Pourquoi aller voir à l’infini ?

Evidemment, il y a l’injonction poétique [1]

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Infini, montre un peu tes papiers !

mais l’injonction poétique n’engage pas encore le mathématicien.

Plus intriguante pour le géomètre est la nécessité de l’introduction de la perspective pour représenter dans le plan des figures dans l’espace, utilisée depuis au moins le mathématicien et peintre Piero della Francesca. Observons la photographie ci-dessous, les droites parallèles ont l’air de se couper au loin, à l’infini [2]. Plus précisément, cinq directions de droites parallèles semblent se couper à l’infini en des points que, depuis la renaissance, on appelle des points de fuite.

pieds de lavande sous la neige

Ainsi, dans cette vue ci-dessous du Palazzo Spada par Francesco Borromini, le peintre introduit un point de fuite qui permet de reproduire cette illusion des droites parallèles qui se coupent à l’infini. C’est le point où ont l’air de se couper les droites parallèles du tableau : les linteaux soutenant la voûte et les joints parallèles du carrelage qui sont dans l’axe de la voûte. Ce point de fuite se situe donc au niveau de la statue, au fond de la voûte.

Palazzo Spada

Nous verrons ici que pour les mathématiciens, ce n’est pas une illusion. Dans le bon espace, obtenu en rajoutant au plan une droite « à l’infini », les droites parallèles se coupent effectivement « à l’infini ».

Avant de regarder ce qui se passe à l’infini dans un plan, regardons d’abord ce qui se passe à l’infini sur une droite, où la situation est plus simple.

Où l’on rajoute un point à l’infini à une droite

Posons un cercle sur une droite, en fixant le point $n$, comme sur la figure ci-dessous. On remarque qu’à chaque point de la droite, on peut associer un point du cercle, en associant à un point $D$ de la droite, le point $d$ obtenu en intersectant la droite $(nD)$ avec le cercle. Le point $O$ diamétralement opposé à $n$ est alors envoyé sur lui-même. Nous associons le point $a$ du cercle au point $A$ de la droite, $b$ à $B$, et ainsi de suite, $O$ qui est à la fois sur le cercle et sur la droite est associé à lui-même.

On a ainsi un procédé qui permet de replier la droite sur le cercle. Le sommet $n$ du cercle ne correspond à aucun point de la droite, mais intuitivement correspond à un point situé à l’infini sur la droite (à droite ou à gauche). Vue repliée sur le cercle, notre droite a donc un point à l’infini : c’est le point $n$. Voilà, nous avons refermé la droite sur elle-même, en un cercle ! En ajoutant un point, que nous appellerons point à l’infini et où se rejoignent finalement « l’infini à droite » et « l’infini à gauche » de la droite.

Nous pensons maintenant à notre cercle comme étant la réunion de la droite et du point $n$. Retirons à présent un point du cercle, la partie du cercle qui reste, une fois dépliée, est une droite, et le point à l’infini de cette droite est le point que nous venons de retirer du cercle. Que se passe-t-il si nous nous promenons sur ce cercle ? Pensons à un cercle de rayon très grand : un observateur sur ce cercle voit en fait une ligne, une droite. C’est effectivement ce qui se passe : un observateur sur ce cercle voit une droite.

En résumé, un cercle c’est une droite et un point, qui est le point à l’infini de la droite. [3] Moralement, retirer un point de ce cercle revient à le voir à l’infini, à l’envoyer à l’infini.

Dans la suite, nous penserons aux droites comme complétées par ce procédé par un point à l’infini.  [4]

Avant de passer au plan, expliquons ce qu’est la pente d’une droite, terme mathématique qui correspond à la notion de pente d’une côte.

