Et si l’élection présidentielle échouait ?

Piste verte 28 mars 2012  - Ecrit par  Benoît Rittaud Voir les commentaires (18)

Commençons par un petit rappel à l’intention des lecteurs qui ne sont pas de France. En France, l’élection présidentielle approchante aura lieu en deux tours, le second opposant les deux candidats ayant obtenu le plus de voix au premier tour. [1]

Il est naturel de se demander ce qui se passerait en cas d’égalité entre candidats, une éventualité sur laquelle la Constitution est muette. Selon Guy Carcassonne, qui en est un connaisseur réputé [2], s’il y avait égalité au second tour, ou si l’écart de voix était trop faible pour garantir qu’un candidat a bel et bien gagné (il arrive souvent que des irrégularités soient constatées dans des bureaux de vote), il serait très probablement décidé de refaire ce second tour.

Et en cas d’égalité au premier tour ? Si les candidats concernés ne figurent pas parmi les deux premiers, cela ne pose pas de problème, l’objet du premier tour n’étant pas de classer les candidats les uns par rapport aux autres, mais seulement de désigner les deux premiers. Puisque l’ordre d’arrivée de ces deux premiers n’a pas davantage d’importance, le cas où ce seraient eux qui arriveraient ex æquo ne poserait pas non plus de difficulté : ils seraient tous les deux qualifiés, le second tour se chargeant de les départager.

Un peu plus problématique est le cas où il y aurait davantage que deux candidats ex æquo en tête du premier tour. La solution la plus équitable consisterait sans doute à faire un premier tour bis entre ces candidats, pour sélectionner les deux qualifiés. (Il ne serait pas dans l’esprit de la Constitution de supprimer le second tour au profit de ce premier tour bis, l’objectif du second tour étant que le vainqueur final ait rassemblé une majorité absolue de suffrages exprimés.)

Reste le cas vraiment embêtant d’un premier tour qui verrait un candidat arrivé seul en tête, immédiatement suivi de deux candidats (ou plus) ex æquo, car il semble impossible de concevoir les modalités d’un premier tour bis qui respecterait l’équité entre les candidats. En particulier, recommencer le premier tour purement et simplement (avec tous les candidats) serait clairement inéquitable : la victoire du premier serait indûment remise en cause, et les candidats de queue de peloton se verraient accorder une seconde chance à laquelle ils ne devraient normalement pas pouvoir prétendre. Un « tour de barrage » entre les deuxièmes pour les départager serait la solution mathématiquement la plus logique, mais du point de vue politique elle serait profondément injuste pour le candidat arrivé en tête au premier tour. En effet, non seulement celui-ci se retrouverait marginalisé le temps de ce tour de barrage, mais en plus il devrait ensuite, au second tour, faire face à un candidat à qui la majorité absolue des suffrages obtenue lors du barrage confèrerait une légitimité aussi forte qu’indue.

Y a-t-il un constitutionnaliste dans la salle pour démêler ce nœud gordien (très hypothétique, tant est faible la probabilité qu’il se produise) ? Les mathématiques ne semblant pas d’un très grand secours, sans doute la bonne manière d’attaquer le problème consiste-t-elle à en rechercher une solution plutôt de nature politique.

Post-scriptum :

L’auteur et le comité de rédaction tiennent à remercier Antoine Chambert-Loir et Damien Gayet pour leurs remarques.

Article édité par Patrick Popescu-Pampu

Notes

[1Constitution de la République Française, Article 7, alinéa 1 : « Le Président de la République est élu à la majorité absolue des suffrages exprimés. Si celle-ci n’est pas obtenue au premier tour de scrutin, il est procédé le quatorzième jour suivant, à un second tour. Seuls peuvent s’y présenter les deux candidats qui, le cas échéant après retrait de candidats plus favorisés, se trouvent avoir recueilli le plus grand nombre de suffrages au premier tour. »

[2Guy Carcassonne, La Constitution, Points (10e édition, 2011).

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Pour citer cet article :

Benoît Rittaud — «Et si l’élection présidentielle échouait ? » — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

Crédits image :

Image à la une - Merci à Jos Leys et Aurélien Alvarez pour l’image du logo !

