Ératosthène et Anaxagore dans l’enseignement scientifique

Embûches et opportunités

Pista azul El 21 mayo 2020  - Escrito por  Cécile de Hosson, Nicolas Décamp Ver los comentarios (2)

La constitution du monde ne l’inquiétait pas moins que la nature des dieux ; avec les armilles placés dans le portique d’Alexandrie, il avait observé les équinoxes, et accompagné jusqu’à Cyrène les bématistes d’Évergète, qui mesurent le ciel en calculant le nombre de leurs pas.

Flaubert, Salammbô (1863).

Introduction

La dernière réforme du lycée général s’est accompagnée de la création, au sein du tronc commun de la classe de première, d’un « enseignement scientifique » destiné à l’ensemble des élèves, indépendamment de leur choix de spécialité [1]. L’une des particularités de cette nouvelle matière est qu’elle n’est pas assignée à une discipline scolaire spécifique, et que les enseignants de mathématiques peuvent se retrouver à y enseigner seuls ou aux côtés de leurs collègues de physique-chimie et de sciences de la vie et de la Terre. La grande place occupée par l’histoire des sciences constitue une autre particularité de cet enseignement scientifique puisque les enseignants se voient invités à traiter chaque thème du programme en mobilisant soit « des éléments historiques », soit « quelques questions socialement vives ». Des repères historiques et des pistes d’usage sont ainsi explicitement proposés pour chaque thème du programme sous l’intitulé Histoire, enjeux et débats. Afin d’aider les enseignants, peu ou pas formés à l’histoire des sciences, dans leur tâche de préparation, les auteurs et autrices des huit manuels scolaires parus à la suite de la publication du programme de l’enseignement scientifique n’ont pas manqué de proposer des supports d’activités au sein desquelles « l’histoire des sciences » occupe une place importante. Cela aurait de quoi nous réjouir… Mais à y regarder de près, on s’aperçoit malheureusement que l’histoire dont il est question est parfois approximative, voire fausse, ce qui oblige à questionner la valeur de l’information historique qui sera finalement présentée par cette voie aux élèves. Le fait est particulièrement frappant lorsque l’on examine les manières dont sont mises en scène, dans les manuels, « l’histoire de la mesure du méridien terrestre par Ératosthène (et les hypothèses d’Anaxagore) », éléments historiques associés au thème 3 « la Terre, un astre singulier » du programme (voir figure 1).

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figure 1
B.O.E.N., op. cit., p 11

C’est à la nature de ces éléments que nous nous intéressons ici. Spécifiquement, et puisque les programmes visent une plus grande inscription de la science au sein de son histoire, nous avons souhaité explorer « la valeur de l’histoire » présentée dans les manuels pour ce point du programme. Nous suivons en cela une démarche proche de celle proposée par Alain Herreman dans un article précédent de cette rubrique «Histoire» [2] en confrontant les contenus iconographiques et textuels choisis par les rédacteurs et les rédactrices des manuels aux sources historiques que notre activité de recherche nous a conduits à explorer au cours de ces dix dernières années .

Lorsque des écarts entre nos deux corpus sont repérés, nous tentons d’en expliquer l’origine mais également d’anticiper les conséquences possibles de ces choix et de ces écarts en termes d’éducation historique et scientifique des élèves. Ce travail de mise en perspective est facilité par le fait que nous avons produit dans le passé une étude historique assez complète de la mesure du méridien terrestre par Ératosthène [3]. A cette occasion, nous avions rappelé que le seul texte antique dans lequel cette procédure est décrite est un ouvrage de Cléomède, Théorie Elémentaire (ou De motu circulari corporum celestium) datant approximativement du 1er siècle (plusieurs traductions en français sont disponibles [4]) soit quatre siècles environ après la période à laquelle Ératosthène aurait vécu. Il serait incorrect de prétendre que la méthode décrite par Cléomède est strictement conforme à celle qu’Ératosthène aurait utilisée mais en l’absence d’autres sources plus anciennes, nous considérons ce témoignage comme intéressant en lui-même d’un point de vue historique et nous nous en servons donc comme point de comparaison pour notre analyse des manuels.

La mesure de la distance Terre-Soleil par Anaxagore : l’émergence d’un mythe

Que la mesure d’une grandeur astronomique associée à «Ératosthène» soit mentionnée dans des programmes de sciences, cela n’a rien d’inédit : les programmes de physique-chimie de la classe de seconde de 2001 [5] invitaient déjà les enseignants à faire calculer à leurs élèves «le rayon de la Terre par la méthode Ératosthène» (BOEN hors-série n°2, 2001, p. 21). On peut même affirmer qu’Ératosthène est une figure emblématique du cours de physique lorsque ce dernier se donne pour objet de se teinter d’histoire des sciences : outre les programmes de 2001, Ératosthène est par exemple présent dans le document intitulé «représentations géométriques de l’espace et des astres (cercle,sphère)» [6] venant en accompagnement des programmes actuels de cycle 3 (CM1, CM2, 6e). Mais, si les programmes de seconde de 2001 insistaient sur les différentes manières de réaliser des mesures (notamment en astronomie) et sur leurs ordres de grandeurs, l’accent des programmes de 2019 est beaucoup plus historique. Dans les deux cas, la mention d’Anaxagore a conduit les concepteurs de manuels ou de ressources à mettre en regard deux mesures que l’on pourrait déduire des mêmes observations. La réflexion épistémologique que l’on peut tenir à partir de cet exemple est très intéressante, mais nous allons voir ici que sa réalité historique est en revanche très discutable.