La pente d’une droite

Plaçons-nous dans le plan et fixons un point $P$ de notre plan. Notons $(X)$ la droite horizontale passant par $P$. Une droite $(D)$ qui coupe $(X)$ le fera avec un certain angle $a$. Cet angle détermine la pente de $(D)$ avec notre axe $(X)$, c’est-à-dire la difficulté de la montée, pour utiliser une métaphore cycliste. Si l’angle est petit, la pente est elle-même petite. Au point que si $(D)$ n’est autre que l’axe $(X)$, alors la pente est nulle. Et si l’angle se rapproche de $90°$, c’est-à-dire si $(D)$ devient perpendiculaire à $(X)$, alors la pente est de plus en plus grande (on dit qu’elle tend vers l’infini) et aucun cycliste ne pourra plus l’escalader. Cette grandeur est étroitement reliée au pourcentage de montée d’une route.

Précisément, traçons comme sur la figure un triangle rectangle de sommet $O$, dont l’hypoténuse est sur la droite $(D)$ et dont le côté sur l’axe $(X)$ est de longueur $1$, alors la pente est donnée par la longueur du troisième côté. Si l’angle vaut 45°, la pente vaut $1$, si l’angle vaut 60°, la pente vaut $1,732$... approximativement.

Deux droites parallèles ont la même pente relativement à la droite $(X)$, c’est même ce qui les caractérise. Bien entendu une droite parallèle à l’axe $(X)$ a une pente nulle, tout comme l’axe $(X)$. Les droites qui ont une pente infinie sont toutes les droites perpendiculaires à $(X)$.

Où l’on rajoute une droite à l’infini au plan

Aux droites, nous avons rajouté un point. A un plan, nous allons rajouter toute une droite à l’infini : $(H)$. Comment décrire ce nouvel espace ? Dans le plan, nous sommes ... dans le plan et nous ne pouvons rien voir de nouveau. Pour comprendre un peu mieux la situation, nous allons expliquer comment les droites du plan coupent la droite à l’infini que nous allons ajouter.

Commençons d’abord par l’axe horizontal $(X)$, il coupe la droite à l’infini en un point $Q$. Suivons maintenant une autre droite $(D)$. Eh bien elle va couper la droite à l’infini en un point $A$ à une distance de $Q$ qui est précisément égale à la pente que fait la droite $(D)$ avec l’axe $(X)$. Ce point ne dépend donc que de la pente de $(D)$, autrement dit, deux droites parallèles se coupent au même point de la droite à l’infini, puisqu’elles ont la même pente (éventuellement négative).

Et qu’advient-il des droites perpendiculaires à $(X)$ ? La règle exposée ci-dessus est toujours valable une droite perpendiculaire à l’axe $(X)$ coupe la droite à l’infini en un point situé à distance infinie de $Q$, c’est-à-dire au point à l’infini de notre droite à l’infini $(H)$. Gardons en effet à l’esprit que les droites dans cet espace sont des droites complétées par un point à l’infini.

Grâce à cette construction, nous justifions l’affirmation qui suit :

les droites parallèles sont les droites du plan qui se coupent à l’infini, c’est-à-dire sur la droite à l’infini.

Reprenons à présent la photographie des pieds de lavande du début : sur cette photo, le plan est mis à plat mais on voit clairement cinq points à l’horizon correspondent à cinq directions de droites parallèles. La droite à l’infini se trouve alors à l’horizon sur cette photographie.

Où l’on envoie des droites à l’infini.

Et maintenant, un tour du propriétaire ! Voici quelques caractéristiques de cet espace, que nous ne faisons que décrire.

Le plan, c’est le plan de la feuille de papier. Au bout, une droite. Ce qui est d’abord rassurant c’est que les droites de notre brave plan se referment à l’infini, exactement de la même façon que précédemment nous avons refermé une droite en un cercle. C’est rassurant parce que du coup notre espace n’a pas de bord, donc pas de bout : on ne peut pas tomber. Ouf !

Maintenant, dans cet espace, il y a désormais une droite de plus que dans le plan. Rappelons-nous le paragraphe précédent : retirer un point revient à l’envoyer à l’infini. Et que ce passe-t-il ici si nous retirons une droite de notre nouvel espace ? De façon analogue à ce qui précède, cela revient à envoyer cette droite à l’infini et ... il nous reste un plan, mais un autre que celui de départ. En faisant cette opération, en retirant une droite, nous avons en fait changé de droite à l’infini. C’est vraiment ainsi qu’il faut y penser. Des points auparavant sur la droite à l’infini apparaissent, tandis que les points situés sur la droite que nous venons d’enlever sont maintenant rejetés à l’infini. Notre nouvel espace est constitué d’un plan et d’une droite. Retirer une droite de cet espace revient à envoyer à l’infini tous les points situés sur cette droite.