Commentaire sur l'article

  • Et si l’élection présidentielle échouait ?

    le 28 mars 2012 à 08:45, par olivierB

    Je me fais la remarque que ça serait une bonne période pour parler de théorie du choix social, et par exemple du théorème d’impossibilité de Arrow.
    Y a-t-il des auteurs compétents dans la salle ?

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    • Et si l’élection présidentielle échouait ?

      le 28 mars 2012 à 09:34, par Pierre Lecomte

      Je ne sais pas ce que signifie précisément la majorité absolue mais, si je comprend bien l’article de la constitution rappelé en bas de page, il se pourrait bien qu’il n’y ait qu’un tour.

      En particulier, le cas ou un candidat arriverait en tête seul au premier tour, avec une majorité absolue, devrait être élu quand bien même il serait suivi par plusieurs ex aequo.

      Non ?

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    • Théorie du choix social

      le 28 mars 2012 à 18:45, par Rémi Peyre

      En tout cas, j’ai des informations qu’il y a plusieurs articles en cours dé préparation sur le sujet... ;-)

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  • Et si l’élection présidentielle échouait ?

    le 28 mars 2012 à 12:01, par Simon Billouet

    Je suis tout sauf constitutionnaliste, mais peut-être que la bonne façon de résoudre le problème serait de faire un second tour à 3 ? Avec deux possibilités de régler le résultat dudit :

    • soit on qualifie les deux premiers pour un second tour bis, sauf si un des candidats a la majorité absolue auquel cas il est élu ;
    • soit le premier candidat est élu, même avec une majorité relative.

    Bien que politiquement improbable, ce problème ne m’était jamais clairement apparu comme possible, mais c’est assez amusant. :-)

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  • Et si l’élection présidentielle échouait ?

    le 28 mars 2012 à 14:06, par levangileselonsaintmatheux

    Pour ce qui est de l’élection présidentielle, quelques remarques s’imposent. Ancien journaliste, j’étudie toutes les élections, qui sont loin d’être honnêtes, contrairement à ce que l’on pense. J’aurais peut-être l’occasion d’y revenir.
    Pour les cas évoqués par Benoît Rittaud, il n’y a rien de prévu par la Constitution, mais il semblerait que le bénéfice de l’âge puisse être retenu ! La majorité absolue, telle que retenue par les politiques, est une absurdité : la moitié des suffrages plus un ! Pour qu’un candidat soit élu dès le premier tour, il devrait avoir plus de 50% des voix. Quant au théorème d’arrow, et le paradoxe de Condorcet, je conseille les articles du mathématicien Michel Balinski dans « Pour la science » d’avril 2002.
    Et le même Michel Balinski dans le numéro d’avril 2012 du même magazine « Pour la science », pour son système électoral qui, à mon avis, devrait être adopté (il a fait ses preuves en Suisse).

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    • Méthode de Michel Balinski

      le 28 mars 2012 à 19:19, par Rémi Peyre

      La méthode proposée par Balinski & Laraki a effectivement de nombreuses qualités, mais il faut savoir que certains autres théoriciens sont partisans d’autres méthodes, avec des arguments tout aussi valables (à noter qu’aucun d’entre eux, dans tous les cas, ne soutient les méthodes de votes traditionnelles). J’ai du reste un article en cours de rédaction sur le sujet qui devrait sortir d’ici quelques mois. En tout cas, il est à mon avis regrettable que l’article de Pour la Science « passe ces autres méthodes sous le tapis » et laissant entendre que le système du jugement majoritaire est à ce point supérieur à tous les autres ; d’autant que le reconnaître n’enlèverait rien aux qualités intrinsèques du jugement majoritaire !

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      • Méthode de Michel Balinski

        le 28 mars 2012 à 20:58, par levangileselonsaintmatheux

        Entièrement d’accord avec vous. Seulement voilà ; pour ma part, je n’ai aucune information sur d’autres méthodes, qui, quoi, etc. Sinon, je serais partant pour les étudier aussi. J’attends votre article avec impatience.