Une discussion intéressante du point de vue épistémologique

Comme de nombreux philosophes des sciences l’ont fait remarquer [7], une même observation peut être interprétée dans le cadre de multiples théories distinctes et conduire à des conclusions différentes selon les modèles choisis. Ici, le fait que le jour du solstice d’été à midi le gnomon d’Alexandrie projette une ombre et celui de Syène n’en projette pas, peut s’expliquer dans le cadre d’une Terre plate et d’un Soleil proche mais aussi dans celui d’une Terre sphérique et d’un Soleil à l’infini, et plus généralement dans tout cadre combinant les paramètres «rayon de courbure de la Terre» et «distance au Soleil» de manière compatible avec les données. Il existe donc ici une infinité de modèles compatibles avec cette observation comme l’illustre la figure ci-dessous.

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figure 2
Figure illustrant l’absence d’ombre à Syène (S) et l’ombre observée à Alexandrie (A). Cette ombre fait un angle α+θavec la verticale qui s’explique par l’inclinaison des rayons du Soleil, mais la part (α) liée à la distance au Soleil, et celle (θ) liée à la courbure terrestre sont mêlées, de sorte qu’il existe une infinité de combinaisons possibles pour expliquer cette seule observation.

C’est probablement cet enjeu épistémologique qui avait guidé les concepteurs des programmes de 2001. Jacques Treiner, physicien et président du groupe chargé de l’élaboration de ces programmes l’explicite : «une observation pure est muette, elle ne dit rien de la Nature. Une observation ne devient scientifique, c’est-à-dire productrice de connaissances, que si elle alimente l’élaboration de représentations mentales de la réalité observée» [8]. Dans les documents accompagnant ces programmes, deux modèles limites de la situation décrite plus haut étaient représentés et on proposait aux élèves d’en déduire dans un cas, la distance au Soleil et dans l’autre le rayon terrestre.

C’est sans doute à nouveau cet enjeu épistémologique, associé au fait que les programmes 2019 mentionnent «les hypothèses d’Anaxagore» qui a guidé les auteurs de l’extrait de manuel ci-dessous (Magnard, 2019) :

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figure 3
Extrait du manuel Magnard comparant les méthodes d’Anaxagore et d’Ératosthène

Qu’en est-il cependant du point de vue historique ?

On sait relativement peu de choses de manière certaine sur Anaxagore. Il s’agit d’un philosophe présocratique ayant vécu au Ve siècle avant notre ère. Ses théories physiques nous sont pour l’essentiel connues par le biais de Simplicius, un auteur néoplatonicien du VIe siècle de notre ère qui le cite (fragments) dans ses commentaires sur la physique d’Aristote et par quelques autres penseurs ayant commenté ses propos [9].

Parmi ces derniers, si l’on se réfère aux philosophumena (ou réfutation de toutes les hérésies), ouvrage attribué à Hippolyte de Rome (170-235 ap. JC) et dont le premier tome traite des pré-socratiques, pour Anaxagore « la forme de la Terre est plate », «le Soleil et la Lune sont au-dessous des astres », « la Lune est plus basse que le Soleil», «le Soleil surpasse le Péloponnèse en grandeur » et c’est Anaxagore qui « a le premier déterminé ce qui concerne les éclipses et les phases».

En revanche, à notre connaissance, rien n’indique dans l’ensemble de ces sources qu’Anaxagore ait fait une mesure de l’angle entre les rayons du Soleil et la verticale, à Alexandrie à midi le jour du solstice d’été. Le nom même d’Alexandrie mentionné dans le manuel est problématique puisqu’Alexandrie a été fondée en 331 av J-C soit environ un siècle après la mort d’Anaxagore. Rien n’indique bien sûr qu’Anaxagore connaisse la distance Syène-Alexandrie et rien ne permet d’affirmer qu’il en aurait déduit la distance Terre-Soleil. La distance de 6400 km (ou son équivalent en stades) évoquée dans l’extrait de manuel précédent n’est d’ailleurs mentionnée nulle part dans les fragments ou les commentaires antiques sur Anaxagore et les historiens des sciences supposent plutôt qu’il ignorait cette distance [10].

Anaxagore étant connu pour son interprétation des éclipses, certains historiens ont proposé que la taille qu’il attribue au Soleil soit déduite de l’observation d’une éclipse de Soleil, comme celle datant de 478 av J-C et visible depuis l’intégralité du Péloponnèse [11].

Ces mêmes auteurs, à l’appui de leur hypothèse de cette observation directe d’une éclipse couvrant le Péloponnèse, rappellent d’ailleurs que les Grecs de l’époque n’étaient pas en mesure d’établir de manière très sûre les distances terrestres, particulièrement en terrain montagneux, d’où cette comparaison directe à la taille du Péloponnèse, plutôt qu’à une distance mesurée en stades.

Nous détaillerons plus bas la mesure de la circonférence terrestre attribuée à Ératosthène, qui, de son côté, est beaucoup plus solidement attestée, mais ce qui ressort de notre rapide analyse historique des connaissances à l’époque d’Anaxagore, c’est que si la discussion sur la modélisation et l’exploitation d’une mesure présente un intérêt épistémologique, tout indique qu’attribuer à Anaxagore une mesure de la distance Terre-Soleil à partir des données présentes dans la description de la méthode d’Ératosthène n’a aucun sens. L’histoire des sciences est ici bien malmenée.

