points distincts du plan passe une droite et une seule. Choisissez cinq points dans le plan, il y passera une conique. Une seule même, pour peu que ces cinq points ne soient pas en position trop spéciale. En voici la raison. Les coniques sont les lieux
d’annulation des polynômes de deux variables $X,Y$ - correspondant aux deux coordonnées $x,y$ du plan - et de degré deux. Ces polynômes sont combinaisons linéaires des cinq monômes $X^2, Y^2, XY, X, Y$ et du monôme constant unité. Notons $(x_1, y_1), ... , (x_5, y_5)$ les coordonnées des cinq points choisis dans le plan. Un polynôme
$P(X,Y) = aX^2 + bY^2 + cXY + dX + eY + f$ s’annule en ces cinq points dès que ses six
coefficients satisfont les cinq équations $ax_i^2 + by_i^2 + cx_i y_i + dx_i + ey_i + f =0, 1 \leq i \leq 5$. Un tel système linéaire homogène a toujours une solution non nulle,
unique même,
à multiplication par un scalaire près, dès que ces cinq équations sont indépendantes,
ce qui est le cas pour presque tous les quintuplets du plan. D’où le résultat ! Résultat
bien plus général d’ailleurs.

Définition 1. On appelle courbe algébrique plane de degré $d \in \mathbb{N}^*$ le lieu d’annulation d’un polynôme de deux variables $X,Y$ de degré $d$.

Un tel polynôme est combinaison linéaire des $\frac{d(d+3)}{2}$ monômes $X^k Y^l$,
$1 \leq k+l \leq d$, et du monôme constant unité. De la même manière donc, par
$\frac{d(d+3)}{2}$ points du plan passe toujours une courbe algébrique plane de degré $d$
qui est en général unique. De plus, lorsque cette dernière n’est pas unique, ce sont une
infinité de courbes algébriques planes de degré $d$
qui relient les $\frac{d(d+3)}{2}$ points donnés. Ainsi,
l’énumération de courbes algébriques planes de degré $d$ contraintes à relier
un nombre fini de points du plan que l’on vient de réaliser s’est ramenée à un problème
linéaire, facilement résolu. Le fait que ces courbes sont définies implicitement par
des équations polynomiales a joué un rôle important. S’il s’agit par contre d’énumérer
des courbes définies explicitement
par des polynômes ou fractions rationnelles, le problème est tout autre, comme nous allons le
voir dans ce qui suit...

Énumération de courbes rationnelles complexes

Prenez trois polynômes complexes $P,Q,R$ d’une variable et de degré $d \in \mathbb{N}^*$. Ils
définissent une application dans le plan complexe par les relations $x = \frac{P}{R} (z)$,
$y = \frac{Q}{R} (z)$, application définie en dehors des racines de $R$ dans la droite complexe.

Définition 2. L’image d’une telle application est appelée courbe rationnelle plane de degré $d \in \mathbb{N}^*$.

D’avoir choisi le même dénominateur $R$ dans les fractions rationnelles a pour effet que
chaque droite du plan intersecte la courbe en au plus $d$ points, à moins d’être incluse
dans cette courbe. Une droite générique intersecte même cette courbe en exactement $d$
points, ce qui justifie qu’on lui attribue un « degré $d$ ». Les fractions rationnelles
$\frac{P}{R}$ et $\frac{Q}{R}$ fournissent un paramétrage de la courbe rationnelle. Ce
dernier n’est pas unique, puisqu’il peut être composé à droite par n’importe quelle
homographie de la droite complexe, c’est-à-dire n’importe quelle application définie comme
le quotient de deux polynômes de degré un. Ainsi, si les fractions rationnelles $\frac{P}{R}$
et $\frac{Q}{R}$ dépendent de $3d+2$ paramètres, les courbes rationnelles planes de degré
$d$, elles, n’en dépendent qu’au plus de $3d-1$. En fait, elles dépendent exactement de
$3d-1$ paramètres, ce qui amène le problème énumératif suivant. Choisissez $3d-1$
points génériques dans le plan complexe, il n’y a qu’un nombre fini de courbes rationnelles
planes de degré $d$ qui passent par ces points. Ce nombre $N_d$ ne dépend pas du choix
générique des $3d-1$ points, essentiellement parce que $\mathbb{C}$ est algébriquement clos.
Quelle est la valeur de $N_d$ ? En degrés un et deux, ce problème énumératif ne diffère
pas du précédent, de sorte que $N_1 = N_2 = 1$. En effet, les droites et les coniques
sont toutes rationnelles. Un paramétrage rationnel de ces dernières peut être obtenu
comme application inverse d’une projection stéréographique (voir l’encadré). Par contre,
dès le degré $3$, ces problèmes diffèrent, et la dimension $3d-1$ des courbes rationnelles
planes est d’ailleurs plus petite que la dimension $\frac{d(d+3)}{2}$ des courbes algébriques
de degré $d$. Une manifestation géométrique de ce fait est également présentée dans l’encadré. La valeur $N_3 = 12$ s’obtient sans trop d’effort. La valeur
$N_4 = 620$ fut obtenue par Zeuthen au XIXème siecle. Il aura fallu attendre le début des
années $90$ pour connaitre la valeur de $N_5$ et de toute la suite $(N_d)_{d \in \mathbb{N}^*}$,
grâce à la découverte par Maxim Kontsevich de la formule de récurrence suivante.