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        • Méthode de Michel Balinski

          le 29 mars 2012 à 20:03, par Guillaume

          Je souhaiterais attirer votre attention vers mon billet consacré au jugement majoritaire, justement :
          http://statosphere.fr/website/post/2011/09/12/jugement-majoritaire-par-slate-novateur-dangereux-pour-la-democratie

          A l’issu de l’article, on peut se dire que le jugement majoritaire est plutôt une « fausse » bonne idée, mais en définitive, le débat entamé dans les commentaires remet le débat en perspective. J’avoue être très partagé sur le jugement majoritaire, ce qui est à priori mauvais signe dans la mesure où un bon système serait à priori peu critiquable... Ou alors suis-je juste beaucoup trop idéaliste ? ;)

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  • Et si l’élection présidentielle échouait ?

    le 28 mars 2012 à 15:18, par Fabien Lange

    Presque d’accord avec Simon Billouet (mais pas tout à fait) :
    Dans le cas de figure présenté dans le billet, l’élection en trois tours avec les trois premiers candidats me paraît effectivement la meilleure solution, et mathématiquement et politiquement. Mais quoiqu’il arrive,on attend que le vainqueur obtienne la majorité absolue.

    Donc si à l’issue du 1er tour, A obtient le plus de voix, suivi de B et C ex æquo, un 1er tour bis pourrait être organisé avec A, B et C. Et à l’issue de ce tour :

    • Si l’un de ces trois candidats obtient la majorité absolue, c’est fini.
    • Sinon, participent au 2e tour : A (qui était 1e au 1er tour), ainsi que le meilleur du tour 1 bis ou le 2e si le meilleur est A.
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    • Et si l’élection présidentielle échouait ?

      le 28 mars 2012 à 18:57, par Rémi Peyre

      Ce système présenterait tout de même un paradoxe assez énorme... Supposons qu’il y ait 5 candidats que, pour des raisons purement mnémotechniques, nous nommerons Mélenchon, Hollande, Bayrou, Sarkozy et Lepen. Nous supposerons que ces candidats sont ainsi présentés « de gauche à droite », et qu’un électeur n’ayant pas la possibilité de voter pour son candidat préféré préfèrera celui qui est la plus proche possible de son candidat préféré sur l’axe gauche-droite.

      À l’issue du premier tour, les résultats fictifs sont les suivants : Bayrou 25%, Hollande et Sarkozy ex-æquo avec 20% chacun, Mélenchon 18%, Lepen17%. Avec votre système, au premier tour bis, Bayrou fait toujours 25%, Hollande fait 38% (il récupère les électeurs de Mélenchon) et Sarkozy 37% (il récupère les électeurs de Lepen). Bayrou est éliminé, et le résultat du troisième tour dépend ensuite de la façon dont se répartissent ses électeurs entre Hollande et Sarkozy, mais conduit à l’élection soit de Hollande, soit de Sarkozy.

      Maintenant, si on tire au sort entre Hollande et Sarkozy pour savoir qui est qualifié pour le second tour :

      • Soit Hollande est qualifié et Bayrou gagne au second tour avec 62% des voix (il récupère les voix de Sarkozy et Lepen) ;
      • Soit c’est Sarkozy qui est qualifié et Bayrou gagne encore avec 63% des voix (il récupère celles de Hollande et Mélenchon).

      Vous voyez, si le premier tour change d’un cheveu, quel que soit le sens dans lequel va ce cheveu, le résultat est en faveur de Bayrou. Il serait donc bizarre de défendre un système qui, lorsqu’il y a rigoureusement égalité, désigne un vainqueur différent...

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      • Et si l’élection présidentielle échouait ?

        le 29 mars 2012 à 10:58, par Fabien Lange

        Rémi, relisez mon « système » : en cas de non majorité absolue au tour 1 bis (c’est le cas dans votre exemple), alors le premier du premier tour (Bayrou) participe au 2nd tour. Il se trouvera alors face au meilleur du tour 1 bis (Hollande). Et partant de votre postulat, c’est encore Bayrou qui l’emporte. Du coup votre argument, fondamental, de résultat inchangé dû à une perturbation minime, tient toujours.

        En tout cas avec votre exemple, mais il se peut qu’un réel paradoxe se manifeste avec un autre profil de votes, je n’ai pas établi que ce « système » était parfaitement cohérent !

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        • Et si l’élection présidentielle échouait ?

          le 29 mars 2012 à 13:29, par Rémi Peyre

          Autant pour moi :-(

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  • Et si l’élection présidentielle échouait ?

    le 28 mars 2012 à 18:51, par amic

    Il aurait été sympa, puisqu’on parle de mathématiques, d’estimer la probabilité qu’un tel événement arrive.