Pourtant, le manuel cité (Magnard, 2019) n’est pas le seul à évoquer une mesure par Anaxagore de la distance Terre-Soleil. Cinq des huit manuels consultés mentionnent Anaxagore, la plupart du temps sans beaucoup de précautions. Citons par exemple Bordas : «vers l’an 434 av. J.-C., le philosophe grec Anaxagore de Clazomènes (vers 500-vers 428 av. J.-C.) calcule la distance de la Terre au Soleil : il trouve environ 6500 km». Sur ces cinq manuels, un seul (Hatier) fait preuve de prudence en demandant dans un exercice : «calculer la distance Terre-Soleil qu’Anaxagore aurait déterminée s’il avait expérimentalement réalisé les mêmes mesures qu’Ératosthène».

D’où vient alors ce mythe ?

Si l’on s’en réfère aux programmes actuels, seules «les hypothèses d’Anaxagore» sont mentionnées : une certaine prudence semble là aussi avoir guidé les rédacteurs. En revanche, ils sont beaucoup plus affirmatifs dans le document intitulé «les mathématiques de l’enseignement scientifique, la forme de la Terre et les mesures à la surface de la Terre» ou dans ceux du ceux du cycle 3. En fait, la propagation dans l’enseignement de ce mythe semble remonter aux documents d’accompagnement des programmes de 2001 (p. 25) qui affirment «Anaxagore prétendit que le Soleil flottait à environ 6500 km de la surface de la Terre». Ces documents d’accompagnement [12] citent à leur tour un ouvrage de Gamow [13] (1966), Une étoile nommée Soleil, comme source de cette information tout en précisant (dans la version d’avril 2000) :

Nous n’avons trouvé de confirmation du récit de Gamow dans aucun traité d’histoire de l’astronomie consulté. Anaxagore est connu pour avoir le premier donné une interprétation correcte des éclipses de Lune, comme dues au passage de celle-ci dans l’ombre de la Terre. Or la forme de cette ombre implique que la Terre soit ronde. Cependant même dans ce cas, on peut faire l’hypothèse que c’est la proximité du Soleil qui est principalement responsable des différences d’observation à Syène et Alexandrie (les rayons parvenant aux deux lieux ne sont alors pas parallèles). Le récit de Gamow est alors une reconstitution pertinente.

Gamow va même dans son texte jusqu’à proposer qu’Anaxagore en a déduit la taille du Soleil en utilisant son diamètre angulaire apparent (0,5°) et la distance Terre-Soleil ainsi obtenue (4000 miles), et il fait remarquer que la taille du Soleil qu’on peut en déduire (35 miles) est de l’ordre de grandeur de la péninsule du sud de la Grèce (le Péloponnèse déjà évoqué plus haut). Gamow ne cite pas ses sources, notre enquête s’arrête donc là concernant ce mythe, mais il est fort possible que Gamow soit lui-même à l’origine de cette reconstitution.

Histoire des sciences ou anecdote ? La mesure de la distance Syène-Alexandrie

Concernant cette fois la mesure de la circonférence terrestre par Ératosthène, il peut être intéressant de passer en revue les différents éléments sur lesquels cette mesure s’appuie et de comparer ce qu’en disent les manuels, les sources antiques et ce qu’en pensent les historiens. 

Commençons par la distance Syène-Alexandrie. Cléomède indique sobrement «Posons […] en second lieu que la distance entre Syène et Alexandrie est de 5000 stades» [14].

Dans les manuels, les chameaux ont la cote !

Les manuels sont eux beaucoup plus diserts sur les méthodes utilisées pour obtenir cette valeur, nous indiquons dans le tableau ci-dessous ce qu’ils relatent :

Manuel Distance donnée Méthode utilisée
Dunod 800 km Non précisée
Bordas 5000 stades (800 km) Non précisée
Didier 5000 stades Non précisée
Hachette 787,5 km «Cette distance a probablement été mesurée directement par des bématistes, personnes entraînées à faire des pas réguliers pour mesurer des distances» (dessin d’un bématiste guidant un chameau).
Hatier 5000 stades «Nous ne disposons aujourd’hui d’aucun écrit d’Ératosthène. Aussi, plusieurs idées circulent sur la manière dont il a mesuré la distance Alexandrie-Syène. La plus courante indique qu’il se serait basé sur le fait qu’un chameau met environ 50 jours pour aller d’Alexandrie à Syène et, qu’en un jour, le chameau parcourt une distance de 100 stades : la distance entre les deux villes est donc d’environ 5000 stades».
Le livre scolaire 5000 stades «Une légende raconte qu’il aurait déterminé cette distance en comptant des pas réguliers de chameaux et que ces mêmes chameaux auraient parcouru 5 000 stades égyptiens. La longueur d’un stade est de 157,5 m».
Magnard 5000 stades A propos d’Anaxagore : «Les bématistes dont le rôle était de mesurer des distances à l’aide de leurs chameaux mesurèrent la distance entre Syène (Assouan en Égypte) et Alexandrie. Leurs pas étaient si réguliers que le temps de marche était converti automatiquement en stades. Ils trouvèrent une distance entre Alexandrie et Syène égale à 5000 stades».
Nathan 5000 stades «Ceci lui permet de mesurer un méridien de la terre, en calculant la distance Syène-Alexandrie : cette distance est parcourue en 50 jours environ par un chameau et Ératosthène estime qu’un chameau parcourt en moyenne 100 stades par jour».