Théorème 3. \[N_d = \sum_{k+l = d} N_k N_l \big( k^2 l^2 C_{3d-4}^{3k-2} - k^3 l C_{3d-4}^{3k-1} \big), \quad d \geq 2\]

En particulier, $N_5 = 87304$, $N_6 = 26312976$, cette suite croît de façon extrêmement
rapide de sorte qu’asymptotiquement, $\log (N_d)$ soit équivalent à $3d \log (d)$. Tous ces
invariants énumératifs se déduisent donc finalement du seul $N_1 =1$. Ce fait remarquable
a été établi dans le cadre général de la théorie des invariants de Gromov-Witten dont
je ne présente ici qu’un aspect très particulier, voir [KM].

Énumération de courbes rationnelles réelles

Supposons à présent les polynômes $P, Q, R$ à coefficients réels. Les relations
$x = \frac{P}{R} (z)$, $y = \frac{Q}{R} (z)$ définissent une application de la droite réelle
privée des racines de $R$ dans le plan réel. Elles définissent également comme
précédemment une application $u$ de la droite complexe privée des racines complexes de $R$
dans le plan complexe, application qui commute cette fois-ci avec les conjugaisons complexes
de la droite et du plan. L’image réciproque $u^{-1} (\mathbb{R}^2)$ contient $\mathbb{R}$ privé
des racines de $R$ bien entendu, mais également en général un nombre fini de paires de
points complexes
conjugués. Si $u(z) = (z^2 , z^3 + \epsilon z)$ avec $\epsilon > 0$ par exemple, alors
$u^{-1} (\mathbb{R}^2) = \mathbb{R} \cup \{ \pm i \sqrt{\epsilon } \}$. Ces paires de points complexes
conjugués apparaissent à l’image comme des points isolés dans le plan réel. En fait,
la complexifiée de la courbe rationnelle vient intersecter transversalement le plan réel
en ces points. Notons $m(C)$ ce nombre de paires de points que l’on appelera masse de la
courbe rationnelle réelle.

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Une courbe rationnelle réelle

À nouveau, par $3d-1$ points en position générale dans le plan réel passe un nombre fini de courbes
rationnelles réelles. On note $\underline{x}=(x_1 , \dots , x_{3d-1})$ la configuration de $3d-1$
points choisie, et ${\cal R}_d (\underline{x})$ l’ensemble fini de courbes rationnelles réelles
associé. Cette fois-ci toutefois, ce nombre de courbes rationnelles réelles dépend en
général du choix, même générique, de la configuration de points $\underline{x}$. En
effet, interpoler $3d-1$ points du plan s’interprète comme $3d-1$ équations à coefficients
réels que doivent satisfaire les coefficients des polynômes $P,Q,R$. Si l’on perturbe la
configuration de points, cela entraîne une perturbation des équations, et puisque $\mathbb{R}$
n’est pas algébriquement clos, cela entraine en général un changement du nombre de racines
réelles de ces équations. Néanmoins, on a le (voir [W1])

Théorème 4. La quantité $\chi^d (\underline{x}) = \sum_{C \in {\cal R}_d (\underline{x})} (-1)^{m(C)}$ ne dépend pas du choix générique de la configuration de points $\underline{x}$.

Ici donc, le simple fait de compter ces courbes réelles en fonction d’un signe $\pm 1$ permet
de dégager
un invariant à valeurs entières, noté $\chi^d$, de ce problème de géométrie
énumérative réelle. Le cardinal de ${\cal R}_d (\underline{x})$ se trouve alors borné
supérieurement et inférieurement, d’après le

