Las obras de Euclides

Euclides es para nosotros el nombre de la persona a la cual son atribuidas obras matemáticas escritas en griego antiguo, las cuales nos han sido transmitidas mediante manuscritos que se remontan hasta no más allá del siglo IX. Esta afirmación, aunque un tanto esquiva, puede parecer una perogrullada, pero las reservas que formula de manera implícita nunca han sido extrañas para los historiadores de las matemáticas. Vamos a examinar primero las obras geométricas que se atribuyen a Euclides, para derivar enseguida hacia las reservas que uno escucha hoy en día a propósito del personaje en sí mismo. En una tercera etapa, se presentarán algunas pistas recientes de investigación acerca de las obras atribuidas a Euclides.

Euclides era, desde la Antigüedad, designado como ’’el hombre de los Elementos’’, según el título de su tratado más conocido. Lo que es mucho menos conocido es que los Elementos no contienen solo geometría. Sus 465 proposiciones están, en efecto, estructuradas en trece libros.

Una primera parte (libros I-IV) expone los fundamentos de la geometría plana y algunas de sus aplicaciones. Sin embargo, está seguida por una teoría abstracta de las proporciones (manipulación de relaciones : libro V) y por aplicaciones geométricas de esta última (criterios de similitud de los triángulos, teoría de las figuras similares : libro VI). Enseguida viene la exposición más articulada de Teoría de Números de todo el corpus matemático griego (teoría de las relaciones numéricas, de los números primos, de las secuencias geométricas : libros VII-IX). A esta exposición le sigue una clasificación de los monstruosos aspectos de las líneas irracionales (se trata en este caso de las cantidades que uno puede representar, en un lenguaje algebraico y de manera muy aproximada, por las sumas o las diferencias de dos o muchos radicales : libro X ¡en total, 115 proposiciones !).

Los tres libros siguientes proponen, sucesivamente, un compendium de geometría en el espacio (libro XI), la determinación de las relaciones entre ciertas figuras sólidas (un cilindro es el triple que un cono de igual base e igual altura, etc. : libro XII), la construcción de cinco poliedros regulares y la comparación de sus aristas (libroXIII).

Euclides escribió otros tratados aparte de los Elementos. En un primer rango en importancia de esta producción que se pudo decir ’’menor’’ figuran los Datos, una de las obras más misteriosas de la geometría griega. Ahí se estudian las reglas deductivas relacionadas con el predicado ’’siendo dado’’, el cual se aplica a las magnitudes o a los objetos geométricos. Tomemos por ejemplo el enunciado del teorema 5 : ’’Si una magnitud tiene una relación dada relativamente a una de sus partes cualesquiera, tendrá también una relación dada relativamente a la parte que queda’’. En otros términos, si B es una parte de A y si conocemos la relación
\[\frac{A}{B}\]
conocemos también la relación
\[\frac {A}{(A–B)}\]
La prueba -que para nosotros se reduce a una pequeña manipulación de relaciones en escritura simbólica- no es banal, ya que la regla del juego es que solo se puede emplear deducciones que están ellas mismas formuladas en el lenguaje de los ’’datos’’, y por lo tanto tenemos las definiciones colocadas a la cabeza del tratado, es decir en este caso, los cuatro primeros teoremas. El ’’lenguaje de los datos’’ sirve, entre otras cosas, para reglar el asunto de la unicidad de los objetos geométricos construidos durante una demostración [1]. Los Datos recogen en un solo libro una ’’semi-recta’’ de 94 teoremas que puede ser prolongada indefinidamente. Sin embargo, su arquitectura es muy cuidada, ya que aborda temas de generalidad decreciente, y las proposiciones están organizadas por secciones temáticas.

El corpus euclidiano contenía por añadidura los tratados de nivel avanzado (puede que sea por esta razón que hoy en día están perdidos). Sus estructuras e incluso sus contenidos son a veces difíciles de reconstituir. Entre ellos se cuenta :

• las Divisiones, obra que trata de problemas donde ciertas figuras geométricas (en especial los triángulos y los cuadriláteros) son divididos por medio de rectas que pasan por puntos dados, en partes cuyas relaciones están dadas ;
• los Pseudaria, una selección de demostraciones falsas que establecen resultados erróneos ;
• los Porismos, un género de proposiciones dedicadas a las relaciones que persisten en configuraciones geométricas que gozan de un cierto número de grados de libertad (ver fig. 1 y 2 [2]) ;
• los Lugares sobre una superficie, donde las superficies son identificadas en cuanto a lugares geométricos.
  Las dos últimas obras emplean de modo exclusivo el lenguaje de los ’’datos’’, desarrollado en el tratado del mismo nombre.

