Es evidente, ¿o no ?

Le 21 octobre 2013  - Ecrit par  Sylvain Barré
Le 20 août 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : C’est évident ou pas ? Voir les commentaires
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El simple hecho de hacerse esta pregunta debería inclinar la balanza hacia un lado. ¿O no ? Tal vez no, ya que hacerse esta pregunta significa que es absolutamente necesario encontrar el buen punto de vista para que algo se torne simple, evidente. Entonces, la respuesta probablemente debería ser : « sí, es evidente pero no veo por qué... »

He aquí un pequeño problema ¡que puede enredar a más de alguno !

Juana dirige el entrenamiento del equipo de basquetbol infantil. Divide la clases en 6 grupos y prepara 6 talleres distintos. Cada 10 minutos se cambia y cada grupo debe ir a un nuevo taller. Después de una hora todo el mundo tiene que haber pasado por todos los talleres. Un método clásico.

Pero una vez, los niños estaban un poco más juguetones o más impacientes por hacer ciertos talleres. Los dos primeros cambios funcionaron bien, pero al tercero, los niños encontraron dificultades. ¡Incluso discutiendo globalmente, no encontraron una permutación que dejara satisfecho a cada grupo !

Por supuesto, si algunos grupos hubiesen forzado sus elecciones, uno imagina que los otros podrían haber quedado sin alternativas. Tome por ejemplo el caso de 3 grupos y 3 talleres : ¡dos grupos que intercambiaran sus puestos dejarían sin elección al tercero !

Pero ahí no está la pregunta. ¡Parece imposible encontrar una solución global !

Escucho aún a Juana decir :

’’Les pedí que permutarsen en el sentido de las agujas del reloj para cambiar de taller. Después de dos cambios desordenados, ¡llegamos a una situación imposible ! ¡Qué tontera !’’

Juana tenía la costumbre de trabajar así, con permutaciones cíclicas. Yo también creí que podría surgir un bloqueo... Y algunos niños hicieron de nuevo el mismo taller. Pero después tomé una hoja y... ¡había una solución !

Este problema es divertido. Es fácil de resolver para valores pequeños, 3 o 4 talleres. Para 5 grupos ya no es tan simple, y para 6 hay que pensarlo bien.

Pero, ¿hay de verdad un problema que pueda ocurrir para un cierto valor $n>6$ del número de grupos después de un cierto número $p$ de talleres ya hechos ? Si es así, ¡déme un ejemplo ! Si no, ¡déme una prueba ! ¿Es evidente o no ?

Para todo valor de $n$, si no queda más que un taller cualquiera por hacer, ¡no hay bloqueo, eso es seguro ! Esto se escribe $p\leq n-2$. Cuando quedan dos talleres por hacer, tampoco hay bloqueo, esto también es bastante fácil de ver. Por lo tanto $p\leq n-3$, pero NO ES EVIDENTE...

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Es evidente, ¿o no ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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