Corollaire 5. $|\chi^d| \leq \# {\cal R}_d (\underline{x}) \leq N_d$

Ce cardinal peut-il prendre toutes les valeurs comprises entre ces deux bornes et de la même parité que $\chi^d$ et $N_d$ ? En degré $3$, oui, en degré supérieur, personne ne le sait !
D’ailleurs, si $\chi^3 = 8$, $\chi^4 = 240$ et $\chi^5 = 18264$, la valeur de $\chi^d$ n’est pas connue en degré supérieur. Toutefois, outre ces premières valeurs, la minoration $\chi^d \geq \frac{1}{2} d !$ ainsi que l’asymptotique $3d \log d$ de $\log |\chi^d|$ ont été obtenues par
Ilia Itenberg, Viatcheslav Kharlamov et Evgenii Shustin par l’intermédiaire de ce que l’on appelle « la géométrie tropicale », voir [IKS1], [IKS2]. Remarquons que dans le choix de la configuration $\underline{x}$, des paires de points réels peuvent être échangées par des paires de
points complexes conjugués. Il s’agit alors d’imposer à la complexifiée de la courbe rationnelle d’interpoler les $3d-1$ points $x_1 , \dots , x_{3d-1}$. L’entier $\chi^d_r (\underline{x}) = \sum_{C \in {\cal R}_d (\underline{x})} (-1)^{m(C)}$ est à nouveau indépendant du choix de
la configuration $\underline{x}$, dès lors que l’on fixe le nombre total de points réels
$r$ de la configuration. L’entier précédemment noté $\chi^d$ est donc ici noté
$\chi^d_{3d-1}$, et il est agréable d’introduire la fonction génératrice $\chi^d (T) = \sum_{r=0}^{3d-1} \chi^d_r T^r \in \mathbb{Z} [T]$, où l’on a posé $\chi^d_r = 0$ lorsque
$r$ n’a pas la parité de $3d-1$. Cette apparition d’invariants entiers dans des problèmes de
géométrie énumérative réelle est une découverte récente, et peu de telles bornes
inférieures ont été mises à jour dans de tels problèmes. Toutefois, des résultats
analogues ont été obtenus lorsqu’au lieu d’imposer aux courbes rationnelles réelles de
passer par le dernier point $x_{3d-1}$, on les contraint à être tangentes à une courbe
lisse générique du plan $\mathbb{R}^2$. Un autre exemple analogue s’obtient dans le problème
classique de géométrie énumérative suivant : combien de coniques sont tangentes à
cinq coniques génériques du plan ? Dans le cas complexe, $3264$, comme fut établi par de
Joncquières en $1859$. Dans le cas réel, le cardinal de l’ensemble ${\cal C}on (L)$ des
coniques réelles tangentes à cinq coniques réelles génériques $L_1 , \dots , L_5$
dépend à nouveau du choix de $L = L_1 \cup \dots \cup L_5$. Il est néanmoins possible
d’extraire comme précédemment un invariant entier de ce problème de géométrie
énumérative réelle, et d’en déduire par exemple les bornes inférieures
$32 \leq \# {\cal C}on (L) \leq 3264$ lorsque les cinq coniques $L_1 , \dots , L_5$ bordent
cinq convexes disjoints du plan, voir [W2]. Si je ne mentionne pas ici de résultats plus
précis dans ces deux problèmes, c’est qu’il ne suffit plus de compter les solutions du
problème en fonction d’un signe $\pm 1$ pour obtenir un invariant à valeurs entières. Il faut cette
fois-ci étudier simultanément plusieurs problèmes de géométrie énumérative réelle,
et c’est seulement en combinant les comptages dans ces différents problèmes que l’on définit
un entier invariant. Dans le cas des coniques par exemple, il s’agit de compter avec signe
également les couples de droites tangentes à quatre de ces cinq coniques $L_1 , \dots , L_5$.
Je ne souhaite pas aller plus avant dans ces résultats et renvoie le lecteur interessé aux
articles donnés en référence. Signalons à propos que l’existence de ces invariants
entiers,
et notamment $\chi^d (T)$, a été établie dans le cadre des variétés symplectiques
réelles de dimension quatre. Je n’ai présenté ici qu’un aspect particulier du résultat.

Enumération de fractions rationnelles réelles

Je voudrais conclure cette présentation par un autre aspect particulier de ce même résultat.
Considérons cette fois-ci une seule fraction rationnelle $u=\frac{P}{R}$ obtenue comme quotient
de deux polynômes à coefficients complexes de degré $d$. Elle définit une application
de $\mathbb{C}$ privé des racines de $R$ dans $\mathbb{C}$ qui a en général $2d-2$ points
critiques. Ces derniers
correspondent aux racines du polynôme $P' R - R' P$ qui n’est qu’au plus de degré $2d-2$
puisque les
coefficients dominants de $P' R$ et $R' P$ se compensent. Remarquons de plus qu’aucune de ces
racines n’est réelle en général, de sorte que $u (\mathbb{R})$ est une courbe immergée
dans $\mathbb{C}$. Cette dernière reste invariante lorsque l’on compose à droite $u$ par
une homographie réelle. Puisque les fractions rationnelles complexes dépendent de $2d+1$
paramètres complexes, l’espace de ces courbes réelles $u (\mathbb{R})$ ne dépend que
de $4d-1$ paramètres réels. De fait, si l’on fixe une configuration générique
$\underline{y} = (y_1 , \dots , y_{4d-1})$ de $4d-1$ points distincts de $\mathbb{C}$, seules un
nombre fini de courbes $u (\mathbb{R})$ relient
$y_1 , \dots , y_{4d-1}$. Notons ${\cal F}rac (\underline{y})$ cet ensemble fini dont le cardinal
dépend de $\underline{y}$ en général. Soit $[u]$ un élément de
${\cal F}rac (\underline{y})$, c’est-à-dire une fraction rationnelle modulo l’action du groupe
des homographies réelles. Les nombres de points critiques de parties imaginaires positives
et négatives de $u$ ont même parité, puisque leur somme est paire. De là découle un
signe $p(u) = +1$ ou $-1$ selon que ce nombre soit pair ou impair respectivement.