Récapitulons : dans cinq manuels sur huit, une méthode est indiquée. Dans le cas où cette méthode est précisée, des chameaux sont toujours présents. Dans deux cas, des bématistes sont mentionnés. Ceux-ci comptent leurs propres pas selon le Hachette. Quant au Livre scolaire, celui-ci mentionne qu’une légende indiquerait qu’on compte des pas de chameaux ! Enfin, quand un calcul conduisant aux 5000 stades est explicitement mentionné, il est toujours identique : 50 jours x 100 stades/jours = 5000 stades.

Qu’en disent les historiens des sciences ?

Il semble exclu que la distance Syène-Alexandrie ait été évaluée à partir des seuls temps moyens mis par des voyageurs pour aller d’une ville à une autre, a fortiori pour des caravanes de chameaux. Selon Dutka [15], il s’agit d’un mythe véhiculé par les livres sur l’histoire de la géodésie. Selon lui, les chameaux furent introduits en Afrique du Nord par Alexandre le Grand, mais les caravanes de chameaux n’étaient pas répandues avant l’ère chrétienne. Cléomède précise par ailleurs dans son texte qu’Ératosthène savait que l’absence de l’ombre des gnomons se produit sur un rayon de 150 stades autour du tropique, ce qui laisse supposer qu’il aurait pris soin d’évaluer très précisément la position du tropique, ce qui a peut-être été réalisé par des fonctionnaires royaux assignés spécifiquement à cette tâche. Cette hypothèse semble également confirmée par une source antique, un texte de Martianus Capella [16] qui évoque le recours à des arpenteurs royaux de Ptolémée (mensores regios Ptolomaei). Selon Pédech [17] : «Ce terme [mensores regios Ptolomaei] peut désigner aussi bien les arpenteurs chargés d’établir le cadastre agronomique qui servait de base à l’impôt que les fonctionnaires qui avaient mesuré les étapes de la navigation sur le Nil pour la perception des péages. Il faut penser plutôt au Nil, qui offrait une voie plane et à peu près rectiligne, dont les déviations étaient faciles à corriger, peut-être au moyen des données métriques fournies par la poste royale dont parlent les papyrus».

Certains historiens évoquent par ailleurs la possibilité qu’il s’agisse de bématistes, hommes entraînés à faire des pas réguliers tout en les comptant pour établir des distances. Ces bématistes ont été notamment largement utilisés par Alexandre le Grand lors de ses campagnes militaires [18]. Pour être plus complet, notons que la mesure de la distance évoquée par Martianus Capella concerne en fait la distance Syène-Méroé et que selon lui l’observation aurait été faite à l’équinoxe. La ville de Méroé est également évoquée par Pline [19] non loin d’un passage sur Ératosthène et par Strabon [20]. Elle se trouve comme Alexandrie à 5000 stades de Syène et plus ou moins sur le même méridien, mais du côté du sud ce qui conduit Gratwick [21] à penser qu’Ératosthène aurait peut-être réalisé des mesures «symétriques» par rapport au tropique du Cancer. Enfin, selon le texte de Cléomède lui-même, une autre observation aurait été faite entre Syène et Alexandrie lors du solstice d’hiver.

L’ensemble de ces résultats de recherche suggère qu’Ératosthène aurait fait plusieurs observations pour obtenir une meilleure précision – observations dont Cléomède n’aurait rendu compte que de façon simplifiée dans son ouvrage à vocation pédagogique [22].

Enfin, signalons également que nous n’avons trouvé dans aucun texte antique la valeur de 50 jours associée aux 100 stades par jour qui est reprise à chaque fois qu’un calcul est demandé. Cette valeur, compte-tenu de la valeur du stade, laisse entendre que les chameaux ne parcouraient qu’une quinzaine de kilomètres par jour ce qui semble une valeur assez faible, Cartwright [23] mentionnant plutôt une cinquantaine de kilomètres par jour.

Histoire des sciences et histoire : un rendez-vous raté ?

Caravanes de chameaux ou fonctionnaires royaux, on pourrait considérer qu’il s’agit là d’un détail, mais tout dépend du but que l’on assigne à l’enseignement de cet épisode de l’histoire des sciences. On pourrait en effet profiter de cet épisode pour faire de l’histoire, replacer la mesure de la Terre dans les problématiques de l’époque, expliquer que ce besoin d’estimer la taille du monde naît dans le prolongement des arpentages effectués lors des conquêtes d’Alexandre ou à la suite des voyages de Pythéas [24]. On pourrait également mettre cet épisode à profit pour mentionner l’importance de la structure politique de l’Egypte ptolémaïque. Après tout, il a fallu attendre de nombreux siècles avant qu’une mesure de la circonférence terrestre d’une précision équivalente à celle d’Ératosthène soit à nouveau réalisée.

A l’inverse, associer la mesure de la distance Syène-Alexandrie à une estimation liée à des caravanes de chameaux nous semble ramener cette mesure à une forme d’orientalisme, de pittoresque quelque peu réducteur. Il y a certes une portée pédagogique à l’anecdote, mais celle-ci présente aussi des risques dont celle de créer une vision faussée du contexte des découvertes des savants que l’on présente aux élèves. D’ailleurs, les remarques précédentes s’appliquent aussi à Ératosthène lui-même, les manuels n’échappant pas à la tendance au portrait hagiographique.