Pero hay más : el corpus de los escritos euclidianos es una verdadera enciclopedia matemática, que contiene tratados que son representativos de las cuatro ramas del quadrivium, las cuatro materias en las cuales se organizaba tradicionalmente el curso escolar ’’científico’’ (geometría, aritmética, música, astronomía). Las dos primeras disciplinas están ya bien representadas en los Elementos y en los Datos. Una teoría de los intervalos musicales es desarrollada en la Sectio canonis, mientras que el problema astronómico de la determinación de la longitud del día en función de la fecha y de la latitud del lugar es abordado en los Fenómenos.

El corpus euclidiano contiene también obras que tratan de los campos de las ’’matemáticas aplicadas’’. La Óptica expone así la teoría de la visión por medio de rayos visuales emitidos por el ojo -un modelo que, desde un punto de vista geométrico, es del todo equivalente a una descripción en términos de rayos de luz- y la Catóptrica estudia la visión después de la reflexión de los rayos visuales. Esta última obra contiene la primera proposición conocida que trata el tema de los espejos abrasadores.

Datos biográficos inexistentes

Regresemos ahora hacia lo que sabemos realmente de Euclides. De hecho, la documentación biográfica relativa a Euclides está constituida por un puñado de anécdotas narradas por autores que vivieron siglos después que él. El origen de esas historias no puede ser controlado ; es muy probable que hayan sido elaboradas precisamente para suplir la falta de datos biográficos. Ese fenómeno no es específico de la Antigüedad : cada época escribe la historia a su manera. La nuestra, era de la difusión y de lo políticamente correcto, puede ofrecernos especulaciones sin fundamento, como un Euclides negro y sumo sacerdote.

Se puede contrastar esta situación con el abundante número de anécdotas acerca de la vida de Arquímedes, que es más o menos contemporáneo de Euclides : su gran número se explica parcialmente por el hecho de que el siracusano es el único matemático griego de quien se ha escrito una biografía poco después de su muerte.

Igualmente, hay que considerar como provenientes de la pura conjetura las representaciones de Euclides mientras enseñaba matemáticas en el marco de las actividades didácticas que habrían sido puestas en marcha en el famoso Museo de Alejandría. La datación tradicional de Euclides (inicio del siglo III antes de Cristo [3]) y los documentos más dignos de fe acerca de la fecha de fundación del Museo convierten esta hipótesis en algo simplemente imposible. Más aún, no hay ningún testimonio que nos permita afirmar que en la época helénica el Museo era el lugar de actividades de enseñanza cualesquiera.

La falta de datos biográficos producen otro mito, esta vez completamente moderno : Euclides no sería más que el seudónimo de un equipo de autores-compiladores al estilo de Bourbaki. Esta hipótesis, de hecho lanzada por primera vez en los años 1950, no puede parecer plausible sino a quien no tenga la más mínima idea de las feroces reivindicaciones de autor que caracterizan toda la literatura griega, y el campo de las matemáticas en especial.

Es por el conjunto de estas razones que el historiador tomará más bien como objeto de estudio el corpus de los escritos atribuidos a Euclides que la vida y las intenciones de su autor. Es también por esto que, en general, nos es tan difícil poner en contexto las matemáticas griegas, en la medida en que su universo de discurso es particularmente autorreferencial.

Algunas pistas de investigación

Los escritos de Euclides se sitúan en los cimientos del género literario constituido por el conjunto de los tratados matemáticos griegos. Ellos han jugado, a ojos de los matemáticos y de los posteriores exégetas, el papel de obras de referencia, tanto desde el punto de vista de su contenido como de la práctica estilística. Han sido sometidos a las mismas prácticas editoriales que aquellas en las cuales el objeto ha sido cualquier producto literario griego, desde el período helénico hasta la Antigüedad tardía : han sido anotados, comentados, revisados, completados por generaciones de matemáticos y de científicos. Para estos, Euclides daba ’’la justa medida’’. A menudo ellos se dedicaban a justificar retrospectivamente sus ’’elecciones’’, polemizando a veces con los críticos, como es el caso de Apolonio o de Gémino [4].

En los casos donde el corpus euclidiano era percibido como con ’’lagunas’’, la tradición científica se encargó de postular la existencia de los tratados susceptibles de completarlos. Es el caso del pretendido tratado euclidiano en cuatro libros acerca de las secciones cónicas, del cual solamente nos habla un autor tardío. Su existencia tiene la virtud muy sospechosa de explicar algunas características del tratado de las secciones cónicas de Apolonio, un autor que vivió después que Euclides.