    Je suis convaincu qu’elle est très faible mais j’ai un peu la flemme de me lancer dans les calculs. Ce qui me semble logique c’est que la probabilité que les deux premiers soient ex-æquo est plus faible que celle que les deuxièmes le soient.

    Ceci dit, la perspective d’une présidentielle à trois tours me paraîtrait bien plus saine : un tour zéro qui soit un vrai sondage d’opinion, où la stratégie politique soit moins importante, ensuite on garde ceux qui ont fait plus que la moyenne (ou la médiane, ou ce qu’on veut, il faut bien se donner une méthode pour en éliminer un paquet), et là il peut vraiment y avoir des négociations, des alliances de sorte que le premier tour se fasse dans des conditions claires. Et ensuite un second tour.

    Pour l’instant le tour zéro correspond au parrainages des maires…

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    • Et si l’élection présidentielle échouait ?

      le 28 mars 2012 à 19:05, par Rémi Peyre

      Pour « calculer la probabilité qu’un tel événement arrive », il faudrait définir un modèle probabiliste du résultat du premier tour, ce qui laisse une certaine ambiguïté. Toutefois, quel que soit le modèle probabiliste retenu, la réponse serait du même ordre de grandeur : la probabilité qu’un tel événement arrive est environ l’inverse du nombre typique de voix séparant le deuxième homme (ou femme) du troisième.

      Si on regarde l’ensemble des élections de la Cinquième République, l’écart entre le second et le troisième est de l’ordre de quelques pourcents (disons 4%), pour un total de suffrage exprimés qui, à la prochaine élection, devrait être d’environ 30 millions de voix (en comptant serré), soit un écart de voix de 120 000 et donc de l’ordre d’une chance sur 100 000 de voir une égalité.

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      • Et si l’élection présidentielle échouait ?

        le 28 mars 2012 à 19:07, par Rémi Peyre

        Édit – Oups, j’ai oublié un zéro dans mes chiffres : il fallait lire 1 200 000 voix et une chance sur 1 000 000...

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  • Et si l’élection présidentielle échouait ?

    le 28 mars 2012 à 19:07, par seudo

    Étant tout de même assez juriste, je rappelle que les juges ont l’habitude de se prononcer même (voire surtout) lorsque la loi n’est pas très claire ou a oublié de traiter un cas.

    Comme l’article 7 de la Constitution donne déjà de nombreuses prérogatives au Conseil constitutionnel pour gérer les cas particuliers (décès ou empêchement d’un candidat...), c’est sans doute lui qui aurait légitimité à choisir la procédure à suivre.

    Les juristes sont des gens pragmatiques, donc on peut penser que le Conseil constitutionnel organiserait tout simplement une nouvelle élection le plus rapidement possible, la probabilité étant faible que le phénomène survienne de nouveau... Et s’il se reproduit tout de même ? Eh bien, la Belgique a bien vécu plus d’une année sans gouvernement, donc ça laisse du temps pour décider !

    Cette solution pourrait présenter des difficultés en cas de réclamation (cf. la comédie des élections américaines en 2001) ; mais comme ces réclamations sont traités par le même Conseil constitutionnel, dont les décisions ne sont susceptibles d’aucun recours, on peut penser qu’il trouverait une solution !

    Sauf si par hasard cela remontait à un niveau international, mais je n’imagine pas qu’un tribunal européen ou international accepte une requête relative à l’élection présidentielle française.

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  • Et si l’élection présidentielle échouait ?

    le 29 mars 2012 à 20:08, par Guillaume

    J’avoue ne pas m’être beaucoup posé la question dans la mesure où la probabilité que cela arrive alors que plus de 30 millions d’électeurs s’expriment lors des élections présidentielles...

    Mais j’avais imaginé une toute autre solution : à l’issue du dépouillement définitif, il s’agirait « simplement » de repousser la date limite du vote de 24h ou 12h par exemple. Naturellement, on imagine bien la distorsion que cela pourrait engendrer mais elle ne serait pas plus « grave » qu’une réorganisation totale du scrutin...

    Qu’en pensez-vous ?

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  • Et si l’élection présidentielle échouait ?

    le 31 mars 2012 à 16:10, par Gédéon

    Ben voilà un sujet qui passione les foules. Vive l’audimath.

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