Mais ne nous voilons pas la face : préserver l’authenticité historique et proposer des activités qui font sens au regard des connaissances actuelles, qui font sens également au regard des apprentissages visés par le cours reste une gageure. La «méthode d’Ératosthène», telle que les manuels scolaires la présentent, permet de mettre en fonctionnement un certain nombre de savoirs géométriques accessibles aux élèves pour un objectif à la fois motivant (calculer le périmètre terrestre par voie indirecte) et efficace. Et quand bien même la méthode que l’on propose aux élèves reposerait sur quelques anachronismes, pire, n’aurait plus grand chose à voir avec celle décrite par exemple par Cléomède, qu’aurait-on à y perdre si les apprentissages mathématiques restent garantis ? A cette objection nous opposerons qu’il est des cas où l’authenticité historique peut être motrice d’activités originales, tout aussi porteuses du point de vue mathématique, et culturellement bien plus riches.

Préserver l’authenticité historique : pour quel gain ? A quel prix ?

Scaphé et raisonnement par proportions

L’édifice procédural décrit par Cléomède repose sur l’utilisation d’un instrument de mesure très particulier : une scaphé, cadran concave au sein duquel se trouve un style (le gnonom) dont la pointe est située au centre de la sphère totale dont la scaphé forme l’un des hémisphères (cf. figures 4 & 5).

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figure 4
Schéma d’une scaphé et de son gnomon
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figure 5
Scaphé de type grec conservé au musée Clemens-Sels de Neuss.

Une fois l’instrument identifié, il devient possible de saisir le principe géométrique de la procédure exposée. Celle-ci repose sur cinq hypothèses que Cléomède énonce ainsi :

"Qu’il soit admis pour nous :

  • premièrement que Syène et Alexandrie sont établies sous le méridien ;
  • deuxièmement que la distance entre les deux cités est de 5 000 stades ;
  • troisièmement que les rayons envoyés de différents endroits du soleil sur différents endroits de la Terre sont parallèles ; en effet, les géomètres supposent qu’il en est ainsi ;
  • quatrièmement que ceci soit admis comme démontré auprès des géomètres, que les droites sécantes des parallèles forment des angles alternes égaux ;
  • cinquièmement que les arcs de cercle qui reposent sur des angles égaux sont semblables, c’est-à-dire qu’ils ont la même similitude et le même rapport relativement aux cercles correspondants, ceci étant démontré aussi chez les géomètres. Lorsqu’en effet les arcs de cercle reposent sur des angles égaux, quel que soit l’un (d’entre eux), s’il est la dixième partie de son propre cercle, tous les autres seront les dixièmes parties de leurs propres cercles" [25].

Cléomède poursuit par l’énoncé de quelques faits d’observation : au solstice d’été, sous le tropique du Cancer, les gnomons des cadrans solaires concaves (scaphé) sont nécessairement sans ombre tandis que ceux d’Alexandrie (située au nord de Syène) projettent une ombre (figure 6). Comme les arcs DA et AS sont limités par des angles égaux, ils délimitent une portion de cercle identique (présupposé n°5). La portion d’arc formée par l’ombre du gnomon de la scaphé située à Alexandrie est donc égale à la portion d’arc délimitée par la ligne Syène-Alexandrie. Autrement dit, l’arc qui va de Syène à Alexandrie représente une portion du cercle terrestre identique à celle du cercle de la scaphé délimitée par l’ombre du gnomon d’Alexandrie. Sur la figure 8, S localise la ville de Syène et A celle d’Alexandrie, l’arc AD est égal à 1/50e du cercle de centre E et de rayon [EA], les angles θ aux sommets E et O (centre de la Terre) sont égaux, l’arc AS délimite donc également 1/50e du cercle terrestre). Notons que le texte ne mentionne pas le calcul du rayon terrestre qui ne peut en aucun cas, compte-tenu des connaissances de l’époque, précéder celui du périmètre de la Terre.

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figure 6
Traduction sous la forme d’un schéma de la procédure décrite par Cléomède

La robustesse de la procédure et la qualité de la valeur de la circonférence terrestre à laquelle elle conduit sont directement liées à la cohérence théorique du système géométrique mobilisé au sein duquel une Terre sphérique se voit associée à un instrument de mesure lui-même sphérique. Au plan mathématique, on voit également qu’il n’est nul besoin ici de remonter à la valeur de l’angle θ puisque c’est un raisonnement par «analogie» (au sens strict d’analogos - qui a le même rapport de proportion), c’est à dire par égalité du rapport qui unit deux à deux les termes de plusieurs couples, qui est mobilisé ici et qui soutient la cinquième hypothèse énoncée par Cléomède : «cinquièmement que les arcs de cercle qui reposent sur des angles égaux sont semblables, c’est à dire qu’ils ont la même similitude et le même rapport relativement aux cercles correspondants, ceci étant démontré aussi chez les géomètres.»