Théorème 6. L’entier $\theta^d (\underline{y}) = \sum_{u \in {\cal F}rac (\underline{y})} p(u)$ ne dépend pas du choix de $\underline{y}$.

De ce problème de géométrie énumérative réelle se dégage donc à nouveau un
invariant à valeurs entières. La valeur absolue de cet invariant borne inférieurement le
cardinal de ${\cal F}rac (\underline{y})$. Quels sont les problèmes de géométrie
énumérative réelle qui cachent de tels invariants entiers ? C’est une question à
laquelle il faut à mon avis répondre. Ces invariants se calculent-ils en fonction
d’invariants primitifs comme leurs analogues complexes (voir le Théorème 3) ?
Plusieurs travaux en cours tendent à le montrer. Enfin, l’existence même de ces invariants
doit avoir des
implications autres que les seules bornes inférieures présentées dans le Corollaire 5. Il reste à les découvrir !

La projection stéréographique

Soit $C_2 \subset \mathbb{C}^2$ une conique lisse, $p$ un point de $C_2$ et $L$ une droite affine ne
contenant pas $p$ et parallèle à la tangente $T_p C_2$ de $C_2$ en $p$. Alors, chaque droite
$D$ de $\mathbb{C}^2$ qui passe par $p$ coupe la conique en au plus un point $q_D$ en dehors de $p$, et exactement un point dès qu’elle n’est parallèle ni aux directions asymptotiques de $C_2$, ni à la tangente $T_p C_2$.

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La projection stéréographique

Par ailleurs, chacune de ces droites coupe $L$ en un point $r_D$,
à l’exception de $T_p C_2$ qui est parallèle à $L$. L’application de $C_2$ dans $L$ qui associe
$r_D$ au point $q_D$ est appelée « projection stéréographique ». Je laisse au lecteur le soin de vérifier que son application inverse fournit un paramétrage rationnel de $C_2$.
Si $C_3$ est une cubique lisse par contre, une telle application n’est plus injective puisque
la plupart de ses fibres sont formées de deux points distincts. Le raisonnement précédent
ne permet donc pas d’obtenir un paramétrage rationnel de $C_3$. Une étude plus détaillée
de la projection dans ce cas permet d’ailleurs d’établir que $C_3$ est
homéomorphe à un tore privé d’un, deux ou trois points au maximum.

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Une cubique lisse du plan complexe

On peut démontrer que cette topologie empêche $C_3$ d’être paramétrée par une fraction rationnelle dont la source est homéomorphe à une sphère privée de trois ou quatre points.

Références

[IKS1] I. Itenberg, V. Kharlamov, E. Shustin, Welschinger invariant and enumeration of real rational curves, Int. Math. Res. Not., 2003, no. 49, 2639—2653.

[IKS2] I. Itenberg, V. Kharlamov, E. Shustin, Logarithmic equivalence of Welschinger and Gromov-Witten invariants, Russian Math. Surveys, 2004, no. 59, 1093—1116.

[KM] M. Kontsevich, Y. Manin, Gromov-Witten classes, quantum cohomology, and enumerative geometry, Comm. Math. Phys, 1994, vol. 164, no. 3, 525—562.

[W1] J.-Y. Welschinger, Invariants of real symplectic 4-manifolds and lower bounds in real enumerative geometry, Invent. Math., 2005, vol. 162, no. 1, 195—234.

[W2] J.-Y. Welschinger, Towards relative invariants of real symplectic 4-manifolds, Geom. Funct. Anal., à paraître. (Voir la prépublication no. 332 de l’École Normale Supérieure de Lyon, 2005.)

Post-scriptum :

Jean-Yves Welschinger est chargé de recherche CNRS à l’UMPA (Unité de Mathématiques Pures et Appliquées), École Normale Supérieure de Lyon

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Pour citer cet article :

Jean-Yves Welschinger — «Énumération de fractions rationnelles réelles» — Images des Mathématiques, CNRS, 2006

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