Espacios curvados

Le 15 octobre 2004  - Ecrit par  Pierre de la Harpe
Le 8 février 2019  - Traduit par  Andrés Navas
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La noción de espacio curvado ha pasado por un largo periodo de maduración. Damos aquí los puntos de orientación históricos evocando a Newton y la curvatura de curvas planas (1665), Gauss y la curvatura de superficies (1827), Riemann y las dimensiones superiores (1854), Einstein y la relatividad general (1916), y Gromov y los espacios discretos (desde 1980). El lector es invitado igualmente a repensar en la diferencia geométrica entre una hoja de ensalada y una cáscara de manzana, además de especular sobre la geometría de una telaraña.

El concepto de ESPACIO CURVADO es utilizado hoy en día para modelar realidades muy diversas. Aparece, por ejemplo, en el estudio de los defectos cristalinos en física de sólidos. Igualmente, juega un rol importante en equipos de alta tecnología como el ’’Global Positioning System’’ (GPS), que permite localizar un receptor que puede estar ubicado a solo metros de distancia, pero que para eso deben tener en cuenta los efectos complejos de la relatividad general, los cuales están ligados a la curvatura del espacio. Ciertamente, muchos proyectos de investigación tienen por objetivo la predicción de temblores y terremotos : se desea entonces disponer de un GPS que capte desplazamientos del orden de un milímetro correspondientes a observaciones de los bordes de las fallas de la corteza terrestre en zonas sísmicas. Nace entonces la necesidad de nuevos estudios físico-geométricos para afinar los conocimientos y las performances actuales.

Para estructurar nuestros conocimientos, se ha requerido de un tiempo considerable para desarrollar diversas nociones científicas hasta enunciarlas como conceptos precisos. Este es el caso, por ejemplo, de la temperatura en física, de los elementos en química, de la herencia en biología... y de la curvatura en matemática. Es posible distinguir tres etapas importantes en la evolución del concepto de ’’curvatura’’ ; de hecho, la tercera etapa se encuentra aún en curso.

1. Radio de curvatura de una curva en un punto

Las curvas exhiben aspectos que pueden ser tildados como globales.
Por ejemplo, una curva puede situarse en un dominio limitado del espacio, como es el caso del círculo, o bien poseer puntos arbitrariamente lejanos, como en el caso de la recta. Por otra parte, las curvas exhiben también aspectos locales. Por ejemplo, un círculo admite una recta tangente en cada punto, mientras que el borde de un cuadrado posee puntos (las esquinas) donde una tal recta tangente no está definida. Para los puntos en que las tangentes están bien definidas, ésta es (por definición) la mejor aproximación local de la curva por una recta (figura 1, en detalle en la figura 2).

Sin embargo, se puede hallar una aproximación que es a la vez mejor y aún bastante simple : el círculo osculador en un punto $P$ de una curva $C$, que es el círculo que aproxima mejor a $C$ en torno a $P$ (figuras 1 y 2). El radio de este círculo es, por definición, el radio de curvatura de la curva $C$ en el punto $P$.

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Figura 1.
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Figura 2.

Estas nociones se remontan a un trabajo de 1665 de Isaac Newton (1642-1727), y han sido repensadas por numerosos matemáticos.

2. El teorema egregium (= teorema excelente) de Gauss y la curvatura intrínseca de una superficie

En 1827, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) publica un artículo fundamental titulado Disquisitiones generales circa superficies curvas (= Investigación sobre la teoría general de las superficies curvadas) [1]. Gauss precisó lo que se entiende por « superficie » , y luego desplegó las nociones necesarias para su estudio. En particular, definió la curvatura total $k(P)$ en un punto $P$ de una superficie $S$, y supo expresar y caracterizar este número de diferentes maneras, como por ejemplo

\[ k(P) \, = \, \frac{12}{\pi} \, \lim_{r \to 0} \, \frac {\pi r^2 - \text {(área en} \ S\ \text{de un disco de radio} \ r \ \text {en torno a}\ P)} {r^4} \]

(puesto que el área en un plano de un disco de radio $r$ es precisamente $\pi r^2$, esta caracterización muestra que la curvatura de un plano es nula en cada uno de sus puntos).
He aquí outra expresión :
\[ k(P) \, = \, \frac{3}{\pi} \, \lim_{r \to 0} \, \frac {2 \pi r - \text {(perímetro en} \ S\ \text {de un disco de radio} \ r \ \text{en torno a} \ P)} {r^3} \]
(la cual muestra también que la curvatura del plano es nula en cada uno de sus puntos).