Pour mieux comprendre, regardons ce que devient une configuration de droites dans le plan quand nous envoyons une droite à l’infini. Par exemple, prenons deux droites $(E)$ et $(F)$ qui se coupent en un point de $(D)$ dans le plan de la feuille de papier et envoyons cette droite $(D)$ à l’infini : nous voyons alors les droites $(E)$ et $(F)$ qui se coupent désormais à l’infini c’est-à-dire que nous les voyons parallèles !

Illustrons ce que cela donne pour la configuration de droites ci-dessous, tracée dans le plan de la feuille de papier, lorsque nous envoyons la droite rouge à l’infini.

Nous nous retrouvons dans un nouveau plan où nous voyons ces mêmes droites dans la configuration suivante.

En effet, quand nous envoyons la droite rouge à l’infini, les droites $(E),(F),(H)$ se coupent alors à l’infini et deviennent donc parallèles, tandis que $(E)$ et $(E')$ se coupent dans ce nouveau plan et sont sécantes.

Jouons encore un petit peu à envoyer des droites à l’infini avec des configurations géométriques un peu plus compliquées que des droites, par exemple avec une ellipse, c’est-à-dire un cercle un peu déformé. La trajectoire de la Terre autour du Soleil forme une ellipse.

Envoyons à l’infini la droite $(D)$, tangente à l’ellipse. Que voyons-nous ?

Une toute autre courbe : une parabole, c’est-à-dire une courbe qui est tangente à l’infini.

Envoyons maintenant à l’infini la droite $(D')$, nous voyons désormais

encore une autre courbe, en deux morceaux : une hyperbole. En effet, la droite rouge coupe l’ellipse de départ en deux morceaux, qui vont donner les deux branches de l’hyperbole. Les points sur les branches de l’ellipse qui se rapprochent de la droite rouge sont maintenant des points sur notre hyperbole qui s’éloignent vers l’infini.

Et si nous envoyons à l’infini une droite qui ne coupe pas l’ellipse, nous voyons toujours une ellipse.

En fait, dès que l’on a une conique comme l’une des trois courbes ci-dessus, il existe une droite qui l’évite. En envoyant cette droite à l’infini, on voit une ellipse dans le plan qui reste.

Où l’on compte les points d’intersection.

On le pressent sur les exemples ci-dessus : travailler dans cet espace, qu’on appelle le plan projectif, est très utile parce qu’il simplifie certaines situations. Par exemple, deux droites distinctes dans cet espace ont toujours un point d’intersection. Dans cet espace, toutes les coniques, comme les courbes présentées ci-dessus, sont des ellipses.

En considérant l’infini, on voit en réalité des points d’intersection qui manquent. Prenons les deux hyperboles ci-dessous,

qui ont deux points d’intersection. Voici un détail de cette intersection sur les branches de ces deux hyperboles dans un même quadrant où on a bien un seul point d’intersection.

A l’infini, nous voyons la figure suivante

deux ellipses, qui se coupent en quatre points. Ainsi, nous avons trouvé deux points d’intersection supplémentaires. Les deux points d’intersection de la première figure se retrouvent bien sûr comme deux des quatre points d’intersection des deux ellipses ci-dessus. Et voilà l’explication : nos deux hyperboles ont des asymptotes parallèles, elles se coupent en deux points à l’infini correspondant aux directions des asymptotes.

C’est un fait général : des coniques s’intersectent en $4$ points au plus.

Où l’on apprend que le plan projectif n’est plus au programme de l’agrégation de mathématiques.

Depuis 2010 en effet, cet espace que nous venons de décrire, qui s’appelle le plan projectif, n’est plus au programme de l’agrégation de mathématiques. Les étudiants qui préparent ce concours ignorent ainsi pourquoi les droites parallèles se coupent à l’infini. Est-ce bien raisonnable ?