Esto podrá sorprender al lector, pero incluso con un autor tan bien conocido como Euclides, queda aún trabajo por hacer para un historiador. Aquí está la lista de tareas esenciales :

• 1. Analizar la transmisión de las obras y de los aparatos científicos que la tradición nos ha conservado : comentarios y anotaciones marginales (que se llaman scholies). La tarea es identificar eventuales añadidos (que uno llama interpolaciones) o alteraciones debidas a una mano posterior a la redacción original, ya sean simples frases, proposiciones o lemas. La compilación de pruebas diferentes que contenían ramas diferentes de la tradición manuscrita explica el fenómeno -frente al cual nos encontramos- de que en el texto recibido de los Elementos existen numerosas pruebas alternativas. A lo largo del último decenio se ha comprendido la importancia de las traducciones árabes que -en el caso de los Elementos- presentan un texto más austero y menos afectado por las interpolaciones. También es posible, gracias aún a la intermediación de las fuentes árabes, reconstituir de manera completa el contenido, excepto las demostraciones, del tratado de las Divisiones.

• 2. Investigar fragmentos residuales de escritos euclidianos en fuentes secundarias, incluso si no se trata de textos matemáticos stricto sensu. Es el caso, por ejemplo, de los comentaristas tardíos de las obras de Aristóteles, que en un repertorio de ejemplos canónicos pueden clarificar pasajes del estagirita. De eso se tiene un caso interesante con los Pseudaria, cuyas dos proposiciones han sido recientemente identificadas en el comentario de Alejandro de Afrodisias [5] a los Tópicos de Aristóteles (vea fig. 3).

• 3. Estudiar la posteridad de los tratados euclidianos, tanto en el mundo griego como en la tradición matemática árabe y en la Edad Media latina. Tal posteridad puede consistir simplemente en un pequeño número de menciones de los filósofos. Una vez más, este es el caso de los Pseudaria.

• 4. Ofrecer una descripción de los contenidos y de la práctica estilística que esté lo más separada posible de prejuicios epistemológicos, matemáticos o filosóficos. Si esto no siempre es posible, el historiador debería al menos dotarse de una conciencia historiográfica con el fin de hacerle apreciar el problema. Por dar un ejemplo, recientemente se abandonó una perspectiva exegética que presentaba los teoremas del libro II de los Elementos como álgebra disfrazada.

Cae por su propio peso que la última tarea es la más difícil de satisfacer.

Bibliografía

La traducción de referencias de los Elementos en francés es Euclide, Les Éléments. Traduction et commentaires par B. Vitrac. Vol. 1. Introduction générale. Livres I à IV (1990) ; Vol. 2. Livres V à IX (1994) ; Vol. 3. Livre X (1998) ; Vol. 4. Livres XI à XIII (2001). Paris, Presses Universitaires de France. Un quinto volumen contendrá una selección de scholies, todas las pruebas alternativas y los dos tratados cortos que, durante la Antigüedad tardía, fueron añadidos a los Elementos para constituir los libros XIV y XV.

Para aquellos que conocen italiano, el corpus euclidiano es presentado, traducido y comentado en Euclide, Tutte le Opere. A cura di F. Acerbi. Milano, Bompiani 2007. Entre otras cosas, ahí se encuentra también una discusión completa de los datos biográficos acerca de Euclides y una reconstrucción detallada del tratado sobre las Divisiones.

En línea está una traducción inglesa de los Elementos aquí.

Acerca del quadrivium en el mundo griego, vea I. Hadot, Arts libéraux et Philosophie dans la pensée antique. Seconde édition. Paris, Vrin 2005, et B. Vitrac, ’’Les classifications des sciences mathématiques en Grèce ancienne’’, Archives de Philosophie 68 (2005), pp. 269-301.

Para las pruebas alternativas en los Elementos vea B. Vitrac, ’’À Propos des Démonstrations Alternatives et Autres Substitutions de Preuves dans les Éléments d’Euclide’’, Archive for History of Exact Sciences 59 (2004), pp. 1-44. Acerca de los scholies, puede remitirse a B. Vitrac, ’’Les scholies grecques aux Éléments d’Euclide’’, Revue d’Histoire des Sciences 56 (2003), pp. 275-292.

Para los Pseudaria vea F. Acerbi, ’’Euclid’s Pseudaria’’, Archive for History of Exact Sciences 62 (2008), pp. 511-55.

Acerca del problema de la interpretación del libro II de los Elementos, vea en primer lugar S. Unguru, ’’On the Need to Rewrite the History of Greek Mathematics’’, Archive for History of Exact Sciences 15 (1975-76), pp. 67-113.

Una discusión de las traducciones árabes de los Elementos y una puesta al día bibliográfica completa se encuentran en B. Vitrac, ’’EUCLID’’, in N. Koertge (éd.), New Dictionary of Scientific Biography. Detroit, Ch. Scribner’s Sons 2008, vol. II, pp. 416-421.

Vea también, del mismo autor, ’’Euclide’’ en R. Goulet (éd.), Dictionnaire des Philosophes antiques. Paris, CNRS Editions 1994-, vol. III (2000), pp. 252-272.

Acerca de Apolonio y Gémino y sus investigaciones fundacionales, vea F. Acerbi, ’’Two Approaches to Foundations in Greek Mathematics : Apollonius and Geminus’’, Science in Context 23 (2010).