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Figura 3. Superficies de curvatura nula : cilindro y cono.
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Figure 4. Surfaces à courbure positive : ellipsoïde, maximum local, minimum local.
Figure 4. Surfaces à courbure positive : ellipsoïde, maximum local, minimum local.
Figura 4. Superficies de curvatura positiva : elipsoide, máximo local, mínimo local.
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Figura 5. Superficies de curvatura negativa : paso de montaña, hiperboloide de una rama.

Existen muchas formas de poner en evidencia el signo de la curvatura. He aquí una : si en una superficie $S$, cortamos una banda circular estrecha y la desenvolvemos sobre una superficie plana, obtenemos una banda circular menos un sector cuando $S$ es a curvatura positiva (es el caso de la cáscara de una manzana), y obtenemos una banda circular plana en que uno de los extremos se superpone al otro cuando $S$ es a curvatura negativa (es el caso de una hoja de ensalada).

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Figura 6. Sobre manzanas y ensaladas.

Gauss y sus sucesores también establecieron el concepto de geodésica, el cual permite precisar simultáneamente :

  • (i) la noción del camino más corto entre dos caminos de una superficie (en geometría),
  • (ii) la noción de trayectoria de un cuerpo pesado dentro de un campo de fuerzas externas (en mecánica).

Asistimos así en la segunda mita del siglo XIX a la geometrización de la mecánica, lo cual fue un precedente importante para el descubrimiento de la física cuántica y de la relatividad a principios del siglo XX. Debemos señalar en particular la visión extraordinaria de Bernhard Riemann (1826-1866). Su obra, de una concisión extrema, cambió toda la matemática. Tras su conferencia de habilitación (10 de Junio de 1854), revolucionó la geometría, en particular liberándola del yugo de las dimensiones pequeñas (1, 2 y 3), y extendiendo a su nuevo contexto las nociones de distancia y curvatura.

Estos trabajos fueron realizados al mismo momento que aquellos que resolvieron la controversia milenaria sobre el « axioma de las paralelas » de Euclides (trabajos sobre la ``geometría hiperbólica’’ de Gauss en Alemania, Lobatchevski en Rusia, Bolyai en Alemania y Hungría, Beltrami en Italia [2]).

2 bis. La apropiación del concepto en la teoría de Einstein

En la teoría de la relatividad, cuyos primeros artículos fueron publicados en 1905 (relatividad restringida) y 1916 (relatividad general) por Albert Einstein (1879-1955), las leyes de la física se expresan en un espacio ’’a $4$ dimensiones’’, las que corresponden a las tres dimensiones usuales y al tiempo. En relatividad general, el dato esencial del espacio es su curvatura local, conformemente a las definiciones de Gauss y Riemann. Einstein se apropió de manera magistral de estas nociones pues ellas le permitían expresar la masa de las partículas : la presencia de masa se manifiesta así por una propiedad geométrica simple del espacio curvo que modela el espacio-tiempo (ver [Mo]).

La relatividad, nacida de un esfuerzo de comprensión teórico, ha sido confirmada por numerosos experimentos.

Sobre la curvatura y la relatividad, algunas ideas particularmente bien expuestas pueden ser halladas en los cómics de Jean-Pierre Petit [Pe1], [Pe2].

3. La noción del signo de la curvatura en un espacio discreto : las ideas de Gromov

Todas las definiciones de curvatura evocadas hasta ahora presuponen una superficie o un espacio ’’continuo’’, e incluso ’’suave’’, en un sentido preciso. Sin embargo, este contexto es demasiado rígido para numerosas situaciones : por ejemplo, para los modelos discretos constantemente utilizados por computadoras (¡a los que solo puede darse un número finito de instrucciones !). La extensión de la geometría en esta dirección ha sido lograda durante la segunda mitad del siglo XX, fundamentalmente por A.D. Alexandrov y M. Gromov ; ver por ejemplo [Gr2].

