22 novembre 2008

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Espérance de vie

François Sauvageot

Mathématicien. Enseignant, chercheur et acteur de science populaire. (page web)

Que représente l’espérance de vie ?

On pourrait naïvement penser qu’il s’agit de la durée de vie moyenne, ou probable. Cette approche soulève immédiatement des questions :

  • S’agit-il d’une espérance de vie à la naissance ou concerne-t-elle tous les individus d’une population ?
  • Comment la calculer sans être devin ?
  • En quoi est-ce un espoir ?

Pour dissiper tout de suite un malentendu, l’espérance est prise ici au sens mathématique (ou celui du verbe esperar en espagnol, attendre). Il s’agit donc d’une valeur attendue, ou encore d’une valeur moyenne.
Nous allons commencer par étudier l’espérance de vie d’un bébé venant de naître. Pour calculer son espérance de vie, nous ne pouvons nous baser sur le futur : les mathématiques ne procèdent pas par divination ! Il faut donc se baser sur des données présentes ou passées.

Âge moyen de décès

Une première approche est de récolter les âges auxquels sont survenus les décès de l’année et d’en prendre la moyenne. Par exemple, dans le tableau suivant on a donné le nombre de personnes qui sont mortes en France en 2006 en fonction de l’âge de décès :

Âge 0 1 2 3 4 5 ... 10 11 ... 40 ... 85 ... 100 ...
Nombre de décès 3186 270 161 124 102 96 ... 62 74 ... 1329 ... 21968 ... 2091 ...

On calcule le nombre total de décès en 2006 en faisant la somme de tous les décès, c’est-à-dire la somme de tous les nombres de la seconde ligne. On trouve 527 036.

On calcule ensuite la fréquence de chaque âge de décès, c’est-à-dire la proportion des décès de 2006 qui ont eu lieu à un âge donné. Elle s’obtient en divisant le nombre de décès pour l’âge en question par 527 036.

Voici le tableau qu’on obtient :

Âge 0 1 2 3 4 5 ... 10 11 ... 40 ... 85 ... 100 ...
Fréquence des décès 0,60% 0,05% 0,03% 0,02% 0,02% 0,02% ... 0,01% 0,01% ... 0,25% ... 4,17% ... 0,40% ...

L’âge moyen de décès est donc

0x0,006+1x0,0005+2x0,0003+...+10x0,0001+11x0,0001+...+ 40x0,0025+...+85x0,0417+...+100x0,004


Pour 2006, en France, cette quantité vaut : 75 ans et demi.

En résumé si, pour un âge n, on note dn le nombre de décès ayant eu lieu à cet âge, le nombre total de décès est :

d=d0+d1+d2+...

et l’âge moyen de décès est :

(0xd0+1xd1+2xd2+...)/d

Cette moyenne est très sensible à la structure de la population : une population comportant beaucoup de jeunes pourra avoir un âge moyen de décès plus bas que celui d’une population dans laquelle ils sont peu nombreux alors que les individus de la première vivent en général plus longtemps que ceux de la seconde.

Il est donc difficile d’utiliser l’âge moyen de décès pour comparer deux populations différentes, ne serait-ce que la population de la France à deux époques différentes ou deux sous-populations de la population française.

Espérance de vie

Les statisticiens et démographes ont inventé un indicateur qui tient compte de la pyramide des âges dans son calcul.

Pour cela, dans le tableau précédent, on rajoute pour chaque âge n la donnée du nombre de personnes qn ayant cet âge dans la population.

Âge 0 1 2 3 4 5 ... 10 11 ... 40 ... 85 ... 99 ...
Nombre de personnes 812 300 824 359 802 176 795 869 793 847 796 201 ... 760 070 771 651 ... 884 723 ... 274 013 ... 9 527 ...
Nombre de décès 3 186 270 161 124 102 96 ... 62 74 ... 1 329 ... 21 968 ... 2 965 ...

On en déduit le taux de mortalité ou encore la proportion pn d’individus décédés parmi celle d’âge n :

pn=dn/qn

Pour parler plus positivement, on peut aussi calculer la proportion
d’individus qui fêtent leur anniversaire cette année là ! Elle vaut

sn=1-pn

La proportion sn représente donc la proportion des individus ayant l’âge n au début de l’année et qui fêtent leur (n+1)ème anniversaire pendant l’année.

Âge 0 1 2 3 4 5 ... 10 11 ... 40 ... 85 ... 99 ...
Taux de mortalité 0,39% 0,03% 0,02% 0,02% 0,01% 0,01% ... 0,01% 0,01% ... 0,15% ... 8,02% ... 31,12% ...
Taux de survie 99,61% 99,97% 99,98% 99,98% 99,99% 99,99% ... 99,99% 99,99% ... 99,85% ... 91,98% ... 68,88% ...

On construit maintenant une population fictive qui évolue ainsi :

  • entre 0 et 1 an, une proportion p0 décède ;
  • parmi les survivants, une proportion p1 décède entre 1 et 2 ans ;
  • parmi les survivants, une proportion p2 décède entre 2 et 3 ans ;
  • et ainsi de suite ...

Autrement dit, on fait comme si les taux de mortalité (ou de survie) par âge restaient identiques à ceux de cette année tout au long de la vie du bébé qui vient de naître aujourd’hui.

Pour notre exemple, il y a 0,39% de personnes qui meurent avant d’atteindre 1 an. Il y en donc 99,61% qui mourront âgés de plus de 1 an.
Parmi celles-ci 0,03% n’atteindront pas 2 ans. Autrement dit une proportion de 0,9961x0,0003 mourront à 2 ans, soit presque 0,03%. En fait les valeurs plus précises sont 0,00328% pour le taux de mortalité entre 1 et 2 ans, et 0,00326% pour la proportion d’individus mourant à 2 ans.