Dans la plupart des manuels que nous avons consultés (5 sur 8) la scaphé n’est pas mentionnée si bien que les procédures décrites reposent toutes sur la valeur de l’angle θ= 7,2° dont la connaissance semble incontournable. Dans l’extrait ci-dessous (figure 7), l’instrument de mesure est un bâton planté verticalement dans le sol (un gnomon) au pied duquel se trouve une ombre. La mesure de la circonférence de le Terre repose sur la valeur de l’angle α au centre de la Terre et donc sur celle de l’angle β au sommet du gnomon (valeurs égales par hypothèse des angles alternes égaux). D’après le texte du manuel, la valeur de l’angle β aurait été obtenue par application des «règles de trigonométrie classique», c’est-à-dire, en considérant que l’ombre au pied du gnomon et le gnomon lui-même forment les deux côtés d’un triangle rectangle. Le calcul de l’arctangente du rapport «longueur de l’ombre / longueur du gnomon» permet alors de retrouver la valeur de 7,2°. Cette procédure, reprise à peu près en ces termes dans le document intitulé «les mathématiques de l’enseignement scientifique, la forme de la Terre et les mesures à la surface de la Terre» si elle présente un intérêt calculatoire indéniable n’a aucune valeur historique dans la mesure où les «règles» dont il est question ne sont pas connues d’Ératosthène, ni même de Cléomède.

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figure 7
Extrait du manuel Hatier de 1re « Enseignement scientifique ».

Trois manuels font mention explicite de la scaphé (avec photographie). Pour autant, sa présence apparaît plutôt contingente dans la mesure où ses caractéristiques géométriques ne sont en rien partie prenante de la procédure de mesure. Dans l’exemple ci-dessous (figure 8), la scaphé dessinée à Alexandrie pourrait être remplacée par un gnomon simple sans que cela ne modifie en rien le principe du calcul présenté puisque là encore c’est la valeur de l’angle au sommet du gnomon (les fameux 7,2°) qui se voit exploitée et pas la portion de cercle que délimite la longueur de l’ombre à l’intérieur de l’hémisphère de la scaphé. Cela revient finalement au même puisque 7,2=360/50. Mais là encore l’authenticité historique se voit quelque peu malmenée par la survalorisation de la valeur de cet angle qui engage un calcul anachronique et, par surcroît, moins direct. En effet, la connaissance de la portion de cercle que délimite la longueur de l’ombre à l’intérieur de l’hémisphère de la scaphé suffit à elle seule à déterminer la valeur de la circonférence de la Terre. Si l’on écrivait 800/circonférence de la Terre = 1/50, on serait sans doute plus proche du raisonnement par analogie caractéristique de l’époque et que nous évoquions plus haut.

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figure 8
Extrait du manuel Belin de 1re « Enseignement scientifique », p 130

C’est d’ailleurs assez étonnant de constater que cette fraction 1/50 est mentionnée dans quelques manuels et dans le document «les mathématiques de l’enseignement scientifique, la forme de la Terre et les mesures à la surface de la Terre» , indépendamment de l’instrument de mesure qui en permet l’obtention. Que répondre aux élèves qui pourraient s’interroger sur son origine ?

Rayons parallèles ?

Si les ouvrages ne mentionnent pas (ou mentionnent de manière contingente) la scaphé, reléguant ainsi une donnée historique parfaitement exploitable au rang des informations accessoires, ils sont en revanche beaucoup plus explicites sur la manière dont Ératosthène aurait justifié le parallélisme des rayons du Soleil (voir tableau ci-dessous).

Manuel Justification du parallélisme
Belin «Ératosthène pose comme hypothèse que le Soleil est suffisamment éloigné pour que les rayons qui atteignent la Terre soient parallèles entre eux.»
Bordas «Ératosthène, appelé en Égypte pour assurer l’éducation du fils du roi et nommé directeur de la bibliothèque d’Alexandrie, avait accès à toutes les connaissances de l’époque, aussi bien astronomiques que géométriques. Il estimait que la Terre était sphérique et que le Soleil était très loin».
Didier «On suppose la Terre sphérique et le Soleil à l’infini (de sorte que les rayons du Soleil soient parallèles entre eux lorsqu’ils frappent les deux endroits)».
Hachette Non justifié à propos d’Ératosthène : «Dans le modèle d’Ératosthène, les rayons du Soleil sont parallèles» mais la proximité du Soleil est évoquée dans l’exercice sur le modèle d’Anaxagore.
Hatier «Ératosthène considère que le Soleil est très éloigné de la Terre et que, de fait, ses rayons peuvent être considérés comme parallèles entre eux». 
Le livre scolaire «Il [Ératosthène] suppose que le Soleil est assez éloigné pour que ses rayons frappent la surface terrestre en faisceaux parallèles».
Magnard «Les rayons lumineux sont parallèles entre eux car issus du Soleil extrêmement loin» (sans que cette hypothèse soit explicitement attribuée à Ératosthène).
Nathan Non justifié, mais le texte de Cléomède est cité : «troisièmement que les rayons lumineux envoyés de différents endroits du Soleil sur différents endroits de la Terre sont parallèles.»

Notons au passage pour l’anecdote que, dans le Hatier, des modèles en apparence contradictoires sont présents à trois pages d’écart : un modèle de rayons convergents (p. 136) lors de l’explication des éclipses de Lune et un modèle de rayons parallèles (p. 139) à l’occasion de la présentation de la mesure d’Ératosthène.