Así, dado un conjunto finito de puntos de los que se conoce solamente las distancias mutuas, hoy en día es posible definir propiedades de curvatura tales como ’’ser de curvatura estrictamente negativa’’ o ’’ser de curvatura positiva’’ (como ejemplos de este tipo de conjuntos finitos se puede considerar el conjunto de direcciones web [EM], o los genes del genoma -si se puede definir una noción pertinente de distancia entre ellos-) Estas nociones de curvatura permiten un análisis cualitativo en diferentes situaciones interesantes : contenido y transmisión de grandes cantidades de información o comportamientos ergódicos y caóticos, por no citar que tan sólo unos ejemplos. Nos referimos aquí a temas de investigación actuales.

Una de las definiciones recientemente propuestas utiliza la idea siguiente, la cual no define la curvatura propiamente tal, sino que solamente su signo : un espacio $X$ es a curvatura estrictamente negativa si existe una constante $D$, característica del espacio $X$, tal que para todo triángulo en $X$ de lados $a,b,c$, todo punto de $a$ está a distancia a lo más $D$ de un punto de $b$ o de $c$ ; decimos entonces que los triángulos son $D$-finos. En un espacio tal, puede evidentemente existir triángulos arbitrariamente grandes (como en geometría plana), pero dichos triángulos son todos $D$-finos para el mismo valor de la constante $D$ (no existe equivalente para las homotecias de la geometría usual).

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Figura 7. Un triángulo $D$-fino.

El estudio geométrico de diversas estructuras discretas en matemática ha sido recientemente (y sigue siendo) el objeto de trabajos de investigación intensivos, como lo atestiguan entre muchos otros los libros [GH], [BH] y [Ha] mencionados más abajo.

3 bis. Un resultado de Gromov en teoría de grupos

Para los lectores con algún grado de conocimiento en matemática, damos ahora los elementos que permiten enunciar al menus un resultado de Gromov, a manera de muestra de los progresos espectaculares que él ha posibilitado en teoría de grupos.

Consideramos un grupo $G$ generado por una familia finita $\{s_1, s_2, \dots, s_N\}$ de elementos, en el sentido que todo elemento de $G$ se escribe al menos de una forma como producto de estos ’’generadores’’ $s_j$ y sus inversos. Para dos elementos $g,h$ del grupo $G$, definimos la distancia $d(g,h)$ entre $g$ y $h$ de la manera siguiente. Primeramente, hacemos $d(g,h) = 0$ si $g = h$ ; luego, $d(g,h) = 1$ si $g\ne h$ y existe un generador $s_j$ tal que $h = g s_j$ o $h = g s_j^{-1}$ ; finalmente, en los otros casos, definimos $d(g,h) = n$, donde $n$ es el menor entero tal que existen elementos $g=g_0, g_1, \dots, g_n=h$ en $G$ tales que $d(g_0,g_1) = d(g_1,g_2) = \dots = d(g_{n-1},g_n) = 1$. Para $g$ y $h$ en $G$, una sucesión de este tipo $(g=g_0,g_1, \dots,g_n=h)$ es un segmento geodésico (que puede ser pensado como un ’’segmento de recta’’) en el grupo $G$. Resulta natural definir un triángulo de vértices $g,h,k$ en $G$ como la reunión de tres segmentos geodésicos $(g=g_0,g_1, \dots,g_n=h)$, $(h=h_0,h_1, \dots,h_p=k)$ y $(k=k_0,k_1, \dots,k_q=g)$ ; las longitudes de los lados de este triángulo son entonces $n$, $p$ y $q$.

Un grupo $G$ es dicho a curvatura estrictamente negativa, o hiperbólico en el sentido de Gromov si existe una familia generadora $\{s_1, s_2, \dots, s_N\}$ y un real $C > 0$ tales que la propiedad siguiente es satisfecha : con las notaciones precedentes, para todo triángulo de $G$ y para todo punto $g_i$ sobre uno de sus lados, existe un punto $h_j$ o $k_l$ sobre uno de los otros lados a distancia a lo más $C$ de $g_i$ (comparar con la figura 7).

En un artículo ya célebre de 1987 [Gr1] y en otros más recientes, Gromov probó resultados que intentamos de evocar (parcialmente) aquí.

Teorema
  • (i) Casi todos los grupos que pueden set generados por una familia finita de elementos son de curvatura estrictamente negativa.
  • (ii) Para $N \ge 2$, casi todos los grupos a $N$ generadores son de dimensión cohomológica $2$.