Pour connaître la proportion d’enfants mourant à 6 ans, il faut connaître le nombre de personnes ayant passé les 5 premières années. Au sein de la population cela représente : 0,9961x0,9997x0,9998x0,09998x0,9999 soit 99,53%. Au sein de ces enfants de 5 ans, le taux de mortalité dans l’année est de 0,0121% de sorte qu’au sein de l’ensemble de la population cela représente 0,0120%.

En résumé, dans notre population fictive, la proportion de personnes arrivant à l’âge n est donnée par le tableau suivant

Âge 0 1 2 3 4 5 ... n
Proportion arrivant jusqu’à cet âge 100% s0 s0 x s1 s0 x s1 x s2 s0 x s1 x s2 x s3 s0 x s1 x s2 x s4 ... s0 x s1 x ... x sn-1

et donc le tableau de mortalité est le suivant

Âge 0 1 2 3 ... n
Proportion arrivant jusqu’à cet âge 100% s0 s0 x s1 s0 x s1 x s2 ... s0 x s1 x ... x sn-1
Proportion de décès à cet âge p0 s0 x p1 s0 x s1 x p2 s0 x s1 x s2 x p3 ... s0 x s1 x ... x sn-1 x pn

L’espérance de vie, c’est la moyenne de durée de vie basée sur toutes ces proportions :

0xp0 +1xs0xp1 + 2xs0xs1p2 + ... +
nxs0xs1x...xsn-1x
pn+ ...

Pour la France, on obtient le tableau suivant

Âge 0 1 2 3 4 5 ... 10 11 ... 40 ... 85 ... 99 ...
Proportion arrivant jusqu’à cet âge 100% 99,61% 99,58% 99,56% 99,54% 99,53% ... 99,47% 99,46% ... 97,60% ... 43,78% ... 1,91% ...
Proportion de décès à cet âge 0,39% 0,03% 0,02% 0,02% 0,01% 0,01% ... 0,01% 0,01% ... 0,15% ... 3,82% ... 0,86% ...

En France, l’espérance de vie est de 80 ans. En fait, on peut distinguer entre hommes et femmes : elle est de 77 ans pour les hommes et de 83 ans pour les femmes. En tout c’est bien différent de l’âge moyen de décès qui est de 75 ans et demi. Remarquons également que dans notre population fictive 50% de la population dépasse 83 ans !

Conclusion

L’espérance de vie est un indice conjoncturel, ce n’est pas plus la prévision de l’âge moyen des décès de l’année que la durée de vie de ceux et celles qui viennent de naître !

La confusion est souvent faite, ainsi dans Libération du lundi 31 décembre 2007 on pouvait lire :

50 ans d’espérance de vie
... On meurt jeune dans la rue. Pour les 99 morts recensés entre mai et novembre 2007, le Collectif des morts de la rue a procédé à une analyse de ces décès par tranche d’âge : seuls 6 victimes avaient plus de 65 ans. Chez les autres : 19 avaient moins de 46 ans, 22 entre 46 et 50 ans, et 22 entre 56 et 65 ans. Moyenne d’âge pour l’ensemble : 50 ans, dans un pays où l’espérance de vie moyenne est de plus de 80 ans (77,2 ans pour les hommes et 84,1 ans pour les femmes). « Nous sommes confrontés chaque jour à la mort prématurée des personnes de la rue », écrit Christophe Louis dans sa lettre. Et leur espérance de vie de trente ans inférieure à celle de l’ensemble des Français.

Avec la même argumentation, on pourrait aussi dire que dans les maternités, sur les terrains de sport, sur le lieu de travail ...
l’age moyen des décès est également largement inférieur à l’espérance de vie.
Que faudra-t-il en conclure ? Qu’il y a peu de vieillards qui meurent dans les maternités ?!

L’espérance de vie (à la naissance) n’est pas l’âge moyen de décès au moment où elle est calculée.

Le rapprochement de ces deux notions n’est pas approprié pour confirmer cette évidence : les sans-abris meurent plus jeunes que les bien-logés. La proposition est juste, alors même que la démonstration proposée est fallacieuse.

Argumenter de la sorte pourrait faire croire que cette évidence n’en est pas une. Pour mener correctement cette étude, on a plusieurs angles d’attaque : comparer le taux de décès des SDF avec celui attendu d’une population de structure comparable (âge, sexe ...) ou étudier l’espérance de (sur-)vie quand on devient sans-abri.

Comme toujours avec un indicateur, il faut rester sur ses gardes : il répond à une question et il faut garder à l’esprit cette question afin ne pas user de cet indicateur pour répondre à une autre question. Ce n’est en particulier pas un but en soi d’améliorer l’indicateur.

Améliorer l’espérance de vie est en fait plus facile en faisant diminuer le taux de mortalité chez les enfants que chez les personnes âgées, mais une politique de santé ne saurait se réduire à ce constat !

Compléments

Sources

Le site de l’INSEE. Attention ! Pour les décès nous avons utilisé les données de 2006, alors que pour la taille de la population nous avons utilisé les données de 2007.

Affiliation de l'auteur

François Sauvageot : Lycée Georges Clemenceau - Académie de Nantes

Commentaires sur l'article

Pour citer cet article : François Sauvageot, « Espérance de vie »Images des Mathématiques, CNRS, 2013.

En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Esperance-de-vie.html

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