¡Esto no es una geodésica !

Piste verte Le 20 février 2020  - Ecrit par  Jos Leys
Le 16 mars 2020  - Traduit par  Andrés Navas
Article original : Ceci n’est pas une géodésique ! Voir les commentaires
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En una obra de M.C. Escher que, a menudo, es usada para explicar la geometría hiperbólica, no todas las cosas son lo que simulan ser...

Cuando se habla acerca de la geometría hiperbólica en charlas de divulgación, a menudo se utiliza la imagen Cirkellimiet III de M.C.Escher para explicar lo que son las geodésicas en el disco de Poincaré : estas corresponden a circunferencias perpendiculares al borde del disco, las que habitualmente son mostradas en blanco en la imagen para exhibir una geodésica. Sin embargo... ¡esto es falso ! Claro está, estas curvas son circunferencias, pero no son geodésicas.

A continuación explicamos por qué...

Primeramente, se debe entender que la imagen representa un embaldosado hiperbólico. Las baldosas son octógonos y, en cada vértice, se encuentran tres de ellos.

En un embaldosado hiperbólico, dos baldosas vecinas son cada una la imagen de la otra por inversión respecto a la circunferencia que subtienden la arista común. Esto es ilustrado en la figura de abajo, esta vez para un embaldosado por hexágonos.

En la imagen de Escher, lo que ha dibujado en la baldosa central, cuatro peces que giran en el sentido de las agujas del reloj, se repite en todas las baldosas. En las baldosas vecinas, los peces giran en el mismo sentido. Sin embargo, ¡una imagen por inversión impondría un sentido opuesto ! Lo que hizo entonces fue tomar la imagen simétrica de la baldosa central respecto a un eje de simetría de dicha baldosa antes de realizar la inversión. Posteriormente, tuvo que adaptar los colores para que los peces alineados tengan el mismo color.

Hacer esto a mano... ¡qué proeza !

Miremos ahora una curva blanca en la baldosa central que conecte los dos vértices, que abajo hemos coloreado en verde.

Para que esta curva verde se superponga exactamente a sus imágenes por inversión respecto a las circunferencias que prolongan las aristas (las circunferencias rojas), se requiere que sea una circunferencia perpendicular a estas dos aristas.

¡Pero esto no significa que la circunferencia verde sea una geodésica ! de hecho, la geodésica que pasa por los dos vértices es la circunferencia azul de la figura de abajo.

Evidentemente, para Escher, esta circunferencia azul no tiene ningún interés.

Nuestra circunferencia verde interseca el borde del disco con un ángulo aproximado de 80º, y no es, por tanto, una geodésica.

Escher solo dibujó cuatro embaldosados hiperbólicos en su vida. Por tanto, si uno quiere ’’quedarse’’ con Escher, una buena idea para las charlas es usar la imagen de abajo Cirkellimiet I (un embaldosado por hexágonos, en los que seis de ellos se encuentran en cada vértice).

Allí, uno encuentra hermosas geodésicas, tantas cuanto uno quiera...

Post-scriptum :

El autor y la redacción de Paisajes Matemáticos agradecen a los relectores Jimmy Dillies, Thomas Sauvaget y Clément Caubel por su lectura atenta y sus comentarios constructivos.

Article original édité par Jos Leys

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Pour citer cet article :

Andrés Navas — «¡Esto no es una geodésica !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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