Comme on le voit, dans sept manuels sur huit le parallélisme des rayons est présenté comme relevant de l’hypothèse que le Soleil est éloigné, alors que c’est beaucoup moins clair chez Cléomède. Cette justification n’est pas présente dans sa Théorie Élémentaire et sa troisième hypothèse indique uniquement « que les rayons envoyés de différents endroits du soleil sur différents endroits de la Terre sont parallèles » et que « les géomètres supposent qu’il en est ainsi ». Pour que l’affirmation soit à la fois compréhensible et exploitable en classe, il va falloir la lire au prisme de l’optique géométrique admise aujourd’hui en assumant cette fois d’en dénaturer quelque peu l’authenticité. Car sous la plume de Cléomède, dans l’extrait concernant Ératosthène [26], le Soleil n’est pas un ensemble de points d’où émanent un ensemble de cônes contenant un ensemble de rayons, mais comme un ensemble de points envoyant chacun un rayon unique. Autrement dit, Cléomède semble considérer le Soleil comme une source étendue envoyant un faisceau de rayons parallèles entre eux en direction de la Terre, ce qui diffère sensiblement de la manière moderne de présenter la situation. Même si au sens strict deux rayons arrivant parfaitement parallèles à Syène et à Alexandrie proviennent forcément de deux points différents à la surface du Soleil, ce qu’on sous-entend en général aujourd’hui par « parallélisme des rayons » c’est le quasi-parallélisme des deux cônes lumineux provenant de l’ensemble du Soleil entre eux, lié à l’importance de la distance Terre-Soleil au regard de la distance Syène-Alexandrie.

Le travail de l’enseignant est ici bien délicat : s’il veut préserver l’intégrité du raisonnement historique, il devra engager ses élèves sur un chemin un peu différent de celui qu’il aurait emprunté pour les accoutumer à l’idée moderne que deux rayons lumineux provenant d’une même source éloignée sont quasi-parallèles.

Conclusion

Travailler en classe la procédure de la circonférence terrestre par la méthode Ératosthène est une formidable occasion de faire entrer les élèves de lycée « en histoire » et les informations (historiques, scientifiques) actuellement disponibles autour de cette procédure permettent d’envisager un certain nombre d’activités à forte valeur éducative tout en évitant les anachronismes et les fantaisies susceptibles de porter atteinte à l’intégrité des éléments historiques en jeu. L’institution scolaire ne s’y est pas trompée qui rappelle régulièrement les bénéfices associés à l’usage pédagogique de l’histoire des sciences en classe. Rapportés à l’usage de l’épisode «Ératosthène», ces bénéfices sont de trois ordres (au moins) :

  1. Épistémologique, lié à la nature de la science, à la manière dont la science se fait : l’observation d’ombres au pied de gnomons en deux lieux différents d’un même méridien peut s’interpréter de manière différente selon le modèle cosmologique envisagé (Soleil proche versus Soleil lointain, Terre plate versus Terre ronde). Une mise en perspective de ces modèles interprétatifs offre l’opportunité de travailler les notions de modèles et de modélisation. Mais si le recours à Anaxagore nous semble sur ce point inapproprié, l’histoire des sciences chinoise peut se voir choisie comme source d’inspiration pour qui souhaiterait exploiter une procédure de mesure de distance astronomique selon un modèle Terre plate - Soleil proche réalisée à partir de mesures d’ombres [27].
  2.  Historique et culturel : la calcul Ératosthène engage la connaissance (et donc la mesure) de distances terrestres difficile à envisager de manière complètement indépendante des conquêtes d’Alexandre le Grand, des nécessités d’arpentage et des moyens possibles pour les réaliser. On voit là l’occasion d’une ouverture vers des questions historiques et culturelles plus larges que celles liées aux savoirs strictement mathématiques et/ou astronomiques en jeu. Le détour vers ces questions plus largement historiques pourrait d’ailleurs opérer comme moteur vertueux de «dépaysement [28]», rôle que l’on fait habituellement jouer aux anecdotes pseudo-historiques. Une discussion autour des cadrans solaires pourrait également entrer dans cette catégorie. 
  3. Scientifique et disciplinaire : La procédure de mesure du périmètre terrestre par Ératosthène repose sur des hypothèses dont l’interprétation échappe difficilement au biais de l’histoire jugée [29]. Nous l’avons vu, la troisième hypothèse énoncée par Cléomède (sur le parallélisme des rayons provenant du Soleil) est aujourd’hui difficile à lire autrement que comme une modélisation de la propagation de la lumière émise par le Soleil en des lignes parallèles. Si un tel compromis est accepté, il devient alors possible de mettre au travail les notions de parallélisme, de propagation rectiligne de la lumière, ainsi que les questions d’échelles, de domaines de validité des modèles. Sans oublier l’ensemble des savoirs géométriques directement accessibles dans les textes sources (loi des angles alternes égaux, proportionnalité, etc.). 

Au regard de ces bénéfices, remettre la scaphé au cœur de la procédure de mesure du périmètre terrestre reste pour nous un enjeu majeur. Nous l’avons vu, l’utilisation de cet instrument demi-sphérique à la place du traditionnel gnomon à base plane permet de remplacer un problème plan portant sur des angles par un problème sphérique reposant une homothétie entre la sphère de la Terre et la sphère de la scaphé. Non seulement les calculs s’en voient considérablement simplifiés, mais cela permet en outre que soient présentés aux élèves un instrument original et un raisonnement «par analogie» dont l’élégance ne manquera certainement pas de séduire.

Post-scriptum :

Nous remercions Christine Proust et Hélène Gispert pour leur lecture attentive et leurs conseils avisés.

Les auteurs et la rédaction d’Images des mathématiques remercient également les relecteurs dont les noms ou pseudos sont nakhil, Clément Caubel et Thomas Sauvaget pour leur relecture attentive et leurs remarques constructives.