Enunciados de este tipo utilizan términos cuyo sentido sería necesario precisar. Nos contentamos aquí con esbozar dos comentarios necesariamente poco rigurosos al respecto. Lo primero que puede decirse es que se puede considerar simultáneamente todos los grupos del tipo indicado en el teorema (llamados grupos finitamente generados) y definir en este conjunto una estructura conveniente para la cual la expresión ’’casi todos los grupos’’ de (i) tiene un sentido matemáticamente preciso. Lo segundo que puede decirse es que, además de la curvatura, es posible adaptar numerosos conceptos geométricos a los objetos ’’discretos’’, en particular a los grupos finitamente generados. Por ejemplo, un grupo tal posee primeramente una ’’dimensión’’ (que los profesionales llaman « cohomológica » por razones precisas), y esta dimensión es casi siempre exactamente $2$, como aquella de una superficie, y no $1$, como la de la recta, o $6$, como la dimensión del espacio de las posiciones de un cuerpo sólido en el espacio.

Antes de estos trabajos, todos los resultados importantes en teoría de grupos involucraban alguna familia particular de grupos. Gromov abrió una visión global en torno a lo que sucede con la mayoría de los grupos, la cual ha marcado profundamente el desarrollo ulterior del tema (y no solo Gromov sino también otros, ¡pues la investigación en matemática es la obra de una comunidad !).

Referencias

[Bo] J.-P. Bourguignon, Espaces courbes, in « Qu’est-ce que l’univers ? », Université de tous les savoirs, sous la direction d’Y. Michaud, vol. 4, Odile Jacob, 2001, p. 152-163.

[BH]
M. Bridson et A. Haefliger
, Metric spaces of non-positive curvature, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 319, Springer, 1999.

[Ei] A. Einstein, Die Grundlage der allgemeine Relativitätstheorie, 1916.

[EM]
J.P. Eckmann et E. Moses
, Curvature of co-links uncovers hidden thematic layers in the World Wide Web, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, vol 99:9, 2002, p. 5825-5829 (electronic).

[Ga] C.F. Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas, 1827 ; Werke, IV, 1973, p. 217-258.

[GH]
Ghys (E.) et de la Harpe (P.) (éditeurs)
, Les groupes hyperboliques d’après Mikhael Gromov, Birkhäuser, 1990.

[Gr1] M. Gromov, Hyperbolic groups, in « Essays in Group Theory », S.M. Gersten, Editor, M.S.R.I. Publ. 8, Springer, 1987, p. 75-263.

[Gr2] M. Gromov, Sign and geometric meaning of curvature, Rend. Sem. Mat. Fis. Milano, vol 61, 1994, p. 9-123.

[Ha] P. de la Harpe, Topics in geometric group theory, University of Chicago Press, 2000.

[Mo]
M. Monastyrsky
, Riemann, topology, and physics, Birkhäuser, 2eédition, 1999.

[Pe1] J.P. Petit, Le geometricon, Les aventures d’Anselme Lanturlu, Librairie Belin, 1980.

[Pe2] J.P. Petit, Le trou noir, Les aventures d’Anselme Lanturlu, Librairie Belin, 1981.

[Ri] B. Riemann, Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, leçon d’habilitation, 10 juin 1854 ; Gesammelte mathematische Werke, 2ème édition, 1990, p. 304-319.

[St]
J. Stillwell
, Mathematics and its history, Springer, 1989.

Post-scriptum :

Con mínimas modificaciones, este texto ha sido recopiado de un documento preparado para una jornada ``Puertas abiertas’’ en la Universidad de Ginebra, el 10 de Marzo del 2001. Se agradece a Boris Ischi por la realización de las figuras.

Notes

[1Una anécdota que muestra la interdependencia de las ciencias tildadas de puras y aplicadas : el periodo en que Gauss obtuvo algunos de sus resultados fundamentales sobre superficies es precisamente aquél en que trabajaba bajo mandato gubernamental en el levantamiento topográfico del reino de Hannovre.

[2Un bello ejemplo de la permeabilidad de las fronteras de las ideas matemáticas.

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Pour citer cet article :

Andrés Navas — «Espacios curvados» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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