Article édité par Christine Proust

Notas

[2Herreman, A. (2018). Aux sources du «théorème du perroquet», Images des Mathématiques, CNRS

[3Décamp, N., & de Hosson, C. (2012). Implementing Eratosthenes’ discovery in the classroom : Educational difficulties needing attention. Science & Education, 21(6), 911-920.

[4Par exemple, cette traduction en ligne sur le site de la Fondation la Main à la Pâte, mais également Goulet, R. (1980). Cléomède, Théorie élémentaire, Paris : Vrin, ou Aujac, G. (2001). Ératosthène de Cyrène, le pionnier de la géographie, Paris : éd. du C.H.T.S.

[5BOEN hors-série n°2 du 30 août 2001, p.21 : programmes scolaires applicables en classe de seconde générale et technologique à la rentrée scolaire 2001

[7Citons par exemple Poincaré, Duhem, Quine, Bunge...

[9Pour une recension des doxographes d’Anaxagore, on pourra consulter un ouvrage récent et exhaustif en langue anglaise Curd P. (2007), Anaxagoras of Clazomenae, Fragments and Testimonia, Toronto : University of Toronto Press, ou une recension plus ancienne, moins complète, mais accessible en ligne et en langue française Tannery, P. (1930). Pour l’histoire de la science hellène, Paris : Gauthier-Villars et Cie : http://remacle.org/bloodwolf/philosophes/anaxagore/fragments.htm.

[10Voir par exemple Sider, D. (1973), Anaxagoras and the Size of the Sun, Classical Philology, 68(2), 128-129 :https://doi.org/10.1086/365951

[11Voir Graham, D. W., & Hintz, E. (2007). Anaxagoras and the Solar Eclipse of 478 BC. Apeiron, 40(4), 319-344 : https://doi.org/10.1515/APEIRON.2007.40.4.319

[12Ainsi que Treiner, J. (2002), déjà cité.

[13Gamow, G. (1966). Une étoile nommée Soleil, Paris : Dunod.

[14Traduction : Aujac, G. (2001). Ératosthène de Cyrène, le pionnier de la géographie, Paris : éd. du C.H.T.S.

[15Dutka, J. (1993). Eratosthenes’ measurement of the Earth reconsidered, Arch. Hist. Exact Sci., 46 (1), 55–66

[16Ferré, B. (2007). Martianus Capella, Noces de la Philologie avec Mercure, VI, 598, Paris : Les Belles Lettres

[17Pédech, P. (1976). La géographie des Grecs (p. 100), Paris : PUF

[18Dutka, J. (1993). Eratosthenes’ measurement of the Earth reconsidered, Arch. Hist. Exact Sci., 46 (1), 55–66

[19Littré, É. (1848). Pline l’Ancien, Histoire naturelle, II, 75, Paris : Dubochet, Le Chevalier et Cie

[20Tardieu, A. (1867). Strabon, Géographie, I, 4, 1, Paris : Hachette

[21Gratwick, A.S. (1995). Alexandria, Syene, Meroe : Symmetry in Eratosthenes’ Measurement of the World, in The passionate intellect, essays on the transformation of classical traditions, éd. Lewis Ayres, New Brunswick : Rutgers University, New Brunswick

[22Selon Goulet, R. (1980). Cléomède, Théorie élémentaire, Paris : Vrin (p16) «nous sommes en présence du cours de cosmologie, que Cléomède, professeur de philosophie stoïcienne, dispensait à ses élèves».

[23Cartwright, M. (2019). The Camel Caravans of the Ancient Sahara. Ancient History Encyclopedia. Retrieved from https://www.ancient.eu/article/1344/

[24Aujac, G. (2001). Ératosthène de Cyrène, le pionnier de la géographie, Paris : éd. du C.H.T.S.

[25Traduction : Aujac, G. (2001). Ératosthène de Cyrène, le pionnier de la géographie, Paris : éd. du C.H.T.S.

[26Dans d’autres extraits, en particulier sur les éclipses de Lune, Cléomède évoque l’ombre conique de la Terre.

[27Décamp, N., de Hosson, C. (2018). Approcher l’astronomie mathématique en classe : un exemple d’usage d’éléments d’histoire des cosmologies chinoises et grecques, in E. Barbin, D. Bénard & G. Moussard (eds), Les mathématiques et le réel, (pp. 173-194). Rennes (France) : PUR.

[28Barbin, E. (2018). Le dépaysement historique pour penser les mathématiques. https://www.youtube.com/watch?v=4fsKKIC7KDg

[29Bachelard, G. (1938). La formation de l’esprit scientifique, Paris : Vrin

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Para citar este artículo:

Nicolas Décamp, Cécile de Hosson — «Ératosthène et Anaxagore dans l’enseignement scientifique» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Créditos de las imágenes:

figure 6 - N. Décamp et C. de Hosson
figure 4 - N. Décamp et C. de Hosson
figure 2 - N. Décamp et C. de Hosson

Comentario sobre el artículo

  • Ératosthène et Anaxagore dans l’enseignement scientifique

    le 21 de mayo à 14:36, par amic

    Merci pour cet article. Juste pour signaler une petite typo : 80/circonférence → 800/circonférence (juste avant la figure 8, qui elle a bien la bonne valeur).

    Répondre à ce message
    • Ératosthène et Anaxagore dans l’enseignement scientifique

      le 5 de junio à 09:28, par Cécile de Hosson

      Bonjour,
      Merci pour votre retour et pour l’erreur signalée qui a été corrigée.
      Cécile de Hosson & Nicolas Décamp

      Répondre à ce message

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